广西2022学年河池市高一上学期期末考试数学试题

2022-2022学年广西河池市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x＞0}，B={x|-2＜x＜3}，则A∪B=（　　）A.{x|0<x<3}B.{x|−2<x<3}C.{x|x>−2}D.{x|x>0}2.若一个圆锥的轴截面是面积为9的等腰直角三角形，则这个圆锥的底面圆的半径为（　　）A.4B.2C.1D.33.函数f（x）=lg(2x−1)x2−4的定义域为（　　）A.(12,+∞)B.(12,2)∪(2,+∞)C.[12,2)∪(2,+∞)D.(2,+∞)4.已知直线mx+y=0与直线x+（m+1）y+2=0垂直，则m=（　　）A.−12B.−2C.2D.125.已知m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题正确的是（　　）A.若m//α，n//α，则m//nB.若m//α，n⊥α，则n⊥mC.若m⊂α，n⊂β，m//n，则α//βD.若α⊥γ，β⊥γ，则α//β6.已知圆C（C为圆心，且C在第一象限）经过A（0，0），B（2，0），且△ABC为直角三角形，则圆C的方程为（　　）A.(x−1)2+(y−1)2=4B.(x−2)2+(y−2)2=2C.(x−1)2+(y−2)2=5D.(x−1)2+(y−1)2=27.已知a=（45）4.1，b=log0.95，c=（53）0.1，则（　　）A.a>c>bB.c>a>bC.b>c>aD.c>b>a8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）A.3B.4C.5D.69.已知函数f（x）的图象如图所示，则函数f（x）的解析式可能是（　　）A.f(x)=(4x+4−x)|x|B.f(x)=(4x−4−x)log2|x|C.f(x)=(4x+4−x)log2|x|D.f(x)=(4x+4−x)log 12|x|11/12\n1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、AD的中点，则异面直线B1C与EF所成的角的大小为（　　）A.30∘B.45∘C.60∘D.90∘2.已知圆C：x2+y2-2x+m=0与圆（x+3）2+（y+3）2=36内切，点P是圆C上一动点，则点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为（　　）A.2B.3C.4D.53.已知函数f（x）=x2−6x+1，x≥0(12)x+1，x＜0，若g（x）=|f（x）|-a恰有4个零点，则a的取值范围为（　　）A.(12,1]B.(0,12)∪(1,8)C.[12,1)D.(0,12]∪(1，8)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）4.若一个半径为R的球与一个棱长为2的正方体的表面积相等，则R2=______．5.若15a=5b=3c=25，则1a+1b−1c=______．6.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）-2x+1为偶函数，则f（1）=______．7.将正方形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥D′-ABC，使得BD′=4，若三棱锥D′-ABC的外接球的半径为22，则三棱锥D′-ABC的体积为______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）8.已知直线l过点A（2，-3）．（1）若直线l在y轴上的截距为3，求直线l的方程；（2）若直线l与直线2x+y+b=0（b＜0）平行，且两条平行线间的距离为5，求b．9.已知f(x)=lg2+ax2−x(a≠−1)是奇函数．（1）求a的值；（2）若g(x)=f(x)+41+4x，求g(12)+g(−12)的值．10.在三棱锥P一ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，且CA=CB．11/12\n（1）证明：BC∥平面PDE；（2）若平面PCD⊥平面ABC，证明：AB⊥PC．1.已知函数f（x）=23-ax（a＞0）．（1）当a=2时，f（x）＜4，求x的取值范围；（2）若f（x）在[0，1]上的最小值大于1，求a的取值范围．2.已知圆C：x2-4x+y2+3=0．