人教版九年级数学下册（第二十八章 锐角三角函数）28.1 锐角三角函数（学习、上课课件）

28.1锐角三角函数第二十八章锐角三角函数 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2锐角三角函数的定义锐角三角函数之间的关系特殊角的三角函数值任一锐角的三角函数值 知1－讲感悟新知知识点锐角三角函数的定义1定义：如图28.1-1，在△ABC中，∠C=90°， 知1－讲感悟新知∠A的正弦：sinA==.∠A的余弦：cosA==.∠A的正切：tanA==∠A的正弦、余弦、正切统称为∠A的锐角三角函数. 感悟新知知1－讲特别提醒1.正弦、余弦、正切都是一个比值，是没有单位的数值，它们只与锐角的大小有关，而与三角形的边的长短无关.2.由于直角三角形的斜边大于直角边，且各边的边长均为正实数，所以锐角三角函数值都是正实数，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，tanA>0. 感悟新知知1－讲3.正弦、余弦、正切符号后面可以直接写锐角的度数，如sin28°，cos8°，tan18°等.4.sinx，cosx和tanx都是以x为自变量的函数，一旦x的度数确定，它们的值就唯一确定，即锐角三角函数值随角度的变化而变化. 感悟新知2.表示法：(1)在sinA，cosA，tanA中，三角函数的符号一定要小写，不能大写.(2)当锐角是用一个大写英文字母或一个小写希腊字母表示时，它的三角函数习惯上省略角的符号，如sinA，cosα，tanB等；当锐角是用三个大写英文字母或数字表示时，它的三角函数不能省略角的符号，如sin∠ABC，sin∠1等.知1－讲 感悟新知(3)“sinA”，“cosA”，“tanA”是整体符号，不能理解为“sin·A”，“cos·A”，“tan·A”.(4)sin2A表示sinA·sinA=(sinA)2，不能写成sinA2；cos2A表示cosA·cosA=(cosA)2，不能写成cosA2；tan2A表示tanA·tanA=(tanA)2，不能写成tanA2.知1－讲 知1－练感悟新知在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.已知a=6，b=8，求出∠A的三角函数值.例1 知1－练感悟新知解：如图28.1-2，在Rt△ABC中，∵∠C=90°，a=6，b=8，∴c===10.∴sinA===，cosA===，tanA===.解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义”求解. 知1－练感悟新知方法点拨：已知直角三角形的任意两边长求某个锐角的三角函数值时，运用数形结合思想,首先画出符合题意的直角三角形，然后根据勾股定理求出未知边长，最后结合锐角三角函数的定义求锐角的三角函数值. 知1－练感悟新知1-1.[中考·滨州]在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC=5，BC＝12，则sinA=______． 知1－练感悟新知1-2.[中考·扬州]在△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若b2=ac，则sinA的值为_________． 知1－练感悟新知在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则tanB=()A.B.C.D.例2 知1－练感悟新知解：由sinA==，可设BC=4k(k>0)，则AB=5k，根据勾股定理，得AC=3k，∴tanB===.解题秘方：当三角形出现边与边的比时，可引入参数，用这个参数表示出三角形的三边长，再用定义求解.答案：B 知1－练感悟新知技巧点拨：在直角三角形中，给出某一个锐角的三角函数值，求另一个锐角的三角函数值时，可以用设辅助元，即引入“参数”的方法来解决，注意在最后计算时约去辅助元. 知1－练感悟新知2-1.已知sinα=，α为锐角，求cosα和tanα的值. 知1－练感悟新知如图28.1-3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，如果2AB=3BC，求∠B的三个三角函数值.