备考2024届高考数学一轮复习强化训练第八章平面解析几何突破2圆锥曲线中的最值范围问题

突破2圆锥曲线中的最值、范围问题1.[命题点1]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的实轴长为2，且过点（e，3），其中e为双曲线C的离心率.（1）求C的标准方程；（2）过点M（－2，0）且斜率不为0的直线l与C的左、右两支分别交于点A，B，点N在线段AB上，且｜MA｜｜MB｜＝｜AN｜｜NB｜，P为线段AB的中点，记直线OP，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，求｜k1｜＋｜k2｜的最小值.解析　（1）∵双曲线C：x2a2－y2b2＝1的实轴长为2，∴a＝1，∵双曲线过点（e，3），e＝ca＝c，∴c2－9b2＝1，又c2＝a2＋b2＝1＋b2，∴b2＝3，故双曲线C的标准方程为x2－y23＝1.（2）设直线l：my＝x＋2（m≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），N（x3，y3），由my＝x+2，x2－y23=1，整理得（3m2－1）y2－12my＋9＝0，则3m2－1≠0，Δ=36m2+36>0，y1＋y2＝12m3m2－1，y1y2＝93m2－1.则P（23m2－1，6m3m2－1），∴k1＝3m.∵｜MA｜｜MB｜＝｜AN｜｜NB｜，∴y1y2＝y3－y1y2－y3，∴y3＝2y1y2y1＋y2＝1812m＝32m，∴N（－12，32m），k2＝－3m.∴k1k2＝3m×（－3m）＝－9，｜k1k2｜＝9.∴｜k1｜＋｜k2｜≥2｜k1k2｜＝6，当且仅当｜k1｜＝｜k2｜，即k1＝3，k2＝－3或k1＝－3，k2＝3时等号成立，此时m＝1或－1，y1y2＝93m2－1＝92＞0，满足l与C的左、右两支分别相交.∴｜k1｜＋｜k2｜的最小值为6.2.[命题点2]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为12，过点P（1，0）作x轴的垂线，与C交于A，B两点，且｜AB｜＝2b2a.（1）求椭圆C的标准方程；（2）若直线l1与椭圆C交于D，E两点，直线l2与椭圆C交于M，N两点，且l1⊥l2，l1，l2交于点P，求｜DE｜·｜MN｜的取值范围.解析　（1）由椭圆C的离心率为12，得ca＝12，即a＝2c　①. 将x＝1代入椭圆方程，得1a2＋y2b2＝1，则｜y｜＝ba2－1a，（点拨：因为过点P（1，0）且与x轴垂直的直线与C有2个交点，所以a＞1）由｜AB｜＝2b2a，得2ba2－1a＝2b2a，即a2－1＝b2　②.由①②并结合a2＝b2＋c2，得a＝2，b＝3，所以椭圆C的标准方程为x24＋y23＝1.（2）①当直线l1的斜率为0时，直线l2的方程为x＝1，此时｜DE｜＝4，｜MN｜＝｜AB｜＝3，所以｜DE｜·｜MN｜＝12.当直线l1的斜率不存在时，直线l2的斜率为0，此时｜MN｜＝4，｜DE｜＝3，所以｜DE｜·｜MN｜＝12.②当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为x＝my＋1（m≠0），由x＝my+1，x24＋y23=1，得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0.设D（x1，y1），E（x2，y2），则y1＋y2＝－6m3m2+4，y1y2＝－93m2+4，所以｜DE｜＝m2+1｜y1－y2｜　　　＝m2+1×（y1＋y2）2－4y1y2　　　＝m2+1×（－6m3m2+4）2＋363m2+4　　　＝12（m2+1）3m2+4.因为l1⊥l2，所以可用－1m替换｜DE｜表达式中的m，得｜MN｜＝12（1+m2）4m2+3，所以｜DE｜·｜MN｜＝144（m2+1）2（3m2+4)(4m2+3）.令t＝m2＋1，因为m≠0，所以t＞1，0＜1t＜1，m2＝t－1，所以｜DE｜·｜MN｜＝144t2（3t+1)(4t－1）＝144t212t2＋t－1＝14412+1t－1t2＝144－（1t－12）2＋494，所以57649≤｜DE｜·｜MN｜＜12.综上，｜DE｜·｜MN｜的取值范围为[57649，12].