（1）过点P（0，1）且斜率为m的直线l与圆C相切，求m值；（2）过点Q（0，-2）的直线l与圆C交于A，B两点，直线OA，OB的斜率分别为k1，k2，其中O为坐标原点，k1k2=−17，求l的方程．3.设函数f（x）=ax2+4x+（a-2）x．（1）若f（1）=6，判断函数f（x）在区间[1，+∞）上的单调性，并用定义法证明；（2）若函数f（x）为奇函数，t＞0，且f（t+x2）+f（1-x-2x2）＞0对x∈[1，2]恒成立，求t的取值范围．11/12\n11/12\n答案和解析1.【答案】C【解析】解：A∪B={x|x＞-2}．故选：C．进行并集的运算即可．考查描述法的概念，以及并集的运算．2.【答案】D【解析】解：设圆锥的底面圆半径为r，则轴截面的面积为•2r•r=9，解得r=3．故选：D．圆锥的底面圆半径为r，利用轴截面的面积列方程求出r的值．本题考查了圆锥的轴截面面积计算问题，是基础题．3.【答案】B【解析】解：由，解得x＞且x≠2．∴函数f（x）=的定义域为（，2）∪（2，+∞）．故选：B．由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵直线mx+y=0与直线x+（m+1）y+2=0垂直，∴m+（m+1）=0，解得m=-．故选：A．利用直线与直线垂直的性质求解．本题考查直线中参数值的求法，是基础题，解题时要注意直线与直线的位置关系的合理运用．5.【答案】B【解析】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在A中，若m∥α，n∥α，则m与n相交、平行或异面，故A错误；在B中，若m∥α，n⊥α，则由直线与平面平行和垂直的判定定理和性质定理得n⊥m，故B正确；在C中，若m⊂α，n⊂β，m∥n，则α与β相交或平行，故C错误；在D中，若α⊥γ，β⊥γ，则α与β相交或平行，故D错误．故选：B．在A中，m与n相交、平行或异面；在B中，由直线与平面平行和垂直的判定定理和性质定理得n⊥m；在C中，α与β相交或平行；在D中，α与β相交或平行．11/12\n本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．6.【答案】D【解析】解：设C（a，b），则依题意得：C在AB的垂直平分线上，所以a=1，则C（1，b）由|AC|=|AB|，得=×2=，解得b=1（负值已舍），∴圆C的方程为：（x-1）2+（y-1）2=2，故选：D．因为△ABC为直角三角形，所以圆心C在AB的垂直平分线上，故可设C（1，b）．再根据|AC|=|AB|，可解得b=1．本题考查了圆的标准方程，属中档题．7.【答案】B【解析】解：结合指对数函数的图象，可得0＜a＜1，b＜0，c＞1，故c＞a＞b，故选：B．结合指数、对数函数的图象可得．本题考查了对数大小的比较，属基础题．8.【答案】D【解析】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体是把棱长为2的正方体截去右侧而得，则该几何体的体积为．故选：D．由三视图还原原几何体，可知该几何体是把棱长为2的正方体截去右侧而得，再由正方体体积公式求解．本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）的图象如图所示，函数是偶函数，x=1时，函数值为0．11/12\nf（x）=（4x+4-x）|x|是偶函数，但是f（1）≠0，f（x）=（4x-4-x）log2|x|是奇函数，不满足题意．f（x）=（4x+4-x）log2|x|是偶函数，f（0）=0满足题意；f（x）=（4x+4-x）log|x|是偶函数，f（0）=0，x∈（0，1）时，f（x）＞0，不满足题意．则函数f（x）的解析式可能是f（x）=（4x+4-x）log2|x|．故选：C．通过函数的图象，判断函数的奇偶性，利用特殊点判断函数的解析式即可．本题考查函数的图象判断函数的解析式，判断函数的奇偶性、单调性以及特殊点是解题的关键．10.【答案】C【解析】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD-A1B1C1D1中棱长为2，则E（2，1，0），F（1，0，0），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（-2，0，-2），=（-1，-1，0），设异面直线B1C与EF所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°．故选：C．以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1C与EF所成的角的大小．