贵州省2022学年遵义市高一上学期期末考试数学试题
资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。
a贵州省遵义市2022-2022学年高一上学期期末考试数学试题(解析版)一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.已知全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},集合B={2,4},则(∁UA)∪B为( )A.{2,4,5}B.{1,3,4}C.{1,2,4}D.{2,3,4,5}【答案】A【解析】解:∵全集U={1,2,3,4,5},集合A={1,3,4},∴∁UA={2,5},∵B={2,4},∴(∁UA)∪B={2,4,5}.故选:A.根据全集U及A求出A的补集,找出A补集与B的并集即可.此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键.2.cos600∘=( )A.−12B.32C.12D.−32【答案】A【解析】解:cos600∘=cos(−120∘)=cos120∘=−12;故选:A.利用诱导公式直接化简函数的表达式,通过特殊角的三角函数值求解即可.本题是基础题,考查三角函数的求值,注意正确应用诱导公式是解题的关键.3.已知角α的终边经过点P(4,−3),则2sinα+cosα的值等于( )A.−35B.45C.25D.−25【答案】D【解析】解:利用任意角三角函数的定义,sinα=yr=−316+9=−35,cosα=xr=45∴2sinα+cosα=2×(−35)+45=−25故选:D.利用任意角三角函数的定义,分别计算sinα和cosα,再代入所求即可11/11\n本题主要考查了任意角三角函数的定义及其用法,属基础题1.函数y=1log2(x−2)的定义域为( )A.(−∞,2)B.(2,+∞)C.(2,3)∪(3,+∞)D.(2,4)∪(4,+∞)【答案】C【解析】解:要使原函数有意义,则log2(x−2)≠0x−2>0,解得:2<x<3,或x>3所以原函数的定义域为(2,3)∪(3,+∞).故选:C.根据“让解析式有意义”的原则,对数的真数大于0,分母不等于0,建立不等式,解之即可.本题主要考查了函数的定义域及其求法,求定义域常用的方法就是根据“让解析式有意义”的原则,属于基础题.2.已知函数f(x)=2x+x−4,在下列区间中包含f(x)零点的区间是( )A.(0,1)B.(1,2)C.(2,4)D.(4,+∞)【答案】B【解析】解:∵函数f(x)=2x+x−4,是连续函数,f(1)=−1<0,f(2)=2>0,根据零点存在定理,∵f(1)⋅f(2)<0,∴函数在(1,2)存在零点,故选:B.要判断函数f(x)=2x+x−4,的零点的位置,根据零点存在定理,则该区间两端点对应的函数值,应异号,将四个答案中各区间的端点依次代入函数的解析式,易判断零点的位置.要判断函数的零点位于哪个区间,可以根据零点存在定理,即如果函数f(x)在区间(a,b)上存在一个零点,则f(a)⋅f(b)<0,如果方程在某区间上有且只有一个根,可根据函数的零点存在定理进行解答,但要注意该定理只适用于开区间的情况,如果已知条件是闭区间或是半开半闭区间,要分类讨论.3.为了得到函数y=sin(2x−π3)的图象,只需把函数y=sin2x的图象上所有的点( )A.向左平行移动π3个单位长度B.向右平行移动π3个单位长度C.向左平行移动π6个单位长度D.向右平行移动π6个单位长度【答案】D11/11\n【解析】解:把函数y=sin2x的图象向右平移π6个单位长度,可得函数y=sin2(x−π6)=sin(2x−π3)的图象,故选:D.由条件根据函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,可得结论.本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,属于基础题.1.已知向量a,b,c满足|a|=1,|b|=2,c=a+b,c⊥a,则a与b的夹角等于( )A.120∘B.60∘C.30∘D.90∘【答案】A【解析】解:∵c⊥a,c=a+b,∴(a+b)⋅a=0∴a⋅b=−|a|2=−1cos<a,b> =ab|a||b|=−12∴a与b的夹角等于1200故选:A.要求夹角,就要用到数量积,所以从c⊥a入手,将c=a+b,代入,求得向量a,b的数量积,再用夹角公式求解.本题主要考查向量的数量积和向理的夹角公式,数量积是向量中的重要运算之一,是向量法解决其他问题的源泉.2.设a=20.3,b=0.32,c=log20.3,则a,b,c的大小关系是( )A.a<b<cB.b<c<aC.c<a<bD.c<b<a【答案】D【解析】解:∵0<0.32<1log20.3<020.3>1∴log20.3<0.32<20.3,即c<b<a故选:D.要比较三个数字的大小,可将a,b,c与中间值0,1进行比较,从而确定大小关系.本题主要考查了对数值、指数值大小的比较,常常与中间值进行比较,属于基础题.3.