安徽省芜湖市2022-2023学年高一上学期期末教学质量统测数学试题

2022-2023学年度第一学期芜湖市中学教学质量统测高一年级数学试题卷注意事项：1．本试卷满分为100分，考试时间为120分钟.2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分.“试题卷”共4页，“答题卷”共6页.3．请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题是无效的.4．考试结束后，请将“答题卷”交回.一、单选题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1.设集合，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据集合的交集，可得答案.【详解】由题意，.故选：A.2.不等式的解集是（）A.B.C.或D.或【答案】B【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法计算可得；【详解】由，解得，即原不等式的解集为；故选：B.3.（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由诱导公式化简后得结论．【详解】．故选：C．4.已知命题，则命题为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】给定命题是全称量词命题，由全称量词命题的否定的意义即可得解.【详解】因是全称量词命题，则命题为存在量词命题，由全称量词命题的否定意义得，命题：.故选：C5.若，，则下列不等式成立是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质可判断A，取特值可判断B，C，D.【详解】对于A，因为，，所以，故A正确；对于B，若，则，故B正确；对于C，若，则，故C不正确； 对于D，若，则，故D不正确.故选：A.6.折扇是一种用竹木或象牙做扇骨，㓞纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1，其平面图如图2的扇形，其中，，则扇面（曲边四边形）的面积是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由扇形面积公式计算（大扇形面积减去小扇形面积）．【详解】由已知，，扇面面积为故选：B．7.下列说法正确的是（）A.“”是“”的既不充分也不必要条件B.“”是“”的充分不必要条件C.若，则“”是“”的必要不充分条件D.在中，角，均为锐角，则“”是“是钝角三角形”的充要条件【答案】D【解析】【分析】利用充分不必要条件，必要不充分条件，充要条件定义进行逐项判定.【详解】对于A，因为能够得到，反之不成立，所以“”是“”的必要不充分条件，A错误；对于B，因为时，，而当时，，所以“”是“”的必要不充分条件，B错误；对于C，当时，，无法得出；当 ，，所以，C错误；对于D，因为角，均为锐角，当时，，由于所以，即，所以是钝角三角形；反之依然成立，D正确.故选：D.8.已知实数，，，那么实数，，的大小关系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用作差法，结合对数的运算，以及对数函数的性质，可得答案.【详解】，由，则，即，可得；，由，则，即，可得；，由，则，即，可得；综上，.故选：A.二、多选题（本题共4小题，每小题4分，共16分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.下图为幂函数的大致图象，则的解析式可能为（） A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根据奇函数的性质，以及幂函数的性质，可得答案.【详解】对于A、C，，，显然为奇函数，且指数在0到1之间，在第一象限是越增越慢的，故A、C正确；对于B、D，，，显然为偶函数，故B、D错误.故选：AC.10.下列说法中正确的是（）A.在上单调递增B.与的图象相同C.不等式的解集为D.的图象对称中心为【答案】ABC【解析】【分析】根据正弦函数的性质可判断A，根据诱导公式及余弦函数的性质可判断B，根据辅助角公式及正弦函数的图象函数性质可判断C，根据正切函数的性质可判断D.【详解】对于A：因为的单调增区间为，所以函数在上单调递增，故A正确；对于B：因为，，所以与的图象相同，故B正确；对于C：由，可得，则，即 ，所以不等式的解集为，故C正确；对于D：对于函数的图象对称中心为，故D错误.故选：ABC.11.已知，，则下列选项一定正确的是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】对于A，利用等量代换整理函数解析式，利用二次函数的性质，可得答案；对于B，利用基本不等式，可得答案；对于C，利用反例，可得答案；对于D，利用等量代换整理函数解析式，利用导数研究其最值，可得答案.【详解】对于A，由，则，由，则，，，故A正确；对于B，由，即，则，当且仅当时等号成立，故B正确；对于C，当时，，而，故C错误；对于D，由，则，由，则，，令，，令，解得，当时，；当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减， 故，故D正确；故选：ABD.12.已知函数图象关于轴对称，且，都有．若不等式，对恒成立，则的取值可以为（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由题可得的图象关于对称，且在上单调递增，进而将不等式转化为，对恒成立，然后利用换元法结合二次函数的性质可得的取值范围，即得.【详解】因函数图象关于轴对称，所以的图象关于对称，又，都有，所以函数在上单调递增，因为不等式，对恒成立，所以，对恒成立，令，则，则，所以，对恒成立，因为，，，故，所以BC正确，AD错误.