本题考查异面直线所成角的求法，涉及到正方体的结构特征、空间向量等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．11.【答案】A【解析】解：圆C：x2+y2-2x+m=0化为标准方程为（x-1）2+y2=1-m，由已知得：，解得m=0，∵圆心C（1，0）到5x+12y+8=0的距离d=，∴点P到直线5x+12y+8=0的距离的最大值为1+1=2，故选：A．11/12\n根据两圆内切求出m的值，利用直线和圆的位置关系即可得到结论．本题主要考查点到直线距离的求解，根据圆与圆的位置关系求出m是解决本题的关键，是基础题．12.【答案】D【解析】解：∵g（x）=|f（x）|-a恰有4个零点，∴y=f（x）|与y=a有4个交点，作出y=|f（x）|与y=a的函数图象如图所示：∴0＜a≤或1＜a＜8．故选：D．作出y=|f（x）|的函数图象，根据|f（x）|=a有4个零点得出a的范围．本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．13.【答案】6π【解析】解：由球的表面积公式和正方体的表面积公式，得出4πR2=6×22，解得R2=．故答案为：．根据球的表面积公式和正方体的表面积公式，列方程求得R2的值．本题考查了球的表面积和正方体的表面积公式应用问题，是基础题．14.【答案】1【解析】解：15a=5b=3c=25，∴a=log1525，b=log525，c=log325，11/12\n∴=log2515+log255-log253=log2515×5÷3=log2525=1，故答案为：1根据对数的运算性质计算即可．本题考查了对数的运算性质，属于基础题15.【答案】32【解析】解：根据题意，设g（x）=f（x）-2x+1，则g（1）=f（1）-22=f（1）-4，g（-1）=f（-1）-20=f（-1）-1，又由f（x）-2x+1为偶函数，则g（1）=g（-1），即f（1）-4=f（-1）-1，函数f（x）是定义在R上的奇函数，则f（-1）=-f（1），故有f（1）-4=-f（1）-1，解可得：f（1）=；故答案为：．根据题意，g（x）=f（x）-2x+1，结合g（x）的奇偶性可得f（1）-4=f（-1）-1，结合f（x）为奇函数可得f（1）-4=-f（1）-1，解可得f（1）的值，即可得答案．本题考查函数奇偶性的定义以及性质，关键是掌握函数奇偶性的性质，属于基础题．16.【答案】1623【解析】解：∵将正方形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥D′-ABC，使得BD′=4，三棱锥D′-ABC的外接球的半径为2，∴三棱锥D′-ABC的外接球的球心O位于AC的中点，∴|OD′|=|OB|=2，又|BD′|=4，∴DO′⊥OB，∴DO′⊥平面ABC，∴三棱锥D′-ABC的体积：==．故答案为：．推导出三棱锥D′-ABC的外接球的球心O位于AC的中点，从而|OD′|=|OB|=2，再求出DO′⊥OB，从而DO′⊥平面ABC，由此能求出三棱锥D′-ABC的体积．本题考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．17.【答案】解：（1）由题意可得直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=kx+3，∵直线l过点A（2，-3），∴-3=2k+3，求得k=-3，∴直线l的方程为y=-3x+3，即11/12\n3x+y-3=0．（2）若直线l与直线2x+y+b=0（b＜0）平行，可设直线l的方程为2x+y+b=0，∵两条平行线间的距离为5，∴|b+1|5=5，求得b=-6，故直线l的方程为2x+y-6=0．【解析】（1）设直线l的方程为y=kx+3，根据直线l过点A（2，-3），求得k的值，可得直线l的方程．（2）舍直线l的方程为2x+y+b=0，根据两条平行线间的距离为，求得b的值，可得直线l的方程．本题主要考查用待定系数法求直线的方程，两条直线平行的条件，两条平行直线间的距离，属于基础题．18.【答案】解：（1）因为f(x)=lg2+ax2−x是奇函数，所以f（x）+f（-x）=0，即lg2+ax2−x+lg2−ax2+x=0，整理得4-a2x2=4-x2，又a≠-1，所以a=1．（2）设h(x)=41+4x，因为h(−x)+h(x)=41+4−x+41+4x=4，所以h(−12)+h(12)=4，因为f（x）是奇函数，所以f(−12)+f(12)=0，所以g(12)+g(−12)=0+4=4．【解析】（1）利用函数的奇函数的定义，列出方程，求解即可．