备考2024届高考数学一轮复习分层练习第十章计数原理概率随机变量及其分布第4讲随机事件与概率

第4讲随机事件与概率1.[2024吉林长春东北师大附中模拟]下列叙述正确的是（　D　）A.随着试验次数的增加，频率一定越来越接近一个确定数值B.若随机事件A发生的概率为P（A），则0＜P（A）＜1C.若事件A与事件B互斥，则P（A＋B）＝P（B）D.若事件A与事件B对立，则P（A）＋P（B）＝1解析　随着试验次数的增加，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件发生的频率会逐渐稳定于事件发生的概率，并不一定越来越接近这个确定数值，故A不正确；必然事件发生的概率为1，不可能事件发生的概率为0，所以0≤P（A）≤1，故B不正确；若事件A与事件B互斥，则它们不可能同时发生，即B发生则A一定不发生，所以B⊆A，则A＋B＝A，则有P（A＋B）＝P（A），不一定与P（B）相等，故C不正确；若事件A与事件B对立，则A∪B为必然事件，且事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝1，故D正确.故选D.2.[2024广东佛山模拟]从1～9这9个数中随机选取一个，则这个数平方的个位数字大于5的概率为（　B　）A.13B.49C.59D.23解析　从1～9这9个数中随机选取一个数，共有9种选法，其中这个数平方的个位数字大于5的是3，4，6，7，故这个数平方的个位数字大于5的概率为49，故选B.3.[2024四川成都模拟]我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如40＝3＋37.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（　B　）A.245B.115C.145D.19解析　不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数有C102＝45（种）情况，其中和等于30的有7和23，11和19，13和17这3种情况，所以所求概率是345＝115.故选B.4.[2024四川遂宁模拟]抛掷一颗质地均匀的骰子，定义如下随机事件：Ci＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”；D2＝“点数大于2”；D3＝“点数大于4”.则下列结论错误的是（　D　）A.C1与C2互斥B.D1∪D2＝Ω，D1D2＝∅C.D3⊆D2D.C2，C3为对立事件 解析　由题意知C1与C2不可能同时发生，它们互斥，A正确；由题意知，样本空间Ω＝{1，2，3，4，5，6}，D1＝{1，2}，D2＝{3，4，5，6}，因此B正确；D3＝{5，6}⊆D2，C正确；C2与C3不可能同时发生，但也可能都不发生，互斥不对立，D错误.故选D.5.[2024湖北宜昌宜都市一中模拟]从装有除颜色外完全相同的2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥但不对立的两个随机事件是（　C　）A.至少有1个白球，都是白球B.至少有1个白球，至少有1个红球C.恰有1个白球，恰有2个白球D.至少有1个白球，都是红球解析　对于A，“都是白球”这个事件发生时，事件“至少有1个白球”也发生了，因此不互斥，A不正确；对于B，任取2球一红一白时，事件“至少有1个白球”与“至少有1个红球”同时发生，因此不互斥，B不正确；对于C，“恰有1个白球”，“恰有2个白球”这两个事件不可能同时发生，但当任取2个球都是红球时，它们都不发生，因此它们互斥且不对立，C正确；对于D，“至少有1个白球”与“都是红球”不可能同时发生，但必有一个会发生，因此它们是对立事件，D不正确.故选C.6.[新高考卷Ⅰ]某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96％的学生喜欢足球或游泳，60％的学生喜欢足球，82％的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（　C　）A.62％B.56％C.46％D.42％解析　记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A∪B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A∩B，则P（A）＝0.6，P（B）＝0.82，P（A∪B）＝0.96，所以P（A∩B）＝P（A）＋P（B）－P（A∪B）＝0.6＋0.82－0.96＝0.46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46％，故选C.7.[全国卷Ⅰ]设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为（　A　）A.15B.25C.12D.45解析　根据题意作出图形，如图所示，在O，A，B，C，D中任取3点，有C53=10（种）等可能的情况，其中取到的3点共线有（OAC）和（OBD）2种等可能的情况，所以在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为210＝15，故选A.8.