备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何突破3圆锥曲线中的定点定值定线问题

突破3圆锥曲线中的定点、定值、定线问题1.[命题点1]已知抛物线C：x2＝－2py经过点（2，－1）.（1）求抛物线C的方程及其准线方程.（2）设O为原点，过抛物线C的焦点且斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.解析　（1）由抛物线C：x2＝－2py经过点（2，－1），得4＝2p，解得p＝2，所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.（2）由（1）知抛物线C的焦点为（0，－1）.设直线l的方程为y＝kx－1（k≠0）.由y＝kx－1，x2＝－4y，得x2＋4kx－4＝0.设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2＝－4.直线OM的方程为y＝y1x1x.令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－x1y1.同理得点B的横坐标xB＝－x2y2.设点D（0，n），则DA＝（－x1y1，－1－n），DB＝（－x2y2，－1－n），DA·DB＝x1x2y1y2＋（n＋1）2＝x1x2（－x124)(－x224）＋（n＋1）2＝16x1x2＋（n＋1）2＝－4＋（n＋1）2.令DA·DB＝0，即－4＋（n＋1）2＝0，得n＝1或n＝－3.综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点（0，1）和（0，－3）.2.[命题点2/新高考卷Ⅰ]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为22，且过点A（2，1）.（1）求C的方程；（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足.证明：存在定点Q，使得｜DQ｜为定值.解析　（1）由题设得4a2＋1b2＝1，a2－b2a2＝12，解得a2＝6，b2＝3.所以C的方程为x26＋y23＝1.（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）. 若直线MN与x轴不垂直，设直线MN的方程为y＝kx＋m，代入x26＋y23＝1得（1＋2k2）x2＋4kmx＋2m2－6＝0.于是x1＋x2＝－4km1+2k2，x1x2＝2m2－61+2k2　①.由AM⊥AN知AM·AN＝0，故（x1－2）（x2－2）＋（y1－1）（y2－1）＝0，可得（k2＋1）x1x2＋（km－k－2）（x1＋x2）＋（m－1）2＋4＝0　②.将①代入②可得（k2＋1）2m2－61+2k2－（km－k－2）4km1+2k2＋（m－1）2＋4＝0，整理得（2k＋3m＋1）（2k＋m－1）＝0.因为A（2，1）不在直线MN上，所以2k＋m－1≠0，故2k＋3m＋1＝0，k≠1.于是MN的方程为y＝k（x－23）－13（k≠1）.所以直线MN过点P（23，－13）.若直线MN与x轴垂直，可得N（x1，－y1）.由AM·AN＝0得（x1－2）（x1－2）＋（y1－1）（－y1－1）＝0，则y12＝x12－4x1＋5.又x126＋y123＝1，将上式代入可得3x12－8x1＋4＝0，解得x1＝2（舍去）或x1＝23.此时直线MN过点P（23，－13）.令Q为AP的中点，即Q（43，13）.若D与P不重合，则由题设知AP是Rt△ADP的斜边，故｜DQ｜＝12｜AP｜＝223.（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）若D与P重合，则｜DQ｜＝12｜AP｜＝223.综上，存在点Q（43，13），使得｜DQ｜为定值.