若扇形的圆心角是π3,半径为R,则扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为( )A.1:2B.1:3C.2:3D.3:4【答案】C11/11\n【解析】解:∵扇形的圆心角是π3,半径为R,∴S扇形=12lR=πR26∵扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上,∴几何知识,r+2r=R,所以内切圆的半径为R3,∴S圆形=πR29,∴扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为πR29:πR26=23故选:C.确定扇形的内切圆的半径,分别计算扇形的内切圆面积与扇形的面积,即可得到结论.本题考查扇形的面积公式,考查学生的计算能力,确定扇形的内切圆的半径是关键.1.如果偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数且最小值是2,那么f(x)在(−∞,0]上是( )A.减函数且最小值是2B.减函数且最大值是2C.增函数且最小值是2D.增函数且最大值是2【答案】A【解析】解:∵偶函数f(x)在[0,+∞)上是增函数且最小值是2,由偶函数在对称区间上具有相反的单调性可知,f(x)在(−∞,0]上是减函数且最小值是2.故选:A.直接由函数奇偶性与单调性的关系得答案.本题考查函数的奇偶性与单调性的关系,关键是明确偶函数在对称区间上具有相反的单调性,是基础题.2.已知f(x)=sin(2022x+π6)+cos(2022x−π3)的最大值为A,若存在实数x1,x2使得对任意实数x总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)成立,则A|x1−x2|的最小值为( )A.π2022B.2π2022C.4π2022D.π4034【答案】B【解析】解:f(x)=sin(2022x+π6)+cos(2022x−π3)=sin2022xcosπ6+cos2022xsinπ6+cos2022xcosπ3+sin2022xsinπ3=32sin2022x+12cos2022x+12cos2022x+32sin2022x=3sin2022x+cos2022x=2sin(2022x+π6).或f(x)=sin(2022x+π6)+cos(2022x−π3)=sin(2022x+π6)+cos(π3−2022x)=2sin(2022x+π6).∴f(x) 的最大值为A=2;11/11\n由题意得,|x1−x2|的最小值为T2=π2022,∴A|x1−x2|的最小值为2π2022.故选:B.根据题意,利用三角恒等变换化简函数f(x)的解析式,再利用正弦函数的周期性和最值,即可求出A|x1−x2|的最小值.本题考查了三角函数的恒等变换以及正弦、余弦函数的周期性和最值问题,是基础题目.1.定义一种运算a⊗b=b,a>ba,a≤b,若f(x)=2x⊗|x2−4x+3|,当g(x)=f(x)−m有5个零点时,则实数m的取值范围是( )A.(0,1)B.[0,1]C.(1,3)D.[1,3]【答案】A【解析】解:由题意,f(x)=2x⊗|x2−4x+3|,其图象如下:结合图象可知,g(x)=f(x)−m有5个零点时,实数m的取值范围是(0,1),故选:A.画出f(x)=2x⊗|x2−4x+3|,图象,结合图象可知,求解g(x)=f(x)−m有5个零点时m的取值.,本题考查了学生对新定义的接受与应用能力及数形结合的思想应用,属于中档题.二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)2.函数f(x)=(m2+3m+1)⋅xm2+m−1是幂函数,且其图象过原点,则m=______.【答案】−3【解析】解:∵函数f(x)=(m2+3m+1)⋅xm2+m−1是幂函数,且其图象过原点,∴m2+3m+1=1,且m2+m−1>0,∴m=−3.故填−3.由已知知函数是幂函数,则其系数必定是1,即m2+3m+1=1,结合图象过原点,从而解出m的值.11/11\n本题考查幂函数的图象与性质、数形结合,解题时应充分利用幂函数的图象,掌握图象的性质:当指数大于0时,图象必过原点.需结合函数的图象加以验证.1.已知函数f(x)=ax+bx2+1是定义在(−∞,+∞)上的奇函数,且f(12)=−25,则f(1)=______.【答案】12【解析】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=ax+b1+x2是定义在(−1,1)上的奇函数,∴f(−x)=−f(x),即 −ax+b1+x2=−ax+b1+x2,∴−ax+b=−ax−b,∴b=0,∵f(12)=25,∴12a1+(12)2=25,解得a=1,∴f(x)=x1+x2,∴f(1)=11+12=12.故答案为:12.由题意可得,f(−x)=−f(x),代入可求b,然后由且f(12)=25可求a,进而可求函数解析式;本题主要考查了奇函数定义的应用及待定系数求解函数的解析式,考查了函数的单调性在不等式的求解中的应用.2.△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,若AO=12(AB+AC),且|AO|=|AB|,则BA⋅BC=______.【答案】1【解析】解:△ABC的外接圆的圆心为O,且AO=12(AB+AC),∴O为BC的中点,故△ABC为直角三角形,|AO|=|AB|=|BO|=1,∴△ABO为等边三角形,∠B=13π,则BA⋅BC=1×2×12=1.故答案为:1.由△ABC的外接圆的圆心为O满足AO=12(AB+AC),可知O为BC的中点,且△ABC为直角三角形,然后结合向量数量积的定义可求.11/11\n本题主要考查了向量基本定理,向量的数量积的定义的应用,解题的关键是找到△ABC为直角三角形的条件.1.