七年级数学（第四章 直线与角）4.4 角（沪科版 学习、上课资料）

4.4角第四章直线与角 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2角的定义角的表示方法角的度量单位及换算方向角 知1－讲感悟新知知识点角的定义11.角的定义定义示例组成元素“静”态的观点角可以看作是从一点O出发的两条射线OA，OB所组成的图形这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边，角的大小与所画边的长短无关“动”态的观点角可以看作是由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形起始位置的边叫角的始边，终止位置的边叫角的终边 感悟新知2.平角与周角射线OA绕点O旋转，当终止位置OB和起始位置OA成一条直线时，所形成的角叫做平角，如图4.4－1；继续旋转，当OB与OA重合时，所形成的角叫做周角，如图4.4－2.知1－讲 感悟新知知1－讲特别解读1.构成角的要素是顶点、两边，且两边都是射线.2.角的大小与所画角的边的长短无关，只与构成角的两边张开的幅度有关.3.平角的两边成一条直线，但不能说平角就是一条直线；周角的两边重合形成一条射线，但不能说周角就是射线. 知1－练感悟新知给出下列说法：①两条射线组成的图形是角；②角的大小与所画边的长短有关；③角的两边可以画得一样长，也可以一长一短；④角的两边是两条射线；⑤因为平角的两边成一条直线，所以一条直线可以看成一个平角；例1 知1－练感悟新知⑥周角是一条射线.其中，正确说法的个数为()A.2B.3C.4D.5解题秘方：紧扣角的定义中的关键词进行辨析. 知1－练感悟新知特别提醒1.判断角要按定义中的关键词进行识别.“静”态要紧扣顶点、两边这些要素；“动”态要紧扣射线的始边、终边这些要素.2.角的大小与所画边的长短无关，因为角的两边是射线，不可以度量.角的大小只与构成角的两边张开的大小有关.角既可以度量，也可以比较大小，还可以参与运算. 知1－练感悟新知解：①是错误的，因为若两条射线无公共端点，则构成的图形不是角；②是错误的，因为角的大小与所画边的长短无关；③④是正确的；⑤是错误的，因为直线和平角是两个不同的概念，平角有顶点和两边，它与直线不同；⑥是错误的，因为周角是由顶点和两条边构成的，不是一条射线.故正确说法的个数为2.答案：A 感悟新知知2－讲知识点角的表示方法2角的几何符号为“∠”，角的表示方法有以下几种表示方法示例记法方法解读用三个大写字母表示∠AOB或∠BOA字母O表示顶点，要写在中间，A，B表示角的两边上的点，用该表示法可以表示任何一个角 感悟新知知2－讲用一个大写字母表示∠O当以某一个字母表示的点为顶点的角只有一个时，可用这个顶点的字母来表示用数字表示∠1在靠近角的顶点处加上弧线，并标上数字或希腊字母，该表示法形象直观用希腊字母表示∠α注意：角的符号应书写标准，“∠”不可与“＜”混淆. 知2－讲感悟新知特别提醒用数字或希腊字母表示角时，要在角的内部，在靠近角的顶点处加上弧线表示角的范围.如无特殊说明，在初中阶段所说的角一般都在0°~180°之间. 感悟新知知2－练根据图4.4-3回答下列问题：(1)∠1表示成∠A，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？(2)图中哪个角可以用一个字母来表示？(3)以A为顶点的角有几个？请表示出来．(4)∠ADC与∠ACD是同一个角吗？请说明理由．例2 知2－练感悟新知解题秘方：本题考查的是角的表示方法，掌握角的表示方法是解题的关键. 知2－练感悟新知方法点拨1.表示几何图形中的角时，要注意角的不同表示方法的使用；2.同一个角可以使用几种表示方法，表示时选择最简单的. 知2－练感悟新知解：(1)不正确，以A为顶点的角有3个，故∠1不能用∠A表示，可表示为∠DAC.(2)图中∠B可以用一个字母来表示.(3)以A为顶点的角有3个，分别是∠BAC，∠BAD，∠DAC.(4)不是同一个角，因为这两个角的顶点不同． 感悟新知知3－讲知识点角的度量单位及换算31.角的度量单位角的度量单位是“度、分、秒”.把一个周角360等分，每一等份就是1度的角，1度记作1°；把1°的角60等分，每一等份就是1分的角，1分记作1′；把1′的角60等分，每一等份就是1秒的角，1秒记作1″. 感悟新知知3－讲2.以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制. 感悟新知知3－讲3.角的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，1′=()°，1″=()′.1°=60′=3600″，1″=()′=()°. 知3－讲感悟新知要点归纳1.