贵州省安顺市2022-2023学年高一上学期期末教学质量监测考试数学试题

全市2022~2023学年度第一学期期末教学质量监测考试高一数学试题注意事项：本试卷共4页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则集合（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据交集的运算求出，然后根据补集的运算即可求出结果.【详解】由已知可得，，所以.故选：B.2.下列集合中表示同一集合的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据集合元素的性质及集合相等定义判断即可.【详解】对AD，两集合的元素类型不一致，则，AD错；对B，由集合元素的无序性可知，，B对；对C，两集合的唯一元素不相等，则，C错；故选：B 3.已知扇形的面积为8，且圆心角弧度数为2，则扇形的周长为（）A.32B.24C.D.【答案】D【解析】【分析】根据扇形面积和弧长公式即可求解.【详解】圆心角，扇形面积，即，得半径，所以弧长，故扇形的周长.故选：D4.下列函数中周期为，且为偶函数的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】按三角函数的周期公式和偶函数的定义式逐一检验排除即可.【详解】A选项，，周期为，A不正确；B选项，，周期为，且不是偶函数，B不正确；C选项，，是偶函数，又，故其周期为，C正确；D选项，周期为，D不正确；故选：C5.已知，，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用对数函数、指数函数、正弦函数的性质比较大小即可. 【详解】，，，∴.故选：B.6.设，命题“存在，使方程有实根”的否定是（）A.对，方程无实根B.对，方程有实根C.对，方程无实根D.对，方程有实根【答案】A【解析】【分析】只需将“存在”改成“任意”，有实根改成无实根即可.【详解】由特称命题的否定是全称命题，知“存在，使方程有实根”的否定是对，方程无实根故选：A7.随着社会的发展，人与人的交流变得便捷，信息的获取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.已知电磁波在空间中自由传播时能损耗公式为，其中D为传输距离单位：，F为载波频率单位：，L为传输损耗单位：若载波频率变为原来的100倍，传输损耗增加了60dB，则传输距离变为原来的（）A.100倍B.50倍C.10倍D.5倍【答案】C【解析】【分析】由题可知，前后两传输公式作差，结合题设数量关系及对数运算，即可得出结果.【详解】设是变化后的传输损耗，是变化后的载波频率，是变化后的传输距离，则，，，则，即，从而，故传输距离变为原来的10倍.故选：C8.已知函数，若是的最小值，则实数a的取值范围为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根据端点处的函数值，求得.然后讨论以及，即可得出实数a的取值范围.【详解】由已知可得，，所以，解得.当时，，显然在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得最小值，于题意不符；当时，，此时函数在上单调递减，在上单调递增，且满足，所以有是的最小值.故选：A.【点睛】思路点睛：利用单调性求参数的取值（范围）的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不等式（组））或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，还要注意衔接点的取值.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列命题是真命题的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则（且）【答案】AB【解析】【分析】根据不等式的性质逐一判断选项ABC，根据对数函数的单调性即可判断选项D.【详解】对于A：当，且，则，A正确；对于B：当时，有，B正确；对于C：当时，因为，所以，即， 不满足，C错误；对于D：当时，函数在上单调递减，若，则，D错误.故选：AB.10.下列函数中，最小值为4的是（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】配方即可判断A项；根据基本不等式以及等号成立的条件，即可判断B、C、D.【详解】对于A项，，当时，等号成立，故A项正确；对于B项，因为，所以.，当且仅当，即时，等号成立.因为，所以，故B项错误；对于C项，当时，，当且仅当，即时，等号成立.当时，，当且仅当，即时，等号成立.所以，或，故C项错误；对于D项，显然，所以，当且仅当，即，时等号成立.所以，，故D项正确.故选：AD.11.已知函数，则下列说法正确的是（）A.的值域是RB.在定义域内是增函数 C.的最小正周期是D.的解集是【答案】AC【解析】【分析】根据正切函数性质，即可判断A项；求出函数的单调递增区间，即可判断B项；由周期公式，求出周期，即可判断C项；由时，由的解，即可得出，求解不等式即可得出解集，判断D项.【详解】对于A项，根据正切函数的性质，可知的值域是R，故A项正确；对于B项，由可得，，所以的定义域为.由可得，，所以在每一个区间上单调递增，故B项错误；对于C项，由已知可得，的最小正周期是，故C项正确；对于D项，当时，由，可得.则由可得，，所以的解集是，故D项错误.故选：AC.12.已知偶函数的定义域为，且，，则以下说法正确的是（）A.B.函数的图像关于直线对称C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根据奇偶性结合得出，由 判断B；由对称性判断C；根据周期性判断D.【详解】因为是偶函数，且，所以，即，所以，周期为，故A正确；因为是偶函数，所以，即函数的图像关于直线对称，故B正确；因为，且函数的图像关于直线对称，所以，故C错误；因为，所以，故D正确；故选：ABD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点（－3，4），则cosα的值为______________．【答案】【解析】【详解】试题分析：由题角的终边过点（－3，4），则由三角函数的定义可得：考点：三角函数的定义.14.已知，则_________．