人教版八年级数学上册（第十五章 分式）15.1 分式（学习、上课资料）

15.1分式第十五章分式 逐点导讲练课堂小结作业提升课时讲解1课时流程2分式的概念分式有意义和无意义的条件分式的值为0的条件分式的基本性质分式的约分分式的通分 知识点分式的概念知1－讲11.定义如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，其中A叫做分子，B叫做分母.分式的“三要素”：(1)形如的式子；(2)A，B为整式；(3)分母B中含有字母. 知1－讲2.分式与分数、整式的关系(1)分式中分母含有字母．由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性.分数是分式中字母取特定值时的特殊情况.(2)分式与整式的根本区别就是分式的分母中含有字母. 知1－讲特别解读1.分式可看成是两个整式的商，分母是除式，分数线相当于除号，分数线还具有括号作用和整体作用.2.分式只看形式不看结果如：是分式. 知1－练例1下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？，－2x2，，，，，(3x－y)，，，.解题秘方：利用分式的三要素判断即可，关键是看分母中是否有字母. 知1－练解:分式有，，，；整式有－2x2，，，(3x－y)，.是数字不是字母. 知1－练1-1.[中考·怀化]式子x，，，x2－，，中，属于分式的有()A.2个B.3个C.4个D.5个B 知2－讲知识点分式有意义和无意义的条件21.分式有意义的条件分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0时，分式才有意义.分母不能为0，并不是说分母中的字母不能为0，而是表示分母的整式的值不能为0. 知2－讲2.分式无意义的条件分式的分母为0，即当B＝0时，分式无意义. 知2－讲特别提醒分式是否有意义，只与分式的分母是否为0有关，而与分式的分子是否为0无关. 知2－练x满足什么条件时下列分式有意义？(1)；(2)；(3)；(4).例2解题秘方：分母的值不等于0时，分式有意义. (1)；(2)；知2－练解：当5x－3≠0，即x≠时，分式有意义；当|x|－1≠0，即x≠±1时，分式有意义； (3)；(4).知2－练解：∵无论x取什么值，都有x2＋3＞0，∴x取任何实数，分式都有意义；当(x－2)(x+4)≠0，即x≠2且x≠－4时，分式有意义. 知2－练2-1.当x＝－1时，下列分式中有意义的是()A.B.C.D.C 知2－练2-2.若分式有意义，则x应满足()A.x≠1B.x≠－2C.x≠1或x≠－2D.x≠1且x≠－2D 知2－练2-3.[中考·包头]若式子＋在实数范围内有意义，则x的取值范围是____________.x≥－1且x≠0 知2－练分式中的x满足什么条件时分式无意义？解题秘方：分母的值等于0时，分式无意义.例3解：要使分式无意义，则分母x2－16＝0，即x2＝16，解得x＝±4.∴当x＝±4时，分式无意义. 知2－练3-1.分式无意义的条件是()A.n＝2B.n＝－2C.n＝－2且n＝2D.n＝2或n＝－2D 知3－讲知识点分式的值为0的条件31.分式的值为0的条件当分式的分子等于0且分母不等于0时，分式的值为0.即：对于分式，当A＝0且B≠0时，＝0. 知3－讲2.对常见的几种特殊分式值的讨论(1)若的值为正数，则A、B同号.(2)若的值为负数，则A、B异号.(3)若的值为1，则A＝B，且B≠0.(4)若的值为－1，则A＝－B，且B≠0. 知3－讲特别提醒●分式的值是在分式有意义的前提下才考虑的，所以分式的值为0的条件：A＝0且B≠0，二者缺一不可.●对于分式的几种特殊值的讨论既要考虑分子，又要考虑分母. 知3－练当x取何值时，下列分式的值为0？(1)；(2)；(3).例4解题秘方：分式的值为0的条件：分子为0，分母不为0. (1)；知3－练解：由得x＝－2，∴当x＝－2时，分式的值为0. (2)；知3－练解：由得x＝－3，∴当x＝－3时，分式的值为0.若ab≠0，则a≠0且b≠0. 知3－练解：由得x＝3，∴当x＝3时，分式的值为0.(3).若ab＝0，则a＝0且b＝0. 知3－练4-1.当x＝1时，下列分式的值为0的是()A.B.C.D.B 知3－练4-2.[中考·贵港]若分式的值等于0，则x的值为()A.±1B.0C.－1D.1D 知3－练4-3.当x＝________时，分式的值为0.2 知3－练4-4.[中考·湖州]当a＝1时，分式的值是________．2 知4－讲知识点分式的基本性质41.分式的基本性质分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变.用字母表示为＝，＝(C≠0)，其中A，B，C是整式.分式的基本性质是分式变形的理论依据. 知4－讲特别解读1.应用此性质时，要理解“同”的含义：一是要同时做“乘法”(或“除法”)运算；二是“乘”(或“除以”)的对象必须是同一个不等于0的整式.2.运用分式的基本性质进行分式的变形是恒等变形，它不改变分式值的大小，只改变其形式. 知4－讲2.分式的符号法则分式的分子、分母与分式本身的符号，同时改变其中两个，分式的值不变.用字母表示：(1)＝＝－＝－；(2)－＝－＝＝. 知4－练写出下列等式中未知的分子或分母：(1)＝；(2)＝；(3)＝.例55ya2＋2abx－y 知4－练解题秘方：观察等号两边已知的分子或分母发生了什么样的变化，再根据分式的基本性质用相同的变化确定所要填的式子. 