若sin(π6+α)=13,则cos(2π3−2α)=______【答案】−79【解析】解:sin(π6+α)=13,∴cos[π2−(π6+α)]=cos(π3−α)=13,∴cos(2π3−2α)=2cos2(π3−α)−1=2×19−1=−79.故答案为:−79.利用诱导公式和二倍角公式,计算即可.本题考查了三角函数求值运算问题,是基础题.三、解答题(本大题共6小题,共70.0分)2.已知向量AB=(4,3),AD=(−3,−1),点A(−1,−2).(1)求线段BD的中点M的坐标;(2)若点P(2,y)满足PB=λBD(λ∈R),求y与λ的值.【答案】解:(1)设B(x,y).∵A(−1,−2),∴AB=(x+1,y+2)=(4,3),∴y+2=3x+1=4,解得y=1x=3即B(3,1).同理可得D(−4,−3).∴线段BD的中点M的坐标为(−12,−1),(2)∵PB=(1,1−y),BD=(−7,−4),∴由PB=λBD得(1,1−y)=λ(−7,−4),∴解得y=37,λ=−17.【解析】利用向量中点坐标公式和向量共线定理即可得出.熟练掌握向量中点坐标公式和向量共线定理是解题的关键.3.某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数:①sin213∘+cos217∘−sin 13∘cos 17∘;②sin215∘+cos215∘−sin 15∘cos 15∘;③sin218∘+cos212∘−sin11/11\n 18∘cos 12∘;④sin2(−18∘)+cos248∘−sin(−18∘)cos (−48∘);⑤sin2(−25∘)+cos255∘−sin(−25∘)cos (−55∘).(1)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;(2)根据(1)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.【答案】(本小题满分12分)解:方法一:(1)选择②式,计算如下:sin215∘+cos215∘−sin 15∘cos 15∘=1−12sin 30∘=1−14=34…(4分)(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=sin2α+(cos 30∘cos α+sin 30∘sin α)2−sin α(cos 30∘cos α+sin 30∘sin α)=sin2α+34cos2α+32sin αcos α+14sin2α−32sin αcos α−12sin2α=34sin2α+34cos2α=34…(12分)方法二:(1)同方法一.(2)三角恒等式为sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=34.证明如下:sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=1−cos2α2+1+cos60∘−2α2−sin α(cos 30∘cos α+sin 30∘sin α)=12−12cos 2α+12+12(cos 60∘cos 2α+sin 60∘sin 2α)−32sin αcos α−12sin2α=12−12cos 2α+12+14cos 2α+34sin 2α−34sin 2α−14(1−cos 2α)=1−14cos 2α−14+14cos 2α=34…(12分)【解析】方法一:(1)选择②式,由倍角公式及特殊角的三角函数值即可得解.(2)发现推广三角恒等式为sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=34,由三角函数中的恒等变换应用展开即可证明.方法二:(1)同方法一.(2)发现推广三角恒等式为sin2α+cos2(30∘−α)−sin αcos(30∘−α)=34.由降幂公式,三角函数中的恒等变换应用展开即可证明.本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用,归纳推理,属于基本知识的考查.1.销售甲、乙两种商品所得利润分别是y1、y2万元,它们与投入资金x万元的关系分别为y1=mx+1+a,y2=bx,(其中m,a,b都为常数),函数y1,y2对应的曲线C1、C2如图所示.(1)求函数11/11\ny1、y2的解析式;(2)若该商场一共投资4万元经销甲、乙两种商品,求该商场所获利润的最大值.【答案】解:(1)由题意m+a=03m+a=85,解得m=45,a=−45,y1=45x+1−45,(x≥0)…(4分)又由题意8b=85得b=15,y2=15x(x≥0)…(7分)(不写定义域扣一分)(2)设销售甲商品投入资金x万元,则乙投入(4−x)万元由(1)得y=45x+1−45+15(4−x),(0≤x≤4)…(10分)令x+1=t,(1≤t≤5),则有y=−15t2+45t+15=−15(t−2)2+1,(1≤t≤5),当t=2即x=3时,y取最大值1.答:该商场所获利润的最大值为1万元.…(14分)(不答扣一分)【解析】(1)根据所给的图象知,两曲线的交点坐标为(8,58),由此列出关于m,a的方程组,解出m,a的值,即可得到函数y1、y2的解析式;(2)对甲种商品投资x(万元),对乙种商品投资(4−x)(万元),根据公式可得甲、乙两种商品的总利润y(万元)关于x的函数表达式;再利用配方法确定函数的对称轴,结合函数的定义域,即可求得总利润y的最大值.