人教版八年级数学上册（第十五章 分式）15.3 分式方程（学习、上课资料）

15.3分式方程第十五章分式 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2分式方程的概念分式方程的解法分式方程的应用 知识点分式方程的概念知1－讲11.分式方程分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分母中是否含有未知数是区分分式方程和整式方程的依据. 知1－讲2.判断一个方程是分式方程的条件(1)是方程；(2)含有分母；(3)分母中含有未知数.以上三者缺一不可. 知1－讲特别解读识别分式方程时，不能对方程进行约分或通分变形，更不能用等式的性质变形. 知1－练例1判断下列方程是不是分式方程，并说明理由.(1)＝8；(2)＝；(3)＝1；(4)＝；(5)－2＝x(a为非零常数).解题秘方：利用判别分式方程的依据——分母中含有未知数进行识别. 知1－练解：(1)不是分式方程，因为分母中不含有未知数.(2)是分式方程，因为分母中含有未知数.(3)是分式方程，因为分母中含有未知数.(4)是分式方程，因为分母中含有未知数.(5)不是分式方程，因为分母中虽然含有字母a，但a为非零常数，不是未知数. 知1－练1-1.下列是分式方程的是()A.＋B.＋＝0C.(x－2)＝xD.＋1＝0D 知1－练1-2.下列关于x的方程：①x2＝1；②－x2＝1；③＝x；④＋3＝；其中是分式方程的是________(填序号).③④ 知2－讲知识点分式方程的解法21.解分式方程的基本思路去分母，把分式方程转化为整式方程.2.解分式方程的一般步骤 知2－讲3.检验分式方程解的方法(1)将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.(2)也可以将整式方程的解代入原分式方程，这种方法不仅能检验出该解是否适合原分式方程，还能检验所得的解是否正确. 知2－讲4.增根在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的解使最简公分母的值为0,则这个解叫做原分式方程的增根. 知2－讲特别解读1.解分式方程的关键是去分母.去分母时不要漏乘不含分母的项，当分子是多项式时要用括号括起来.2.解分式方程一定要检验，对于增根必须舍去.3.对增根的理解：(1)增根一定是分式方程化为的整式方程的解；(2)若分式方程有增根，则必是使最简公分母为0时未知数的值. 知2－练解下列方程：(1)＝；(2)＝－2；(3)－＝1；(4)＋＝.例2解题秘方：将分式方程转化为整式方程，通过求整式方程的解并检验，从而得到分式方程的解. 知2－练解：方程两边乘(x－4)(x－6)，得x(x－6)＝(x＋2)(x－4).解得x＝2.检验：当x＝2时，(x－4)(x－6)≠0.∴原分式方程的解为x＝2.(1)＝； 知2－练解：方程两边乘(x－3)，得2－x＝－1－2(x－3).解得x＝3.检验：当x＝3时，x－3＝0，∴x＝3不是原分式方程的解.∴原分式方程无解.(2)＝－2； 知2－练解：方程两边乘3(x－1)，得4x＋6－3(5x－4)＝3(x－1).解得x＝.检验：当x＝时，3(x－1)≠0.∴原分式方程的解为x＝.(3)－＝1； 知2－练解：原方程可化为＋＝.方程两边乘x(x＋2)(x－2)，得4(x－2)＋7x＝6(x＋2).解得x＝4.检验：当x＝4时，x(x＋2)(x－2)≠0.∴原分式方程的解为x＝4.(4)＋＝. 知2－练2-1.已知关于x的方程－＝1的解为x＝3，则k＝__________.2 知2－练2-2.[中考·济南]若式子的值是2，则x＝________.6 知2－练2-3.解下列方程：(1)＝1－；解：方程两边乘(x－2)，得2x＝x－2＋1.解得x＝－1.检验：当x＝－1时，x－2≠0，∴原分式方程的解为x＝－1. 知2－练(2)＋＝. 知2－练2-4.是否存在实数x，使得式子－与1＋的值相等？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由. 知2－练 知3－讲知识点分式方程的应用31.列分式方程常用的等量关系(1)行程问题：速度×时间＝路程.(2)利润问题：利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%.(3)工程问题：工作量＝工作时间×工作效率；总工作量＝各个分工作量之和.(4)储蓄问题：本息和=本金+利息. 知3－讲2.列分式方程解应用题的一般步骤(1)审：即审题,根据题意找出已知量和未知量，并找出等量关系.(2)设：即设未知数，设未知数的方法有直接设和间接设，注意单位要统一，选择一个未知量用未知数表示，并用含未知数的式子表示相关量.(3)列：即列方程，根据等量关系列出分式方程.(4)解：即解所列的分式方程，求出未知数的值.(5)验：即验根，既要检验所求的未知数的值是否适合分式方程，还要检验此解是否符合实际意义.(6)答：即写出答案，注意单位和答案要完整. 