知4－练解：(1)中，右边的分子3x是由左边的分子15x2y除以5xy得到的，所以右边的分母可以由左边的分母25xy2除以5xy得到，因此结果是5y；(2)中，右边的分母a2b2是由左边的分母ab2乘a得到的，所以右边的分子可以由左边的分子a＋2b乘a得到，因此结果是a2＋2ab；(3)中，右边的分子3是由左边的分子3x除以x得到的，所以右边的分母可以由左边的分母x2－xy除以x得到，因此结果是x－y. 知4－练5-1.下列分式与分式相等的是()A.B.C.－D.D 知4－练5-2.根据分式的基本性质填空：(1)＝(2)＝(3)＝(4)＝3bm2－n2x22x2 知4－练不改变分式的值，使下列各分式的分子与分母都不含“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号.(1)；(2)；(3)；(4)－.例6解题秘方：分式的分子、分母及分式本身的正负号，同时改变其中两个，分式的值不变. (1)；(2)；(3)；(4)－.知4－练解：＝；＝－；＝－；－＝. 知4－练6-1.不改变分式的值，使下列分式的分子与分母都不含“－”号或分子、分母中的第一项都不含“－”号.(1)＝________；(2)－＝________；(3)＝________；(4)＝_________. 知4－练把分式(n≠0)中的m和n同时扩大为原来的2倍，那么分式的值_______________.例7缩小为原来的 知4－练解题秘方：将分式中的m和n同时扩大为原来的2倍，再代入原分式，利用分式的基本性质变形.解：把分式(n≠0)中的m和n同时扩大为原来的2倍，可将分式变为＝＝，因此分式的值缩小为原来的. 知4－练7-1.[中考·莱芜]若x，y(x，y均不为0)的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是()A.B.C.D.D 知4－练不改变分式的值，把下列各式的分子和分母中的各项系数都化为整数.(1)；(2).例8解题秘方：利用分式的基本性质将分子、分母乘同一个不为0的数，使分子、分母中各项系数都化为整数. (1)；(2).知4－练解：＝＝；＝＝. 知4－练8-1.不改变分式的值，把下列各式的分子、分母中的各项系数都化为整数.(1)＝________；(2)＝________. 知5－讲知识点分式的约分51.分式的约分根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，叫做分式的约分. 知5－讲特别解读1.约分的依据是分式的基本性质，关键是确定分子和分母的公因式.2.约分是针对分式的分子和分母整体进行的，而不是针对其中的某些项，因此约分前一定要确认分子和分母都是乘积的形式.3.约分一定要彻底，其结果必须是最简分式或整式. 知5－讲2.找公因式的方法(1)当分子、分母都是单项式时，先找分子、分母系数的最大公约数，再找相同字母的最低次幂，它们的积就是公因式；(2)当分子、分母中有多项式时，先把多项式分解因式，再找公因式.3.最简分式分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式. 知5－练约分：(1)；(2)；(3).例9解题秘方：(1)中的分子、分母都是单项式，可以直接约分；(2)(3)中的分子、分母都是多项式，先将多项式分解因式，再进行约分. (1)；(2)；知5－练解：＝＝；＝＝； (3).知5－练解：＝＝＝－. 知5－练9-1.化简下列各式：(1)；(2)；(3). 知5－练下列各式中，最简分式有_____________.，，，.解题秘方：根据最简分式的定义识别.例10解：＝＝，＝＝，∴最简分式有和.和 知5－练10-1.[中考·滨州]下列分式中，最简分式是()A.B.C.D.A 知6－讲知识点分式的通分61.分式的通分根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分.2.最简公分母通分时，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母. 知6－讲3.通分的一般步骤(1)确定最简公分母；(2)用最简公分母分别除以各分式的分母求商；(3)用所得的商分别乘各分式的分子、分母得出同分母分式. 知6－讲特别解读约分与通分的联系与区别：1.约分与通分都是对分式进行恒等变形，即变形之后每个分式的值都不变.2.约分是针对一个分式来说的，约分可使分式得以简化，而通分是针对两个或两个以上的分式来说的，通分可使异分母的分式化为同分母的分式. 知6－练把下列各组分式通分：(1)和；(2)和；(3)，和.例11解题秘方：先确定最简公分母，然后再通分.先因式分解，再取多项式因式的最高次幂. 知6－练解：最简公分母是12x3y2z3，＝＝，＝＝.(1)和；4和6的最小公倍数是12，x，y，z分别取最高次幂. 知6－练解：最简公分母是(x＋1)(x－1)，＝＝＝，＝＝＝.(2)和；两个多项式的积. 知6－练解：最简公分母是3(x－y)2，＝＝＝，＝－＝－＝－，＝＝＝.(3)，和. 知6－练11-1.(1)分式，的最简公分母是______，通分为_____________；(2)分式，的最简公分母是_____________，通分为__________________________.3a2b2ca(a＋1)(a－1) 知6－练11-2.通分：(1)，；(2)x－y，；(3)，，. 分式分式分式有意义的条件分式的值为0的条件分式的基本性质约分通分