本题考查了函数模型的构建以及换元法、配方法求函数的最值,体现用数学知识解决实际问题,属于基础题.1.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中x∈R,A>0,ω>0,−π2<φ<π2)的部分图象如图所示.(1)求A,ω,φ的值;(2)已知在函数f(x)图象上的三点M,N,P的横坐标分别为−1,1,3,求sin∠MNP的值.11/11\n【答案】解:(1)由图知,A=1.(1分)f(x)的最小正周期T=4×2=8,所以由T=2πω,得ω=π4.(4分)又f(1)=sin(π4+ϕ)=1且−π2<ϕ<π2,所以,π4+ϕ=π2,解得ϕ=π4.(7分)(2)因为f(−1)=0,f(1)=1,f(3)=0,所以M(−1,0),N(1,1),P(3,0),设Q(1,0),(9分)在等腰三角形MNP中,设∠MNQ=α,则sinα=25,cosα=15.(11分)所以sin∠MNP=sin2α=2sinαcosα=2×25×15=45.(13分)【解析】(1)根据y=Asin(ωx+⌀)的图象特征,由函数的最值求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值.(2)求出三点M,N,P的坐标,在等腰三角形MNP中,设∠MNQ=α,求出sinα、cosα的值,再利用二倍角公式求得sin∠MNP的值.本题主要考查利用y=Asin(ωx+⌀)的图象特征,由函数y=Asin(ωx+⌀)的部分图象求解析式,由函数的最值求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,属于中档题.1.已知a=(sinx,−cosx),b=(cosx,3cosx),函数f(x)=a⋅b+32.(1)求f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标;(2)当0≤x≤π2时,求函数f(x)的值域.【答案】解:(1)∵f(x)=sinxcosx−3cos2x+32=12sin2x−32(cos2x+1)+32=12sin2x−32cos2x=sin(2x−π3) …(2分)∴f(x)的最小正周期为π,令sin(2x−π3)=0,得2x−π3=kπ,∴x=kπ2+π6,(k∈Z).故所求对称中心的坐标为(kπ2+π6,0),(k∈Z)−…(4分)(2)∵0≤x≤π2,∴−π3<2x−π3≤2π311/11\n …(6分)∴−32≤sin(2x−π3)≤1,即f(x)的值域为[−32,1]…(8分)【解析】(1)由向量的坐标运算可求得f(x)=sin(2x−π3),从而可求f(x)的最小正周期,并求其图象对称中心的坐标;(2)由0≤x≤π2可得2x−π3∈[−π3,2π3],从而可求得函数f(x)的值域.本题考查平面向量数量积的运算,考查两角和与差的正弦函数,考查正弦函数的定义域和值域及其周期,属于三角中的综合,考查分析问题、解决问题的能力.1.已知函数f(x)=x2−4x+a+3,g(x)=mx+5−2m.(Ⅰ)若y=f(x)在[−1,1]上存在零点,求实数a的取值范围;(Ⅱ)当a=0时,若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.【答案】解:(Ⅰ):因为函数f(x)=x2−4x+a+3的对称轴是x=2,所以f(x)在区间[−1,1]上是减函数,因为函数在区间[−1,1]上存在零点,则必有:f(−1)≥0f(1)≤0即a+8≥0a≤0,解得−8≤a≤0,故所求实数a的取值范围为[−8,0].(Ⅱ)若对任意的x1∈[1,4],总存在x2∈[1,4],使f(x1)=g(x2)成立,只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)的值域的子集.f(x)=x2−4x+3,x∈[1,4]的值域为[−1,3],下求g(x)=mx+5−2m的值域.①当m=0时,g(x)=5−2m为常数,不符合题意舍去;②当m>0时,g(x)的值域为[5−m,5+2m],要使[−1,3]⊆[5−m,5+2m],需5+2m≥35−m≤−1,解得m≥6;③当m<0时,g(x)的值域为[5+2m,5−m],要使[−1,3]⊆[5+2m,5−m],需5−m≥35+2m≤−1,解得m≤−3;综上,m的取值范围为(−∞,−3]∪[6,+∞).【解析】(1)y=f(x)在[−1,1]上单调递减函数,要存在零点只需f(1)≤0,f(−1)≥0即可(2)存在性问题,只需函数y=f(x)的值域为函数y=g(x)的值域的子集即可.本题主要考查了函数的零点,值域与恒成立问题.11/11
版权提示
- 温馨提示:
- 1.
部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
- 2.
本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
- 3.
下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
- 4.
下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)