知3－讲特别解读1.审题时，先寻找题目中的关键词，然后借助列表、画图等方法准确找出等量关系.当题目中包含多个等量关系时，要选择一个能够体现全部(或大部分)数量的等量关系列方程.2.设未知数时，一般题中问什么就设什么，即设直接未知数；若设直接未知数难以列方程，则可设另一个相关量为未知数，即设间接未知数；有时设一个未知数无法表示出等量关系，可设多个未知数，即设辅助未知数.3.应用题中解分式方程同样要验根. 知3－练为加快城市群的建设与发展，要在A，B两城市间新建一条城际铁路，建成后，铁路运行里程由现在的120km缩短至114km，列车的设计平均时速要比现行的平均时速快110km，运行时间仅是现行时间的，求建成城际铁路后列车在A，B两城市间的运行时间.例3 知3－练解题秘方：根据题意找出两个等量关系，一个用来设未知数，一个用来列方程解决问题. 知3－练解：设建成城际铁路后列车在A，B两城市间的运行时间为xh，则现行的运行时间为xh.根据题意，得－＝110.解得x＝0.6.检验：当x＝0.6时，x≠0，且符合题意.∴原分式方程的解为x＝0.6.答：建成城际铁路后列车在A，B两城市间的运行时间为0.6h. 知3－练3-1.[中考·济宁]一辆汽车开往距出发地420km的目的地，若这辆汽车比原计划每小时多行10km，则提前1小时到达目的地．设这辆汽车原计划的速度是xkm/h，根据题意所列方程是()A.＝＋1B.＋1＝C.＝＋1D.＋1＝C 知3－练[中考·德阳]为配合“一带一路”国家倡议，某铁路货运集装箱物流园区正式启动了2期扩建工程．一项地基基础加固处理工程由A，B两个工程公司承担建设，已知A工程公司单独建设完成此项工程需要180天，A工程公司单独施工45天后，B工程公司参与合作，两工程公司又共同施工54天后完成此项工程.例4 知3－练解题秘方：利用一项工程分几部分完成，各部分工作量之和等于工作总量“1”，列出方程解决问题. 知3－练(1)求B工程公司单独建设完成此项工程需要多少天.解：设B工程公司单独建设完成此项工程需要x天.根据题意得45×＋54＝1，解得x＝120，经检验，x＝120是原分式方程的解，且符合题意.答：B工程公司单独建设完成此项工程需要120天. 知3－练(2)由于受工程建设工期的限制，物流园区管委会决定将此项工程划包成两部分，要求两工程公司同时开工，A工程公司建设其中一部分用了m天完成，B工程公司建设另一部分用了n天完成，其中m，n均为正整数，且m﹤46，n﹤92，求A，B两个工程公司各施工建设了多少天. 知3－练解：根据题意得m×＋n×＝1，整理得n＝120－m，∵n﹤92，∴120－m﹤92，解得m﹥42.又∵m﹤46，∴42﹤m﹤46.∵m为正整数，∴m＝43，44或45.又∵n＝120－m为正整数，∴m＝45，n＝90.答：A，B两个工程公司各施工建设了45天和90天． 知3－练4-1.某服装厂设计了一款新式夏装，想尽快制作8800件投入市场，服装厂有A，B两个制衣车间，A车间每天加工的数量是B车间的1.2倍，A，B两车间共同完成一半后，A车间出现故障停产，剩下的全部由B车间单独完成，结果前后共用20天完成，求A，B两车间每天分别加工多少件. 知3－练 知3－练某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价比第一次的进价提高了20%，购进干果的质量比第一次的2倍还多300千克.若超市按9元/千克的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完.例5 知3－练解题秘方：根据等量关系“第二次购进干果的质量＝2×第一次购进干果的质量＋300千克”列方程进行求解；(1)该种干果第一次的进价是多少元/千克？ 知3－练解：设该种干果第一次的进价是x元/千克，则第二次的进价为(1＋20%)x元/千克.根据题意，得＝2×＋300.解得x＝5.检验：当x＝5时，(1＋20%)x≠0且符合题意.所以原分式方程的解为x＝5.答：该种干果第一次的进价是5元/千克. 知3－练解题秘方：根据“盈利＝销售额－成本”列式进行计算.(2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 知3－练解：根据题意，盈利为×9＋600×9×80%－(3000＋9000)＝(600＋1500－600)×9＋4320－12000＝5820(元).答：超市销售这种干果共盈利5820元. 知3－练5-1.[中考·苏州]小明用15元买售价相同的软面笔记本，小丽用24元买售价相同的硬面笔记本(两人的钱恰好用完)，已知每本硬面笔记本比软面笔记本贵3元，且小明和小丽买到相同数量的笔记本，设软面笔记本每本售价为x元，根据题意可列出的方程为()A.＝B.＝C.＝D.＝A 知3－练5-2.[中考·达州]端午节前后，张阿姨两次到超市购买同一种粽子.节前，按标价购买，用了96元；节后，按标价的6折购买，用了72元，两次一共购买了27个.这种粽子的标价是多少？ 知3－练 分式方程分式方程分式方程的应用列解法增根产生