例3 知1－练感悟新知解：过点A作AD⊥BC于点D，如图28.1-3，∵AB=AC，∴BD=DC.又∵2AB=3BC，∴=.解题秘方：紧扣“锐角三角函数的定义的前提是在直角三角形中”这一特征，用“构造直角三角形法”求解. 知1－练感悟新知设AB=AC=3k(k>0)，则BC=2k.∴BD=CD=k，∴AD===8k2=2k.∴sinB===，cosB===，tanB===2. 知1－练感悟新知3-1.[中考·连云港]如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格线上，且都是小正方形边的中点，则sinA=_________． 知1－练感悟新知如图28.1-4，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF是折痕，若AE=3，则sin∠BFD的值为()A.B.C.D.例4 知1－练感悟新知解题秘方：紧扣“角相等则其三角函数值也相等”这一特征，用“等角转换法”将所要求的角的三角函数值转化为求直角三角形中与该角相等的角的三角函数值. 知1－练感悟新知解：∵在△ABC中，AC=BC=4，∴∠A=∠B.由折叠得到DE=AE=3，∠EDF=∠A，∴∠EDF=∠B.∵∠CDF=∠CDE+∠EDF=∠B+∠BFD，∴∠CDE=∠BFD.在Rt△CDE中，∵CE=AC－AE=1，∴sin∠CDE==.∴sin∠BFD=.答案：A 知1－练感悟新知4-1.如图，CD是Rt△ABC斜边上的高，AC=4，BC=3，求cos∠BCD的值. 知1－练感悟新知 感悟新知知2－讲知识点锐角三角函数之间的关系21.同一锐角的三角函数之间的关系：(1)平方关系：sin2A+cos2A=1.(2)商除关系：=tanA. 感悟新知知2－讲2.互余两角的三角函数之间的关系sinA=cos(90°－∠A).cosA=sin(90－∠A). 知2－讲感悟新知深度理解1.锐角三角函数之间的关系都可用定义推理得出.2.锐角三角函数定义速记口诀：正弦等于对比斜，余弦等于邻比斜，正切等于对比邻，函数特点要牢记. 感悟新知知2－练已知α为锐角，且sinα=，求cosα，tanα的值.例5解题秘方：紧扣“同一锐角三角函数间的关系”求解. 知2－练感悟新知解：∵sin2α+cos2α=1，sinα=，∴cos2α=1－sin2α=1－=.又∵α为锐角，∴0＜cosα＜1，∴cosα=，∴tanα===. 知2－练感悟新知5-1.在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，求cosA，tanA的值. 感悟新知知2－练计算：sin21°+sin22°+…+sin288°+sin289°.例6解题秘方：紧扣sinα=cos(90°－α)将原式变形，再根据sin2α+cos2α=1求解. 知2－练感悟新知解：原式=sin21°+sin22°+…+sin244°+sin245°+cos244°+…+cos22°+cos21°=(sin21°+cos21°)+(sin22°+cos22°)+…+(sin244°+cos244°)+sin245°=44+=44. 知2－练感悟新知6-1.在△ABC中，已知∠C=90°，sinA+sinB=，求sinA－sinB的值. 知2－练感悟新知 感悟新知知3－讲知识点特殊角的三角函数值31.30°，45°，60°角的三角函数值： 知3－讲感悟新知角α三角函数值三角函数30°45°60°sinαcosαtanα1 知3－讲感悟新知特别提醒1.由左表可以计算特殊锐角的三角函数值，也可由特殊角的三角函数值求出相应的锐角.2.2sin60°表示sin60°的2倍，书写时省略2与sin60°之间的乘号，且应将数字2放在前面，不要写成sin60°·2，以免误以为是sin120°.3.对于含有三角函数的计算题，应先把相应的三角函数值代入，将运算转化为实数的混合运算，然后根据实数的运算法则计算. 知3－讲感悟新知2.30°，45°，60°角的三角函数值的记忆法：巧记特殊角的三角函数值：三十、四十五、六十度，三角函数要记住，分母弦二切是三，分子要把根号添，一二三来三二一，切值三、九、二十七，正弦正切递增值，余弦递减恰相反. 知3－练感悟新知(1)已知α=45°，求2sin2α－2sinα·tanα+tan2α；例7解题秘方：用“代入法”求值.