七年级数学（第四章 直线与角）4.5 角的比较与补（余）角（沪科版 学习、上课资料）

4.5角的比较与补（余）角第四章直线与角 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2角的大小比较角的和、差角平分线补角和余角余角、补角的性质 知1－讲感悟新知知识点角的大小比较11.度量法用量角器量出角的度数，然后比较它们的大小.2.叠合法把要比较的两个角的顶点重合，把它们的一条合在一起，另一边放在重合边的同一侧，再通过比较另一条边的位置来比较两个角的大小，如图4.5－1. 感悟新知知1－讲使用叠合法比较角的大小时要注意两点：(1)重合，即顶点重合，一条边重合；(2)同侧，即另一条边放在重合边的同一侧. 感悟新知知1－讲特别解读角的大小可以从数、形两个角度进行比较：(1)“数”的角度：角的大小和角的度数大小一致，比较其度数大小可得角的大小.(2)“形”的角度：角的开口越大角越大，可以通过直接观察比较角的大小，但不够精准，一般利用叠合法操作. 知1－练感悟新知[月考·河北]如图4.5-2，∠AOC=90°，比较∠AOB，∠AOC，∠AOD，∠AOE的大小，并指明其中的锐角、直角、钝角及平角.例1 知1－练感悟新知解题秘方：利用角的大小的两种比较方法比较角的大小.解：∠AOB<∠AOC<∠AOD<∠AOE.又因为∠AOC=90°，所以∠AOB是锐角，∠AOC是直角，∠AOD是钝角，∠AOE是平角. 感悟新知方法点拨角的两种比较大小的方法：叠合法是比较直观的方法，可直接从“形”的位置判断角的大小关系；度量法具体准确，若两个角大小较接近时，则用度量法，从“数”的大小来比较角的大小.知1－练 感悟新知知2－讲知识点角的和、差2设有两个角∠1和∠2(∠1>∠2)，如图4.5－3①.把∠2移到∠1上，使它们的顶点重合，一条边重合.(1)两角的和：当∠2在∠1的外部时，它们的另一边(非重合的边)所成的角就是它们的和，记作：∠BAC=∠1+∠2，如图4.5－3②. 感悟新知知2－讲(2)两角的差：当∠2在∠1的内部时，它们的另一边(非重合的边)所成的角就是它们的差，记作：∠GEH=∠1－∠2，如图4.5－3③. 知2－讲感悟新知特别提醒1.两个角的和或差，仍然是一个角，角的和或差的度数，就是它们度数的和或差.2.在计算两个角的和或差时要将度与度、分与分、秒与秒分别相加或相减，分、秒相加时逢60要进位，相减时要借1当60. 感悟新知知2－练如图4.5-4，回答下列问题.(1)∠AOC是哪两个角的和？(2)∠AOB是哪两个角的差？(3)如果∠AOB=∠COD，那么∠AOC与∠DOB相等吗？例2 感悟新知方法点拨1.在图形中角与角之间的位置关系直接反映了它们的数量关系.2.表示角的和差关系时可以用等式的基本性质，即相等的角同时加(或减)同一个角，所得的和(或差)仍然相等.知2－练 知2－练感悟新知解题秘方：根据图中角的位置得到角的和差关系.解：(1)∠AOC=∠AOB+∠BOC.(2)∠AOB=∠AOD－∠BOD=∠AOC－∠BOC.(3)因为∠AOB=∠COD，所以∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，即∠AOC=∠DOB. 感悟新知知2－练[月考·盐城]如图4.5-5，已知∠AOB=120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC∶∠BOC=1∶2．(1)求∠AOC的度数；(2)过点O作射线OD，若∠AOD=∠AOB，求∠COD的度数．例3 感悟新知方法点拨在无图的题中，画图时切记要考虑图形可能出现的各种情形，分类讨论求解.(2)题分OD在∠AOB内部和外部两种情况.知2－练 知2－练感悟新知解题秘方：本题角的计算中，掌握角的特点及比例的意义是解决问题的关键.解：(1)因为∠AOC∶∠BOC=1∶2，∠AOB=120°，所以∠AOC=∠AOB=×120°=40°. 知2－练感悟新知(2)如图4.5-6，当OD在∠AOB内部时，因为∠AOD=∠AOB，所以∠AOD=×120°=60°.所以∠COD=∠AOD－∠AOC=60°－40°=20°. 知2－练感悟新知如图4.5-7，当OD在∠AOB外部时，因为∠AOD=∠AOB，所以∠AOD=×120°=60°.所以∠COD=∠AOD+∠AOC=60°+40°=100°.综上所述，∠COD的度数为20°或100°． 