人教版八年级数学上册（第十五章 分式）15.2 分式的运算（学习、上课资料）

15.2分式的运算第十五章分式15.2.1分式的乘除 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2分式的乘法分式的除法分式的乘方分式的乘除、乘方混合运算 知识点分式的乘法知1－讲11.分式的乘法法则分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为·＝. 知1－讲2.法则的运用方法(1)若分子、分母都是单项式，可直接利用乘法法则计算后再约分；(2)若分子、分母中有多项式，可先对多项式分解因式，看能否约分，再进行乘法运算；(3)若分式乘整式，可把整式看成分母为1的“分式”参与运算. 知1－讲特别解读分式乘法运算的基本步骤：1.确定积的符号，写在积中分式的前面;2.运用法则，将分子与分母分别相乘，是多项式的要带括号;3.约分，将结果化成最简分式或整式. 知1－练例1计算：(1)·；(2)·(－4xy2)；(3)·.解题秘方：利用分式的乘法法则进行计算. (1)·；(2)·(－4xy2)；(3)·.知1－练解：·＝＝；·(－4xy2)＝－·4xy2＝－；·＝·＝. 知1－练1-1.计算：(1)·(2)·； 知1－练(3)·. 知2－讲知识点分式的除法21.分式的除法法则分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为÷＝·＝. 知2－讲2.法则的运用方法(1)分式的除法需转化成乘法，再利用分式乘法法则计算；(2)当除式是整式时，可以将整式看成分母是1的“分式”进行运算. 知2－讲特别提醒分式除法运算的基本步骤：1.将分子、分母是多项式的进行因式分解，并约分；2.将除法转化成乘法；3.利用分式的乘法法则计算. 知2－练计算：(1)÷；(2)÷(－2xy2)；(3)÷.例2解题秘方：利用分式的除法法则将分式的除法运算转化为分式的乘法运算. (1)÷；(2)÷(－2xy2)；知2－练解：÷＝·＝＝－；÷(－2xy2)＝·＝－＝－； (3)÷.知2－练解：÷＝·＝＝－. 知2－练2-1.计算：(1)÷；(2)÷；(3)÷(x＋3). 知3－讲知识点分式的乘方31.分式的乘方法则分式乘方要把分子、分母分别乘方.用字母表示为＝(n为正整数). 知3－讲2.分式乘方的方法(1)分式乘方时，确定乘方结果符号的方法与确定有理数乘方结果符号的方法相同；(2)分式乘方时，若分子与分母是多项式，应把分子、分母分别看成一个整体乘方，避免出现＝的错误. 知3－讲特别解读1.分式乘方是分式乘法中因式相同时的一种特殊情况，因此分式乘方都可转化为分式乘法进行计算.2.学习了分式的乘方法则后，可直接用法则计算分式的乘方，在计算时先确定结果的符号，再把分子、分母分别乘方. 知3－练计算：(1)；(2)；(3)；(4).例3解题秘方：先运用分式的乘方法则将分子、分母分别乘方，再运用幂的乘方和积的乘方的性质计算. (1)；(2)；知3－练解：＝＝；＝＝－； (3)；(4).知3－练解：＝＝；＝＝. 知3－练3-1.计算：＝________；＝________. 知3－练3-2.下列等式正确的是()A.＝B.＝C.＝D.＝A 知4－讲知识点分式的乘除、乘方混合运算41.分式的乘除混合运算在运算时，乘除是同一级运算，若没有其他附加条件(如括号等)，则应按照从左到右的顺序进行计算，若有括号，则先算括号里面的.一般地，乘除混合运算可以统一为乘法运算. 知4－讲2.分式的乘除、乘方混合运算分式的乘除、乘方混合运算顺序与分数的乘除、乘方混合运算顺序相同，即先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的. 知4－讲知识链接1.分式的乘除、乘方混合运算关键有两点：一是正确选择运算顺序；二是正确运用运算法则.2.运算的结果应化为最简分式或整式. 知4－练计算：(1)÷·；(2)÷(x＋1)·.例4解题秘方：将分式乘除混合运算统一为分式乘法运算. (1)÷·；(2)÷(x＋1)·.知4－练解：÷·＝··＝；÷(x＋1)·＝··＝－＝－. 知4－练4-1.计算：(1)·÷；(2)÷(x＋2)·； 知4－练(3)·÷. 知4－练计算：(1)÷·；(2)·÷.解题秘方：先算乘方，再算乘除，有括号的先算括号里面的.例5 知4－练(1)÷·；解：÷·＝÷·＝·a3b3·＝－； 知4－练(2)·÷.解：·÷＝·÷＝··＝. 知4－练5-1.计算：(1)·÷(－ab)4；(2)÷(x＋y)2·. 分式的乘除分式的乘除分式的乘方转化分式的乘法转化分式的除法混合运算 15.2分式的运算第十五章分式15.2.2分式的加减 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2同分母分式的加减法异分母分式的加减法分式的混合运算 知识点同分母分式的加减法知1－讲11.