解：原式=(sinα－tanα)2=(sin45°－tan45°)2=(×－1)2=0. 知3－练感悟新知(2)计算tan245°+－3cos230°－.解：原式=×12+－3×()2－=+4－－1=1. 知3－练感悟新知7-1.求下列各式的值.(1)sin30°－2cos60°+tan45°；(2)；(3)(1－)0－|1－sin30°|+()－1. 知3－练感悟新知在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且∠A，∠B满足|sinA－|+(－tanB)2=0，试判断△ABC的形状，并说明理由.例8 知3－练感悟新知解题秘方：先根据特殊角的三角函数值求出两个内角的度数，再判断三角形的形状. 知3－练感悟新知解：△ABC是直角三角形.理由如下：∵|sinA－|+(－tanB)2=0，∴sinA－=0，－tanB=0.∴sinA=，tanB=.又∵∠A，∠B均为锐角，∴∠A=60°，∠B=30°.∴∠A＋∠B=60°+30°=90°.∴△ABC是直角三角形. 知3－练感悟新知方法点拨：已知三角函数值求角度，关键要注意两点：一要说明角是锐角；二要注意三角函数值与锐角之间是一一对应的关系. 知3－练感悟新知8-1.在锐角三角形ABC中，若|sinA－|+(1－tanB)2=0，则∠C的度数是()A.45°  B.60°C.75°  D.105°C 知3－练感悟新知8-2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，AC=，则∠B的度数为___________.60° 感悟新知知4－讲知识点任一锐角的三角函数值41.利用计算器求锐角三角函数值的方法：(1)当锐角的大小以度为单位时，可先按sin(或cos、tan)键，然后输入角度值(可以是整数，也可以是小数)，最后按=键，就可以在显示屏上显示出结果； 感悟新知知4－讲(2)当锐角的大小以度、分、秒为单位时，要借助°′″键计算，按键顺序是：sin(或cos、tan)、度数、°′″、分数、°′″、秒数、°′″、=. 感悟新知知4－讲2.已知锐角三角函数值求锐角的度数的方法：如果是特殊角的三角函数值，可直接写出其相应的角的度数；若不是特殊角的三角函数值，应利用计算器求角的度数.求角的度数要先按2ndF键，将sin键、cos键、tan键转化成它们的第二功能键；当三角函数值为分数时，可先化成小数. 知4－讲感悟新知特别提醒●不同计算器的按键顺序不同，大体分两种情形：先按三角函数键，再按数字键；或先输入数字，再按三角函数键.●用科学计算器进行运算时，输入的数字符号的顺序与书写时的顺序不一定相同，比如sin213°15′，输入时应为(sin13°15′)2. 感悟新知知4－练用计算器求sin16°，cos42°，tan85°，sin72°38′25″的值.例9解题秘方：按计算器的使用说明求值. 知4－练感悟新知解：如下表： 知4－练感悟新知9-1.用计算器求下列各式的值(结果精确到0.0001).sin23°5′+cos66°55′.(2)cos14°28′－tan42°57′..解：原式＝sin23°5′＋sin23°5′＝2sin23°5′≈2×0.39207≈0.7841.原式≈0.96829－0.93088≈0.0374. 知4－练感悟新知(3)sin27.8°－cos65°37′+tan49°56′.解：原式≈0.01842－0.41284＋1.18894≈0.7945. 感悟新知知4－练已知下列锐角三角函数值，用计算器求其相应的锐角的度数.例10解题秘方：按计算器的使用说明依次按键. 感悟新知知4－练(1)sinA=0.5168(结果精确到0.01°)；解：依次按键：2ndF sin0 · 5 1 6 8=，显示结果为31.11784556，即∠A≈31.12°. 知4－练感悟新知解：依次按键：2ndF cos0 · 6 7 5 3 = 2ndF°′″，显示结果为47°31′21.18″，即∠A≈47°31′21″.(2)cosA=0.6753(结果精确到1″). 知4－练感悟新知10-1.为了方便行人推车过某天桥，市政府在10m高的天桥一侧修建了一条40m长的斜道(如图所示)，我们可以借助科学计算器求这条斜道倾斜角∠A的度数，具体按键顺序是()A 锐角三角函数定义特殊角的三角函数值锐角三角函数正弦正切计算余弦锐角的三角函数值锐角的度数