（2）构造函数，利用函数的奇偶性求解即可．本题考查函数的奇偶性的应用，考查计算能力．19.【答案】证明：（1）∵D，E分别为AB，AC的中点，∴DE∥BC，又DE⊂平面PDE，BC⊄平面PDE，∴BC∥平面PDE．（2）∵CA=CB，D为AB的中点，∴AB⊥CD，又平面PCD⊥平面ABC，平面PCD∩平面ABC=CD，∴AB⊥平面PCD，又PC⊂平面PCD，∴AB⊥PC．【解析】（1）由D，E分别为AB，AC的中点，得DE∥BC，由此能证明BC∥平面PDE．（2）推导出AB⊥CD，从而AB⊥平面PCD，由此能证明AB⊥PC．本题考查线面平行、线线垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．11/12\n20.【答案】解：（1）当a=2时，由f（x）=23-ax=23-2x＜4=22，可得3-2x＜2，∴x＞12，即x的取值范围为（12，+∞）．（2）∵函数f（x）=23-ax在[0，1]上单调递减，故f（x）在[0，1]上的最小值为f（1）=23-a＞1，∴3-a＞0，即a＜3，又a＞0，∴a的取值范围为（0，3）．【解析】（1）当a=2时，由f（x）＜4，解指数不等式，求出x的取值范围．（2）利用函数的单调性求得f（x）在[0，1]上的最小值，再根据此最小值大于1，求得a的范围．本题主要考查复合函数的单调性，求函数的最值，解指数不等式，属于中档题．21.【答案】解：（1）由题意可知直线l的方程为y=mx+1，圆C：（x-2）2+y2=1，圆心为（2，0），半径为1，∵直线l与圆C相切，∴d=|2m+1|1+m2=1，解得m=0或m=−43；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l斜率不存在，明显不符合题意，故设l的方程为y=kx-2，代入方程x2-4x+y2+3=0，整理得（1+k2）x2-4（k+1）x+7=0．∴x1+x2=4(k+1)1+k2，x1x2=71+k2，由△＞0，即3k2-8k+3＜0．∴k1k2=y1y2x1x2=k2x1x2−2k(x1+x2)+4x1x2=−17，解得k=1或k=53，∴l的方程为y=x-2或y=53x−2．【解析】（1）由题意可知直线l的方程为y=mx+1，再求出圆C的圆心和半径，然后由点到直线的距离公式求解即可；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l斜率不存在，明显不符合题意，故设l的方程为y=kx-2，代入圆C方程整理得（1+k2）x2-4（k+1）x+7=0，然后根据根与系数的关系以及已知条件求解即可．本题考查了直线与圆的位置关系，考查了点到直线的距离公式以及根与系数的关系，是中档题．22.【答案】解：（1）函数f（x）=ax2+4x+（a-2）x，且f（1）=6，即有2a+2=6，即a=2，11/12\n可得f（x）=2x2+4x，f（x）在区间[1，+∞）上递增；理由：设1≤x1＜x2，f（x1）-f（x2）=2（x12-x22）+4（1x1-1x2）=2（x1-x2）（x1+x2-2x1x2），由1≤x1＜x2，可得x1-x2＜0，x1+x2＞2，x1x2＞1，0＜2x1x2＜2，则x1+x2-2x1x2＞0，f（x1）-f（x2）＜0，即，f（x1）＜f（x2），则f（x）在区间[1，+∞）上递增；（2）函数f（x）=ax2+4x+（a-2）x为奇函数，可得f（-x）=-f（x），即有ax2-4x-（a-2）x=-（ax2+4x+（a-2）x），可得2ax2=0，则a=0，f（x）=4x-2x，当x＞0时，f（x）递减，由t＞0，1≤x≤2可得t+x2＞0，2x2+x-1＞0，由f（t+x2）+f（1-x-2x2）＞0可得f（t+x2）＞-f（1-x-2x2）=f（2x2+x-1），即有t+x2＜2x2+x-1，即为t＜x2+x-1在1≤x≤2恒成立，由y=x2+x-1在1≤x≤2递增，可得y的最小值为1，可得0＜t＜1．【解析】（1）由f（1）=6，可得a，即有f（x）在区间[1，+∞）上递增；运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤；（2）由奇函数的定义可得a=0，可得f（x）在[1，2]递减，运用奇函数和单调性可得t+x2＜2x2+x-1，即为t＜x2+x-1在1≤x≤2恒成立，运用二次函数的单调性，求得最小值，即可得到所求范围．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查定义法和转化思想，以及化简运算能力，属于中档题．11/12