感悟新知知3－讲知识点角平分线31.角的平分线在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 感悟新知知3－讲表示方法如图4.5－8，若OC平分∠AOB，则∠AOC=∠BOC=∠AOB或2∠AOC=2∠BOC=∠AOB；反之，若∠AOC=∠BOC=∠AOB或2∠AOC=2∠BOC=∠AOB，则OC平分∠AOB. 感悟新知知3－讲2.角的n等分线类似角的平分线，在角的内部，从角的顶点引出的射线，将角分成相等的n个角，这样的射线叫做角的n等分线，例如角的三等分线、四等分线等. 知3－讲感悟新知特别解读角平分线的“三要素”：(1)是从角的顶点引出的射线；(2)在角的内部；(3)将已知角平分.角的平分线只有一条，而角的n等分线有(n－1)条. 感悟新知知3－练已知∠AOB=90°，(1)如图4.5-9①，OE，OD分别平分∠AOB和∠BOC，若∠EOD=64°，则∠BOC=________；(2)如图4.5-9②，OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，若∠BOC=40°，则∠EOD的度数是________.例4 知3－练感悟新知解法提醒1.利用角平分线的定义进行计算时，要灵活运用角平分线的几种不同的表示方法.2.在计算角的大小时，常常要用到等量代换，用已知角代替与它相等的未知角. 感悟新知知3－练解题秘方：根据角平分线的定义及角的和差关系求解即可. 知3－练感悟新知解：(1)因为∠AOB=90°，OE平分∠AOB，所以∠EOB=∠AOB=45°.因为∠EOD=64°，所以∠BOD=∠EOD－∠EOB=19°.又因为OD平分∠BOC，所以∠BOC=2∠BOD=38°． 知3－练感悟新知(2)因为∠AOB=90°，∠BOC=40°，所以∠AOC=∠AOB+∠BOC=130°.又因为OE，OD分别平分∠AOC和∠BOC，所以∠EOC=∠AOC=65°，∠DOC=∠BOC=20°.所以∠EOD=∠EOC－∠DOC=45°.答案：(1)38°(2)45° 感悟新知知3－练如图4.5-10，O为直线AB上一点，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°.(1)求∠BOD的度数；(2)小明发现OE平分∠BOC，请你通过计算说明理由.例5 感悟新知知3－练解题秘方：(1)利用∠BOD=∠BOC+∠DOC求解即可；(2)分别求出∠COE和∠BOE的度数即可. 知3－练感悟新知解：(1)因为∠AOC=50°，OD平分∠AOC，所以∠DOC=∠AOC=25°，∠BOC=180°－∠AOC=180°－50°=130°.所以∠BOD=∠BOC+∠DOC=130°+25°=155°. 知3－练感悟新知(2)因为∠DOE=90°，∠DOC=25°，所以∠COE=∠DOE－∠DOC=90°－25°=65°.又因为∠BOE=∠BOD－∠DOE=155°－90°=65°，所以∠COE=∠BOE，即OE平分∠BOC. 知3－练感悟新知方法总结角平分线的判定方法：当OD在∠AOB的内部且满足下列情况之一时，就可以判断出OD是∠AOB的平分线：(1)∠AOD=∠BOD；(2)∠AOD=∠AOB；(3)∠BOD=∠AOB；(4)∠AOB=2∠AOD；(5)∠AOB=2∠BOD. 知4－讲感悟新知知识点补角和余角41.补角如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角(简称互补)，即其中一个角是另一个角的补角. 感悟新知数学语言：如果∠3+∠4=180°，就说∠3是∠4的补角，或∠4是∠3的补角，∠3与∠4互为补角，如图4.5-11.知4－讲 感悟新知2.余角如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角(简称互余)，即其中一个角是另一个角的余角.数学语言：如果∠1+∠2=90°，就说∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，∠1与∠2互为余角，如图4.5-12.知4－讲 感悟新知3.一个角的余角(或补角)可以有多个，但它们的度数是相等的，互余、互补是指具有一定数量关系的两个角.知4－讲 感悟新知知4－讲特别解读1.互余、互补是指两个角之间的数量关系，它们是成对出现的.2.