同分母分式的加减法法则同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为±＝. 知1－讲2.同分母分式相加减的一般步骤(1)分母不变，把分子相加减；(2)分子相加减时，应先去括号，再合并同类项；(3)结果应化成最简分式或整式. 知1－讲特别解读“分子相加减”就是把各个分式的分子整体相加减，在计算时，若分子是多项式，必须带上括号然后再运算. 知1－练例1计算：(1)－；(2)＋；(3)＋－.解题秘方：按照同分母分式的加减法法则进行计算即可，结果要化为最简分式或整式. (1)－；(2)＋；知1－练解：－＝＝＝－；＋＝＝＝； (3)＋－.知1－练解：＋－＝－－＝＝1. 知1－练1-1.[中考·温州]计算：＋＝________．2 知1－练1-2.计算：(1)－；(2)－；(3)－. 知2－讲知识点异分母分式的加减法21.异分母分式的加减法法则异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.用字母表示为±＝±＝. 知2－讲2.异分母分式相加减的一般步骤(1)通分：将异分母分式转化为同分母分式；(2)加减：按照同分母分式加减运算的一般步骤进行计算.注意异分母分式加减运算的关键是通分. 知2－讲特别解读通分的关键是确定最简公分母，分式与分式相加减时的最简公分母是各分母的所有因式的最高次幂的积. 知2－练计算：(1)＋；(2)a＋2－.例2解题秘方：异分母分式相加减，先找最简公分母，进行通分，变为同分母分式，再按照同分母分式的加减法法则进行计算. 知2－练解：＋＝－＝－＝＝＝＝－；(1)＋； 知2－练解：a＋2－＝－＝＝－.(2)a＋2－.在通分时，整式看成分母是1，整式作为分子的“分式”，若是多项式时，则看成一个整体，通分时要带上括号. 知2－练2-1.[中考·山西]化简－的结果是()A.B.a－3C.a＋3D.A 知2－练2-2.[中考·临沂]计算－a－1的正确结果是()A.－B.C.－D.B 知2－练2-3.计算：(1)＋；(2)－； 知2－练(3)＋. 知3－讲知识点分式的混合运算31.分式的混合运算顺序分式与分数的混合运算有相同的运算顺序，即先算乘方，再算乘除，然后算加减.有括号时，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号的顺序进行，对于同级运算，按从左到右的顺序进行. 知3－讲2.进行分式混合运算的方法(1)进行分式混合运算时，可以根据需要合理地运用运算律来简化运算，此时先将分式的乘除法统一成乘法，分式的加减法统一成加法，才能使用乘法运算律、加法运算律简化运算.(2)运算过程中及时约分化简，有时可使解题过程简单.(3)运算结果是最简分式或整式. 知3－讲特别提醒1.分式混合运算要注意运算顺序和解题步骤，把好符号关.2.分式除法只有转化为乘法后才能运用乘法分配律进行计算. 知3－练计算：(1)－·；(2)÷.例3解题秘方：在进行分式的混合运算时，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的. 知3－练解：－·＝－·＝－＝－；(1)－·； 知3－练解：÷＝÷＝÷＝·＝－.(2)÷. 知3－练3-1.[中考·眉山]化简÷的结果是()A.a－bB.a＋bC.D.B 知3－练3-2.计算：(1)[中考·大连]÷＋； 知3－练(2)÷； 知3－练(3)·. 与乘除、乘方形成分式的加减分式的加减混合运算同分母异分母运算顺序运算律 15.2分式的运算第十五章分式15.2.3整数指数幂 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2整数指数幂科学记数法 知识点整数指数幂知1－讲11.负整数指数幂一般地，当n是正整数时，a－n＝(a≠0).这就是说，a－n(a≠0)是an的倒数.a－n＝ 知1－讲2.整数指数幂的运算性质(1)am·an＝am＋n(a≠0，m，n是整数)；(2)(am)n＝amn(a≠0，m，n是整数)；(3)(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，n是整数)；(4)am÷an＝am－n(a≠0，m，n是整数)；此外，规定a0＝1(a≠0)，即任何不等于0的数的0指数幂都等于1. 知1－讲特别解读1.当指数为负整数或0时，一定要保证底数不为0.2.负整数指数幂的运算结果要化成正整数指数幂的形式. 知1－练例1[中考·攀枝花]计算：＋|－4|＋(－1)0－＝_________.解题秘方：根据实数的运算法则进行计算.解：＋|－4|＋(－1)0－＝3＋4＋1－2＝6.6 知1－练1-1.