广西百色市2022-2023学年高一上学期期末教学质量调研测试数学试题

2022年秋季学期百色市普通高中期末教学质量调研测试高一数学（满分：150分；考试时长：120分钟）1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号写在答题卡上.2.回答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则图中阴影部分表示的集合是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据图表示的进行计算即可.【详解】图中阴影部分表示的集合是，因为，，所以.故选：B2.设命题，则的否定为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据特称命题的否定即可求解.【详解】因为，所以.故选：B3.的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用诱导公式和三角函数的两角和的正弦公式求解.【详解】解：，，，，，，故选：A4.已知函数，则的定义域为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意列式求解定义域即可.【详解】由题意得：，所以，所以的定义域为. 故选：D5.折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1.其平面图如图2的扇形AOB，其中，，则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据题意和扇形的面积公式分别求出扇形AOB、COD的面积即可得解.【详解】由题意可得，扇形AOB的面积是，扇形COD的面积是．则扇面（曲边四边形ABDC）的面积是．故选：A6.设，则的零点所在大致区间为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.【详解】因为与在定义域上单调递增，所以在定义域上单调递增，且为连续函数，又，，即，所以的零点所在大致区间为. 故选：C7.已知，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数和对数函数结合指数幂的运算，利用中间量法即可得出答案.【详解】，，因为，所以，所以.故选：D.8.设函数定义域为，满足，且，若在上单调递增，则不等式的解为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先得到为奇函数，根据奇函数的性质得出上的单调性，然后分类讨论解不等式.【详解】由和定义域可得，为奇函数，由在上单调递增，由奇函数的性质得在上是增函数，且，显然不满足，又， 于是由，可得或，解得，类似的，的解集为，所以不等式等价为，解得，或，解得，综上所述，的解为.故选：B.二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知实数，其中，则下列关系中恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】根据不等式性质可判断A，C；举反例判断B；利用作差法判断D.【详解】对于A，由于，故两边同乘以b，即，A正确；对于B，当时，不成立，B错误；对于C，由于，故，C正确；对于D，因为，则，故，故，D正确，故选：ACD10.下列说法正确的是（）A.函数的图像恒过定点B.是的充分不必要条件C.函数的最小正周期为 D.函数的最小值为【答案】ABC【解析】【分析】对于A，根据指数型函数相关性质直接计算；对于B，根据充分不必要条件的相关概念直接判断；对于C，根据三角函数周期性直接判断；对于D，根据基本不等式，结合取等条件进行判断即可.【详解】对于A，令，得，此时，该函数图像恒过定点，故A正确；对于B，是的充分不必要条件显然正确，故B正确；对于C，函数的最小正周期为显然正确，故C正确；对于D，函数，当且仅当时取等，此时，无实数解，故取不到最小值2，即函数的最小值不为2，故D错误.故选：ABC11.函数（，且）与在同一坐标系中的图像可能是（）A..B.CD.【答案】BD【解析】【分析】根据指数函数图像性质直接判断.【详解】由题意得，中若，，则， 若，，则；中表示纵截距.对于A，图像中，图像中，故A错误；对于B，图像中，图像中，故B正确；对于C，图像中，图像中，故C错误；对于D，图像中，图像中，故D正确；故选：BD12.已知奇函数对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（）A.函数是奇函数B.为函数的一条对称轴C.若，则有D.函数在区间上单调递减【答案】BC【解析】【分析】利用已知条件求出的周期可得，再利三角函数图象的平移伸缩变换得的解析式，利用诱导公式化简得可判断A；由是否取得最值可判断B；利用正弦的二倍角公式计算可判断C：求出的范围，根据正弦函数的单调性可判断D.【详解】， 对于都有成立，所以，，所以对于都成立，可得的周期，所以，所以，又函数为奇函数有，即，由可求，故函数，图象向右平移个单位长度可得，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得，对于选项A：，因为是偶函数，所以是偶函数，故选项A错误；对于选项B：函数，所以是它的一条对称轴，故选项B正确；对于选项C：若，则有，于是，故C正确：对于选项D：当时，，所以函数在区间上单调递增，故选项D错误.故选：BC.