若两个角互余，则两个角都是锐角；若两个角互补，则两个角可能都是直角，也可能一个角是锐角，另一个角是钝角.3.互余、互补只与数量有关，与位置无关.若将直角分成两个角，则这两个角互余；若将平角分成两个角，则这两个角互补. 感悟新知知4－练[月考·滨州]已知一个角的补角的一半比这个角小30°，求这个角的余角．例6解题秘方：根据互补的两个角的和等于180°，用这个角表示出它的补角，然后根据题意列出方程求解即可． 感悟新知方法点拨互余和互补揭示的是两个角之间的数量关系：一个锐角∠α的余角为(90°－∠α)，补角为(180°－∠α).知4－练 知4－练感悟新知解：设这个角的度数为x°，依题意得(180－x)=x－30.解得x=80，90°－80°=10°．所以这个角的余角为10°． 知4－练感悟新知如图4.5－13，点O为直线AB上一点，∠AOC=∠DOE=90°.例7解题秘方：由已知条件，结合互为余角、互为补角的定义解答. 知4－练感悟新知方法点拨从图形中找互余或互补的角，可从两个方面进行：一个方面从角的度数入手，和为90°互余，和为180°互补；另一个方面从整体入手，直角分成的两个角互余，平角分成的两个角互补. 知4－练感悟新知(1)图中互余的角有几对？各是哪些？解：因为点O为直线AB上一点，所以∠BOC+∠AOC=180°.因为∠AOC=∠DOE=90°，所以∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∠1+∠4=180°－∠DOE=90°，∠3+∠4=∠BOC=180°－∠AOC=180°－90°=90°，所以图中互余的角有4对，分别是∠1和∠2，∠2和∠3，∠3和∠4，∠1和∠4. 知4－练感悟新知(2)图中互补的角有几对？各是哪些？解：由已知得，∠1+∠BOD=180°，∠4+∠AOE=180°，由(1)可知∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠BOD=180°，∠2+∠AOE=180°.又因为∠AOC+∠BOC=180°，∠AOC+∠DOE=180°，∠DOE+∠BOC=180°， 知4－练感悟新知详解因为∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=90°－∠2，∠3=90°－∠2.所以∠1=∠3.因为∠2+∠3=90°，∠3+∠4=90°，所以∠2=90°－∠3，∠4=90°－∠3.所以∠2=∠4. 知4－练感悟新知所以图中互补的角有7对，分别是∠1和∠BOD，∠4和∠AOE，∠3和∠BOD，∠2和∠AOE，∠AOC和∠BOC，∠AOC和∠DOE，∠DOE和∠BOC. 感悟新知知5－讲知识点余角、补角的性质51.余角的性质(1)同角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，那么∠2=∠3.(2)等角的余角相等.如果∠1+∠2=90°，∠3+∠4=90°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4. 感悟新知知5－讲2.补角的性质(1)同角的补角相等.如果∠1+∠2=180°，∠1+∠3=180°，那么∠2=∠3.(2)等角的补角相等.如果∠1+∠2=180°，∠3+∠4=180°，且∠1=∠3，那么∠2=∠4. 知5－讲感悟新知特别提醒1.如果互补的两个角相等，那么这两个角都是直角.2.“同角”指同一个角，“等角”指度数相等的角，同角一定是等角，但等角不一定是同角.3.余角、补角的性质是说明两个角相等的重要依据. 感悟新知知5－练如图4.5－14，直线AB与∠COD的两边OC，OD分别相交于点E，F，∠1+∠2=180°.找出图中与∠2相等的角，并说明理由.例8解题秘方：先找出与∠1和∠2互补的角，然后利用互补的关系找出与∠2相等的角. 知5－练感悟新知解：因为∠1+∠3=180°，∠1+∠2=180°，所以∠3=∠2.因为∠1+∠4=180°，∠1+∠2=180°，所以∠4=∠2.因为∠2+∠5=180°，∠6+∠5=180°，所以∠2=∠6.所以图中与∠2相等的角有∠3，∠4，∠6.同角的补角相等同角的补角相等同角的补角相等 知5－练感悟新知技巧点拨“同角(或等角)的余角相等”“同角(或等角)的补角相等”的实质是等量代换，只不过在特定的背景下使用起来更便捷罢了. 角的比较与补（余）角数量关系互余与互补角角的比较角的运算度量法叠合法角的和差角的平分线