角的度、分、秒是60进制的，这和计量时间的时、分、秒是一样的；2.把高级单位转化为低级单位要乘进率；把低级单位转化为高级单位要除以进率.3.使用三角尺可以画出30°，45°，60°，90°等特殊角，使用量角器可以画出任何给定度数的角. 知3－练感悟新知计算：(1)将57.32°用度、分、秒表示；(2)将10°6′36″用度表示.例3解题秘方：利用高级单位和低级单位相互转化的方法进行计算. 知3－练感悟新知解法提醒1.将度用度、分、秒表示的方法：先将度的小数部分化为分，再将分的小数部分化为秒；2.将度、分、秒用度表示的方法：先将秒化为分，再将分化为度. 知3－练感悟新知解：(1)57.32°=57°+0.32°=57°+0.32×60′=57°+19.2′=57°+19′+0.2×60″=57°+19′+12″=57°19′12″.(2)10°6′36″=10°+6′+36″=10°+6′+36×()′=10°+6′+0.6′=10°+6.6′=10°+6.6×()°=10°+0.11°=10.11°. 知3－练感悟新知计算：(1)27°26′+53°48′；(2)90°－79°18′6″；(3)18°13′×5；(4)49°28′52″÷4.例4 知3－练感悟新知解法提醒角度的加减法运算，先算秒，再算分，最后算度.借和进都是60进制，单位不统一时，先化统一，再计算.乘法运算先乘秒、分，再乘度，除法运算先除度，再除分、秒.解题秘方：利用有理数的运算法则结合角的单位的换算和进制进行计算. 知3－练感悟新知解：(1)27°26′+53°48′=80°74′=81°14′.(2)90°－79°18′6″=89°59′60″－79°18′6″=10°41′54″.(3)18°13′×5=90°65′=91°5′.(4)49°28′52″÷4=12°+88′52″÷4=12°22′+52″÷4=12°22′13″. 感悟新知知4－讲知识点方向角41.方向角平面测量时，通常以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方向角，在测绘、航海中经常用到. 感悟新知知4－讲如图4.4-4，射线OA的方向是北偏东30°，射线OB的方向是南偏西60°，这里的“北偏东30°”和“南偏西60°”就是方向角. 感悟新知知4－讲2.方向角的描述一般地，方向角是以第一个方向(正南或正北)为角的始边向第二个方向转动所形成的角. 感悟新知知4－讲特殊方向角：(1)东北方向表示以正北为角的始边，向东转45°时的射线的方向，又叫北偏东45°；(2)东南方向为南偏东45°；(3)西南方向为南偏西45°；(4)西北方向为北偏西45°. 知4－讲感悟新知特别提醒1.在平面图上方向为“上北，下南，左西，右东”.2.方向角大都用射线与正北或正南方向的夹角来表示，所以把南或北写在前，把东或西写在后，用两个方向表示(如北偏东60°).3.正东、正西、正南、正北以及东北、东南、西南、西北方向不需要用角度来表示. 感悟新知知4－练在图4.4-5中画出表示下列方向的射线：(1)北偏东30°；(2)北偏西65°；(3)南偏西25°.例5 知4－练感悟新知解法提醒已知方向角画方向线的方法：画方向线时，以始边(南或北)为基准，向偏的方向(东或西)按角度画出终边，终边即为方向线. 知4－练感悟新知解题秘方：“偏”的意思是“旋转”，如“北偏东”是指“由正北向东旋转”.解：如图4.4-6.(1)射线OA表示北偏东30°；(2)射线OB表示北偏西65°；(3)射线OC表示南偏西25°. 感悟新知知4－练[月考·永州]如图4.4-7，射线OA的方向是北偏东15°，射线OB的方向是北偏西40°，∠AOB=∠AOC，射线OD是OB的反向延长线．(1)射线OC的方向是_________；(2)∠COD的度数是___________.例6 知4－练感悟新知解题秘方：此题主要考查了方向角的表达，即方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度． 知4－练感悟新知解：(1)因为射线OB的方向是北偏西40°，射线OA的方向是北偏东15°，所以∠NOB=40°，∠NOA=15°.所以∠AOB=∠NOB+∠NOA=55°.因为∠AOB=∠AOC，所以∠AOC=55°.所以∠NOC=∠NOA+∠AOC=70°.所以射线OC的方向是北偏东70°. 知4－练感悟新知(2)因为∠AOC=∠AOB=55°，所以∠BOC=110°．又因为射线OD是OB的反向延长线，所以∠BOD=180°．所以∠COD=180°－110°=70°．答案：(1)北偏东70°(2)70° 知4－练感悟新知方法点拨1.在含有方向角的平面图中，南北方向线和东西方向线的夹角等于90°.2.描述方向角时，既要描述方位又要说明角度. 角角定义度量单位角度的换算表示方法