三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.若点在角的终边上，则________．【答案】【解析】【分析】 根据正弦函数的定义可求的值.【详解】因为，故，故，故答案为：.14.幂函数在区间上单调递增，则______；【答案】2【解析】【分析】根据幂函数相关性质直接求解.【详解】因为是幂函数，所以，则，当时，在区间上单调递增，符合题意；当时，在区间上单调递减，不符合题意.所以故答案为：215.已知，则__________.【答案】【解析】【分析】对平方，结合的平方关系，计算.【详解】因为，可得，所以.故答案为：16.已知函数，若关于方程有个不同根，则实数的取值范围是____________.【答案】【解析】 【分析】令，结合函数图象，可知有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上，构造，结合二次函数根的分布，列出不等式，解出的范围，可得结论.【详解】作出函数的图象如图：关于x的方程有6个不同根，令，，即方程有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上.令，若在上和上各有一个不同的零点，所以，解得，若在有两个不同的零点，所以，该不等式组无解，综上，∴.故答案为：.【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于作出的图象，结合二次函数的性质判断概的位置，从而得解.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.计算下列各式的值：（1）； （2）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据根式的运算，化简可得答案；（2）根据对数的运算法则即可求得答案.【小问1详解】；【小问2详解】.18.已知集合，，，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）或（2）或【解析】【分析】（1）根据条件得到，再结合交集和补集运算求解即可；（2）根据得到，根据和分类讨论即可.小问1详解】当时，，又因为， 所以，因为，所以或【小问2详解】若，则有，即当时，则，得；当时，则，即，则；综上，实数m的取值范围为或19.已知（1）求的值；（2）求的值.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）由诱导公式化简可得，再由两角和的正切展开式即可求出；（2）由、可求解.【小问1详解】依题意，，即可得，于是； 【小问2详解】由（1）有，又，解得，，又与同号，于是或.20.已知函数的部分图象如图所示.（1）求的解析式；（2）若在上单调递增，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）结合图像的最高点可求出，根据轴上的数据可求出周期，然后在代入一个点可求出解析式；（2）根据三角恒等变换化简得出，然后根据正弦函数的单调性求解.【小问1详解】依题意，由图知，，，即，得，所以，又，所以，， 即，，由得，所以.【小问2详解】由（1）可知，，则，因为，所以，根据正弦函数在上递增可知，所以，即，所以m的取值范围为.21.十九大指出中国的电动汽车革命早已展开，通过以新能源汽车替代汽/柴油车，中国正在大力实施一项将重塑全球汽车行业的计划.2022年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2000万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且．由市场调研知，每辆车售价5万元，且全年内生产的车辆当年能全部销售完．（1）求出2022年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）2022年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．【答案】（1）（2）当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．【解析】【分析】（1）根据年利润销售额投入的总成本固定成本，分和两种情况得到利润 （万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；（2）当时利用二次函数的性质求出的最大值，当时，利用基本不等式求的最大值，最后再比较即可．【小问1详解】解：当时，，当时，，；【小问2详解】当时，，这个二次函数的对称轴为，所有当时，为最大值，当时，，，当且仅当即时，等号成立，，即当时，取到最大值2300，，当时，即2022年产量为100百辆时，企业所获利润最大，且最大利润为2300万元．22.已知函数.（1）求证：是奇函数；（2）若对任意，恒有，求实数a的取值范围.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）计算化简，得出即可证明；（2）根据奇函数得出，再根据单调性得出 ，进而得出恒成立，令，可得，利用单调性求出的最大值即可.【详解】（1）证明：的定义域是R，又，且，所以，是奇函数.（2）解：由，得，因为是奇函数，所以，即.又因为在R上单调递增，所以，即，所以，对任意，恒成立，设，.则.因为函数在上单调递减，所以，即，则， 所以，实数a的取值范围是.【点睛】本题考查奇偶性和单调性的综合应用，考查不等式的恒成立问题，解题的关键是利用函数是奇函数和单调递增得出恒成立，换元得出，再利用单调性求出最大值.