七年级数学（第四章 直线与角）4.3 线段的长短比较（沪科版 学习、上课资料）

4.3线段的长短比较第四章直线与角 逐点导讲练课堂小结作业提升学习目标课时讲解1课时流程2线段的长短比较线段的和差倍分线段的中点线段的基本事实 感悟新知知1－讲知识点线段的长短比较11.度量法利用刻度尺分别测量出两条线段的长度，然后根据测量结果进行比较.2.叠合法把两条线段中的一条线段移到另一条线段上，使它们有一个端点重合，然后根据另一个端点的位置进行比较. 知1－讲感悟新知特别解读1.当两条线段的长短差别不大，而又不便放在一起比较时，运用度量法；当两条线段能够放在一起而又不需要知道相差的具体数值时，可用叠合法.2.度量法和叠合法分别是从“数”和“形”两个方面出发的，从“数”的方面比较，一般用度量法；从“形”的方面比较，一般用叠合法. 感悟新知知1－讲例如：比较线段AB、CD的长短，可以把它们移到同一条直线上，使一个端点A和C重合，另一个端点B和D落在点A的同一侧，如图4.3－1. 感悟新知知1－练如图4.3－2是一张三角形纸片，你能比较线段AB与线段BC的长短吗？例1 知1－练感悟新知方法点拨比较有公共端点的两条线段的长短的方法：1.借助刻度尺进行度量；2.借助圆规进行叠合. 知1－练感悟新知解题秘方：可以利用度量法，分别量出每条线段的长度，然后进行比较，或者利用叠合法进行比较.解：方法一：度量法.用刻度尺量得AB=1.7cm，BC=1.3cm，所以AB＞BC.方法二：叠合法.如图4.3－2，将圆规的一端放在B点，另一端放在C点，将圆规绕B点旋转，圆弧与AB交于D点.所以AB＞BC. 感悟新知知2－讲知识点线段的和差倍分21.线段的和与差如图4.3-3，已知线段a，b(a>b). 感悟新知知2－讲(1)线段的和：在直线l上作线段AB=a，再在线段AB的延长线上作线段BC=b，线段AC就是a与b的和，记作AC=a+b，如图4.3-4①.(2)线段的差：在直线l上作线段AB=a，在线段AB上作线段BD=b，则线段AD就是a与b的差，记作AD=a－b，如图4.3-4②. 知2－讲感悟新知特别提醒1.几何中线段的和差与代数中的数的和差有联系也有区别，在数量上是线段长度的和差，在图形上作线段的和差得到的图形是一条线段.2.用尺规作线段的和时，依次向右截取；作线段的差时，从最右边的端点向左截取. 感悟新知知2－讲2.线段的倍与分如图4.3-5，射线AE上有B，C，D三点，线段AB，BC，CD的长度关系是AB=BC=CD，则AC=2BC，AD=3AB，AB=AC，AB=AD，AC=AD. 感悟新知知2－练如图4.3-6，已知点B，C在线段AD上．(1)图中共有_______条线段.(2)已知AB=CD．①比较线段的长短：AC______BD(填“>”“=”或“<”)；②若BD=4AB，BC=12cm，则AD=_______cm．例2 感悟新知特别提醒在将两条线段用“>”“<”或“=”连接起来的时候，字母前的“线段”两字就省略不写了.只有线段才能比较长短，而直线、射线不能比较长短.知2－练 知2－练感悟新知解题秘方：本题主要考查了线段长度的计算，解题关键是掌握线段的和、差、倍、分及计算方法． 知2－练感悟新知解：(1)图中的线段有AB，BC，CD，AC，BD，AD，共6条.(2)①因为AB=CD，所以AB+BC=CD+BC，即AC=BD.②因为BD=4AB，AB=CD，所以BC=3AB.因为BC=12cm，所以AB=4cm，所以AD=AB+BD=4+4×4=20(cm).答案：(1)6(2)①=②20 感悟新知知3－讲知识点线段的中点31.线段的中点的定义把一条线段分成两条相等线段的点叫做线段的中点.如图4.3－7，若M是线段AB的中点，则有AM=BM=AB. 知3－讲感悟新知特别提醒1.线段的中点表示法：线段的中点一定在线段上，点M为线段AB的中点有三种表达方式：(1)点M在线段AB上，且AM=BM；(2)AB=2AM=2BM；(3)AM=BM=AB.2.线段的中点只有一个，且一定在线段上，类似地，线段的三等分点有两个、线段的四等分点有三个，且这些点都在线段上. 感悟新知知3－讲2.等分线段(1)把一条线段分成三条相等的线段的点叫做线段的三等分点.如图4.3－8，若M、N是线段AB的三等分点，则有AM=MN=NB=AB. 感悟新知知3－讲(2)把一条线段分成四条相等的线段的点叫做线段的四等分点.如图4.3－9，若M、N、P是线段AB的四等分点，则有AM=MN=NP=PB=AB. 感悟新知知3－练如图4.3-10，M是线段AC的中点，点B在线段AC上，且AB=4，BC=2AB，求线段MC和线段BM的长.