故选；BC.【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；；（2）能成立：；.若能分离常数，即将问题转化为：（或），则（1）恒成立：；；（2）能成立：；.三、填空题（本题共4小题，每题4分，共16分）13.已知为第三象限角，，则___________．【答案】【解析】【分析】根据同角三角函数商式关系以及平方和关系，可得答案.【详解】由，则，，由，则，由为第三象限角，，，则.故答案为：.14.函数为偶函数，当时，，则时，___________．【答案】【解析】【分析】由偶函数的定义求解．【详解】时，，是偶函数，∴，故答案为：．15.科学家通过生物标本中某种放射性元素的存量来估算该生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为1620年（即：每经过1620年，该元素的存量为原来的一半），某生物标本中该元素的初始存量为，经检测生物中该元素现在的存量为，（参考数据：）请推算该生物距今大约___________年． 【答案】3780【解析】【分析】由指数函数模型求解．【详解】设放射性元素的存量模型为，由已知，所以，，，设题中所求时间为，则，，，，∴，．故答案为：3780.16.定义在上的奇函数，当时，，则函数的所有零点之和为___________．【答案】【解析】【分析】画出函数与图象，根据对称性以及对数函数的运算得出零点之和.【详解】令，即，故函数的零点就是函数与图象交点的横坐标，当时，，函数与在上图象如图所示：设与图象交点的横坐标分别为，由对称性可知，，. 由，结合奇偶性得出，即解得，即.故答案为：四、解答题（本题共6小题，共44分）17.计算：（1）；（2）．【答案】（1）4（2）【解析】【分析】根据对数运算与指数运算，可得答案.【小问1详解】原式．【小问2详解】原式18.小明家院子中有块不规则空地，如图所示．小明测量并计算得出空地边缘曲线拟合函数，小明的爸爸打算改造空地，用家中现有的8米长的栅栏如图围一面靠墙矩形空地用来铺设草皮，请问小明的爸爸需要购买多少平方米的草皮才能铺满矩形草地？（不考虑材料的损耗）【答案】.【解析】【分析】设，进而可得，根据条件可得方程，然后结合条件即得. 【详解】设，因为，则，所以，解得，即，，此时矩形的面积为，即小明的爸爸需要购买6平方米的草皮才能铺满矩形草地．19.已知集合，．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）解分式不等式可得集合，后根据并集的定义运算即可；（2）由题可得，然后分类讨论，结合子集的定义即得.【小问1详解】因为，故；【小问2详解】若，则，，，，符合；②，，不符合，舍去；③，，则；综上，实数的取值范围为.20.已知函数．（1）判断函数奇偶性并证明； （2）设函数，若函数与的图象没有公共点，求实数的取值范围．【答案】（1）偶函数，证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据偶函数的定义，可得答案；（2）根据函数与方程的关系，利用二次函数的性质，可得答案.【小问1详解】函数定义域为，，，是偶函数.【小问2详解】等价于方程没有实数根．令，则没有大于的根，令．①时，符合；②时，对称轴，，无正根符合；③时，对称轴，，有一根大于，不符合．综上，．21.三角函数变形化简中常用“切割化弦”的技巧．其中“弦”指正弦函数与余弦函数，“切”指正切函数与余切函数，“割”指正割函数与余割函数．设是一个任意角，如图所示它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，与原点的距离为，则的正割函数定义为． （1）已知函数，写出的定义域和单调区间；（2）方程在所有根的和为，求的值．【答案】（1）详见解析；（2）1.【解析】【分析】（1）利用正割函数的定义可得函数的定义域及函数的单调区间；或使用转化思想，将对正割函数的研究转化为已学的余弦函数，进而即得；（2）根据函数的奇偶性可得，进而即得.【小问1详解】解法一：根据正割函数定义，是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，因为，显然，因此角的终边不能落在轴上，结合终边相同的角的表示，正割函数的定义域为，且因为，是该函数的一个周期．为大于0的定值，当时，此时越大即弧度制下的角越大，因此角终边上的点的横坐标越小，与横坐标的比值就越大，所以为函数的一个单调增区间，结合该函数的周期，为函数的单调增区间，同理为函数的单调增区间，和为的单调减区间；解法二：，，，，，定义域为， 当时，在区间和单调递减，所以的单调增区间为和；在区间和单调递增，所以的单调减区间为和；【小问2详解】因为，，，，故两函数均为偶函数，所以它们函数图象的交点关于轴对称，因此方程的根的和为0，也即，所以．22.已知函数，在区间上有最大值8，有最小值0，设．（1）求，值；（2）不等式在上有解，求实数的取值范围；（3）若方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）根据二次函数性质结合条件可得关于的方程，进而即得；（2）由题可得存在,使得成立，然后根据参变分离结合二次函数的性质即 得；（3）根据条件结合函数的图象可得方程有两个不同的实数根，然后根据二次函数根的分布问题，列出不等式解出即可.【小问1详解】由题可得，所以，；【小问2详解】由题可得，，因为在上有解,即存在,使得成立,因为，所以有成立,令,因为,所以,即,使得成立,只需即可,因为,得,所以k的取值范围是；【小问3详解】令，则，化简得：， 根据的图象可知，方程要有三个不同的实数解，则方程有两个不同的实数根，令，由题意：函数的两个零点，，①时，代入，，不成立；②，，由零点存在性定理，，由①②可知：.