计算：(1)＝________；(2)＝________；(3)22＋2－2－＝________.4 知1－练计算：(1)(2a－2)3b2÷4a－8b3；(2)(3x2y－1)－2·(2x－2y3)2；(3)·÷.解题秘方：按照先算乘方，再算乘除的顺序进行计算.例2 知1－练(1)(2a－2)3b2÷4a－8b3；(2)(3x2y－1)－2·(2x－2y3)2；解：(2a－2)3b2÷4a－8b3＝8a－6b2÷4a－8b3＝2a2b－1＝；(3x2y－1)－2·(2x－2y3)2＝x－4y2·4x－4y6＝x－8y8＝； (3)·÷.知1－练解：·÷＝x－4y2·y－6x3÷x4y－4＝x－4y2·x3y－6·x－4y4＝x－5y0＝. 知1－练2-1.利用负整数指数幂把下列各式化成分母不含字母的式子：(1)；(2). 知1－练2-2.计算：(1)(a－1b2c－3)3；(2)a－2b3·(a2b－2)－3；(3)(2ab2c－3)－2÷(a－2b)3. 知2－讲知识点科学记数法21.用科学记数法表示数用科学记数法可以把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数)，引进负整数指数幂后，也可以用科学记数法把一个小于1的正数表示为a×10－n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数). 知2－讲2.用科学记数法表示小于1的正数的一般步骤(1)确定a：a是大于或等于1且小于10的数.(2)确定n：确定n的方法有两种，即①n等于原数中左起第一个非0的数字前面0的个数(包括小数点前的那个0)；②小数点向右移到第一个非0的数字后，小数点移动了几位，n就等于几.(3)将原数用科学记数法表示为a×10－n的形式(其中1≤a＜10，n是正整数). 知2－讲特别提醒●对于大于－1的负数也可以类似地用科学记数法表示成a×10－n的形式(其中1≤|a|＜10，n是正整数)，也就是说可以用科学记数法表示绝对值小于1的数.●用科学记数法表示绝对值小于1的数时，10的指数是负数，一定不要忘记指数n前面的“－”号. 知2－练用科学记数法表示下列各数：(1)0.000003；(2)－0.0000208；(3)0.00000000467.解题秘方：按照科学记数法的要求，将各数写成a×10－n的形式，其中1≤|a|＜10，n是正整数.例3 知2－练解：(1)0.000003＝3×10－6；3前面有6个0(2)－0.0000208＝－2.08×10－5；2前面有5个0(3)0.00000000467＝4.67×10－9.4前面有9个0n是原数中左起第一个不为0的数字前面0的个数. 知2－练3-1.[中考·资阳]－0.00035用科学记数法表示为()A.－3.5×10－4B.－3.5×104C.3.5×10－4D.－3.5×10－3A 知2－练3-2.[中考·河南]成人每天维生素D的摄入量约为0.0000046克.数据“0.0000046”用科学记数法表示为()A.46×10－7B.4.6×10－7C.4.6×10－6D.0.46×10－5C 知2－练将下列用科学记数法表示的数还原成原数.(1)6×10－4；(2)－7.2×10－5；(3)5.68×10－6.解题秘方：把用科学记数法表示的绝对值小于1的数还原时，指数的绝对值是几，小数点就向左移动几位.例4解：6×10－4＝0.0006；－7.2×10－5＝－0.000072；5.68×10－6＝0.00000568. 知2－练教你一招：把用科学记数法表示的绝对值小于1的数还原的思路把a×10－n(其中1≤｜a｜＜10，n是正整数)还原成原数时，只要把a的小数点向左移动n位即可. 知2－练4-1.将6.18×10－3化为小数是()A.0.000618B.0.00618C.0.0618D.0.618B 知2－练4-2.把下列用科学记数法表示的数还原：(1)7.2×10－5＝___________；(2)－1.5×10－4＝___________.0.000072－0.00015 知2－练计算：(1)(3×10－4)2×(2×10－6)3；(2)(8×10－7)2÷(2×10－3)3.解题秘方：先计算乘方，再计算乘除.例5 知2－练(1)(3×10－4)2×(2×10－6)3；解：(3×10－4)2×(2×10－6)3＝9×10－8×8×10－18＝(9×8)×(10－8×10－18)＝7.2×10－25； 知2－练(2)(8×10－7)2÷(2×10－3)3.解：(8×10－7)2÷(2×10－3)3＝(64×10－14)÷(8×10－9)＝(64÷8)×(10－14÷10－9)＝8×10－5. 知2－练5-1.计算(结果用科学记数法表示)：(1)(2×107)×(8×10－9)；(2)(5.2×10－9)÷(－4×103).解：原式＝16×10－2＝1.6×10－1；原式＝－1.3×10－12. 整数指数幂整数指数幂科学记数法正整数指数幂0指数幂负整数指数幂