例3解题秘方：紧扣中点的意义及要求的线段与已知线段之间的数量关系求线段长. 知3－练感悟新知方法点拨本题利用逐段计算法求线段长.要求某条线段的长，先确定这条线段等于哪几条线段的和或差，分析这些线段的长度是已知的，还是要通过别的条件再求的，再进行逐段计算 感悟新知知3－练解：因为AB=4，BC=2AB，所以BC=8.所以AC=AB+BC=4+8=12.因为M是线段AC的中点，所以MC=AM=AC=6.所以BM=AM－AB=6－4=2. 知3－练感悟新知如图4.3-11，已知B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，点M为AD的中点，BM=6cm，求CM和AD的长.例4 感悟新知方法点拨当利用逐段计算法难以求出线段长时，可考虑运用方程思想，将其中已知的线段长作为等量关系，设出要求的线段长，用含要求线段长的式子表示已知线段长(利用它们之间的数量关系表示)，列出方程解决问题.知3－练 知3－练感悟新知解题秘方：利用已知条件BM=6cm作为等量关系列出方程，求出CM和AD的长. 知3－练感悟新知解：设AB=2xcm，则BC=5xcm，CD=3xcm.所以AD=AB+BC+CD=10xcm.因为M是AD的中点，所以AM=MD=AD=×10x=5x(cm).因为BM=AM－AB，所以5x－2x=6.所以x=2.所以CM=MD－CD=5x－3x=2x=2×2=4(cm)，AD=10x=10×2=20(cm). 感悟新知知4－讲知识点线段的基本事实4线段的基本事实两点间的距离举例两点之间的所有连线中，线段最短.简单说成：两点之间，线段最短定义性质在所有连接A，B两点的线中，线段AB是最短的，线段AB的长度就是点A与点B之间的距离两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离(1)存在性；(2)最短性；(3)唯一性 知4－讲感悟新知警示误区两点间的距离是一个具体的数量，而线段本身是图形.因此不能把A，B两点间的距离说成是线段AB.另外，连接两点是指画出以这两点为端点的线段. 感悟新知知4－练在同一所学校上学的小明、小亮、小红三名同学分别住在A，B，C三个住宅区，如图4.3-12，A，B，C三点共线，且AB=40米，BC=100米，他们打算合租一辆车去上学.由于车位紧张，他们准备在三个住宅区之间只设一个停靠点，为使三名同学步行到停靠点的路程之和最小，你认为停靠点应该设在何处？例5 感悟新知技巧点拨在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论思想，如本题中应分情况讨论车的停靠点.知4－练 知4－练感悟新知解题秘方：根据停靠点的不同位置，分别计算他们步行到停靠点的路程之和，再进行比较，确定位置. 知4－练感悟新知解：AC=AB+BC=40+100=140(米).分情况讨论如下：(1)若停靠点设在A住宅区，则他们的路程总和为40+140=180(米)；(2)若停靠点设在A住宅区与B住宅区之间(不包括A，B住宅区)，则他们的路程总和大于140米且小于180米； 知4－练感悟新知(3)若停靠点设在B住宅区，则他们的路程总和为140米；(4)若停靠点设在B住宅区与C住宅区之间(不包括B，C住宅区)，则他们的路程总和大于140米且小于240米；(5)若停靠点设在C住宅区，则他们的路程总和为140+100=240(米).综上所述，为使三名同学步行到停靠点的路程之和最小，停靠点应设在B住宅区. 感悟新知详解当停靠点位于A，B之间时，不妨记为点D，如图4.3-13，则AD+DB=AB=40米，100米=BC<DC<AC=140米，所以他们的路程和AD+DB+DC大于140米且小于180米.知4－练 感悟新知知4－练如图4.3-14，有一个正方体盒子放在桌面上，一只虫子在顶点A处，一只蜘蛛在顶点B处，蜘蛛沿着盒子表面准备偷袭虫子，那么蜘蛛要想最快捉住虫子，应该怎样走？请画出来.例6 知4－练感悟新知解题秘方：蜘蛛要想最快捉住虫子，需走最短的路线，而蜘蛛走的路线在正方体的表面上，因此应在正方体的表面展开图中寻找. 知4－练感悟新知解：有四种走法，分别是B→F→A，B→G→A，B→M→A，B→N→A(F，G，M，N分别为DE，CD，KE，KH的中点)，如图4.3-15. 感悟新知图解如图4.3-16，将正方体的两个面展开，连接AB交DE于点F.其实质是把立体图形转化为平面图形，也就是把正方体的不同面展开成同一平面，利用“两点之间，线段最短”确定路线.知4－练 线段的长短比较线段的中点两点之间的距离线段线段的长短比较基本事实两点之间，线段最短度量法叠合法