【答案】8【解析】【分析】令求解.【详解】解：令，解得，所以，故答案为：815.写出一个同时具有下列性质（1）（2）的函数：________. （1）；（2）在上是增函数.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根据题干要求的奇偶性和单调性，直接写出即可.【详解】根据（1）（2）可得，为偶函数，且在单调递增，故满足题意的不唯一，可以是；故答案为：.16.已知函数的图像过点，则在区间_________零点（填“有”或“无”）；且函数有三个零点，实数是_________．【答案】①.无②.或【解析】【分析】由已知可得，由分别得出函数在区间和上没有零点；当时，，即当时，有最小值为.作出的图象，根据图象即可得出的取值.【详解】由已知可得，，所以，所以.当时，，所以在区间上没有零点；当时，，所以在区间上没有零点.所以，在区间上无零点；当时，，即当时，有最小值.作出图象如下图 由图象可知，当或时，函数有三个零点.故答案：无；或.【点睛】方法点睛：已知函数零点的个数，求参数值或参数范围时.常常作出函数的图象，根据函数图象，结合已知得出参数的值或范围.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算：（1）；（2）已知，求的值．【答案】（1）11.5（2）【解析】【分析】（1）利用指数运算和对数运算法则计算得到答案；（2）利用诱导公式结合化弦为切求解即可.【小问1详解】原式；【小问2详解】由题意得，故. 18.设p：实数x满足，q：实数x满足．（1）若q为真，求实数x的取值范围；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通过分式不等式的等价变形，转化为一元二次不等式进行求解.（2）通过解一元二次不等式以及必要不充分条件进行求解.【小问1详解】若q为真，则实数x满足，即，所以，解得：，即q为真时，实数x的取值范围为；【小问2详解】对于p：实数x满足，变形为：，即，所以，对于q，由（1）有：，因为p是q的必要不充分条件，则q可推出p，而p不能推出q则，解得，故实数a的取值范围为.19.函数．（1）求的单调递增区间；（2）求在上的值域． 【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解，即可得出的单调递增区间；（2）令，求出的范围，得到的最值，即可得出的最值.【小问1详解】由可得，，所以，所以函数单调递增区间为：.【小问2详解】令.由可得，.又因为函数在单调递增，在单调递减，所以在时有最大值1.又，，所以在或时有最小值0.所以函数在上的值域为.20.某企业采用新工艺，把企业生产中排放的二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为100吨，最多为600吨，月处理成本（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似地表示为．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使月处理成本最低？月处理成本最低多少元？（2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理成本最低是多少元？【答案】（1）该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元； （2）该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．【解析】【分析】（1）由已知可得，根据二次函数的性质，即可得出答案；（2），然后用基本不等式即可得出该式的最值.【小问1详解】该单位每月的月处理成本：，因，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，从而得当时，函数取得最小值，即.所以该单位每月处理量为200吨时，才能使月处理成本最低，月处理成本最低是60000元.【小问2详解】由题意可知：，每吨二氧化碳的平均处理成本为：当且仅当，即时，等号成立.所以该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低，为200元．21.已知_________，且函数．①函数在定义域为上为偶函数；②函数在区间上的最大值为2．在①，②两个条件中，选择一个条件，将上面的题目补充完整，求出b的值，并解答本题．（1）判断的奇偶性，并证明你的结论；（2）设，对任意的，总存在，使得成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）奇函数，证明见解析（2） 【解析】【分析】（1）选①：根据在定义域为上为偶函数，得到，再利用奇偶性的定义判断；选②：由，单调递增且最大值为2求得b，再利用奇偶性的定义判断；（2）分别求得，的值域A、B，再由求解.【小问1详解】解：当选①时：因为在定义域为上为偶函数，所以，所以，所以，所以对，都有，故，即，所以是奇函数．当选②时：因为，∴单调递增，所以，解得，所以，所以对，都有，故，即,所以是奇函数；【小问2详解】由（1）知当，当时，，当且仅当时等号成立，所以，即时，，因为是奇函数，所以即时，，综上：， 记值域为集合A，所以，因为，记值域为集合B，所以，因为，使得成立，所以，得，所以.22.已知函数（，且）是奇函数．（1）判断函数在上的单调性，并用定义证明；（2）令函数.当时，存在最大实数t，使得时，恒成立，请写出t关于a的表达式．【答案】（1）答案见解析；（2）．【解析】【分析】（1）由为奇函数，可求得，得到.然后分以及两种情况，根据定义法判断函数的单调性即可；（2），根据二次函数的性质结合已知可得对称轴为，函数在上单调递减，即.然后根据已知可推得，解不等式即可得出的最大值.【小问1详解】由已知条件得对定义域中的x均成立，所以，即， 得，对定义域中的x均成立，即，所以.当时，无意义；当时，，此时奇函数，定义域为.设，所以当时，，∴．当时，，即，所以在上是减函数，当时，，即，所以在上是增函数．综上，当时在上单调递减，当时在上单调递增．【小问2详解】因为，，所以，则函数开口向下，对称轴为，因为，所以，所以函数在上单调递减.则当时，有，因为，又，所以.因为t是实数，使得上恒成立，所以，即，所以，即，所以，解得， 所以．【点睛】关键点睛：本题的突破口是利用二次函数的性质，结合的范围得出的对称轴为，从而得出函数在上单调递减.