[2023广西联考]现有一组数据1，2，3，4，5，6，7，8，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于5的概率为（　A　） A.17B.314C.328D.528解析　由已知可得，1＋2＋3＋…＋8＝36，若使删去两个数后剩余六个数的平均数大于5，则剩余六个数的总和大于30，即删去两个数的总和小于6，则有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3）四种情况，所以随机删去两个数，剩下数据的平均数大于5的概率P=4C82=17，故选A.9.[多选/2024山东济宁模拟]掷一颗质地均匀的骰子，事件A表示“出现小于5的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”.若B表示B的对立事件，则一次试验中，下列说法正确的是（　ABD　）A.P（A）＝13B.P（B）＝23C.P（A∪B）＝13D.P（A∪B）＝23解析　易知P（A）＝26＝13，P（B）＝46＝23，故A，B正确，P（A）＝1－13＝23，P（B）=1-23＝13，易知A与B互斥，故P（A∪B）＝P（A）＋P（B）＝23，故D正确，易知B⊆A，则P（A∪B）＝P（A）＝23，故C错误.故选ABD.10.[2024湖北黄冈模拟]事件A，B是相互独立事件，若P（A）＝m，P（B）＝0.3，PA+B=0.7，则实数m的值等于　37　.解析　P（A＋B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝1－P（A）＋P（B）－P（A）P（B）＝1－P（A）＋P（B）[1－P（A）]＝1－P（A）＋P（B）P（A），即0.7＝1－m＋0.3m，解得m＝37.11.[2024广东佛山模拟]有两个人从一座28层大楼的第一层进入电梯，假设每一个人自第二层开始在每一层离开电梯是等可能的，则这两个人在不同层离开电梯的概率为　2627　.解析　两人离开电梯的所有可能情况有27×27＝729（种），两人在同一层离开电梯的可能情况有C271＝27（种），则两人在同一层离开电梯的概率为27729＝127，所以这两个人在不同层离开电梯的概率为1－127＝2627.12.[2024河南商丘模拟]某射击运动员在一次射击训练中共射击10次，这10次命中的环数分别为8，7，9，9，10，6，8，8，7，8.（1）求这名运动员10次射击成绩的方差.（2）若以这10次命中环数的频率来估计这名运动员命中环数的概率，求该运动员射击一次时：（i）命中9环或者10环的概率；（ii）至少命中7环的概率.解析　（1）平均数x＝110（8＋7＋9＋9＋10＋6＋8＋8＋7＋8）＝8， 方差s2＝110[（6－8）2＋2×（7－8）2＋4×（8－8）2＋2×（9－8）2＋（10－8）2]＝1.2.（2）设该运动员射击一次时，事件A＝“命中7环”，事件B＝“命中8环”，事件C＝“命中9环”，事件D＝“命中10环”，用频率估计概率，则P（A）＝15，P（B）＝25，PC=15，P（D）＝110.（i）设事件E＝“命中9环或者10环”，则P（E）＝P（C∪D）＝P（C）＋P（D）＝15＋110＝310.（ii）解法一　设事件F＝“至少命中7环”，则P（F）＝P（A∪B∪C∪D）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＋P（D）＝15＋25＋15＋110＝910.解法二　设事件F＝“至少命中7环”，事件G＝“命中不超过6环”，则P（G）＝110，所以P（F）＝1－P（G）＝1－110＝910.13.某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满80元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有5名顾客都领取一件礼品，则他们中恰有3人领取的礼品种类相同的概率是（　D　）A.140243B.40243C.2081D.4081解析　5名顾客从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任取一件，共有35种可能结果，令事件A为“5人中恰有3人领取的礼品种类相同”，则事件A包含的可能结果有C53×C31×C21×C21＝120（种），所以P（A）＝12035＝4081，故选D.14.[2024湖北武汉市第一中学模拟]在集合{2，3，4，5，6}的所有非空真子集中任选一个，其元素之和为偶数的概率是（　B　）A.35B.715C.12D.815解析　集合{2，3，4，5，6}中有两个奇数3，5，三个偶数2，4，6，共5个元素，则集合{2，3，4，5，6}的非空真子集一共有25－2＝30（个）.分类讨论满足题意的非空真子集的个数：（1）当集合中只有1个元素时，当且仅当从2，4，6中随机选取一个，此时满足题意的非空真子集的个数为C31＝3；（2）当集合中有2个元素时，当且仅当从2，4，6中随机选取两个，或者同时选取3，5，此时满足题意的非空真子集的个数为C32＋C22＝3＋1＝4；（3）当集合中有3个元素时，当且仅当从2，4，6中随机选取一个且同时选取3，5，或者同时选取2，4，6，此时满足题意的非空真子集的个数为C31×C22＋C33＝3×1＋1＝4；（4）当集合中有4个元素时，当且仅当从2，4，6中随机选取两个且同时选取3，5，此时满足题意的非空真子集的个数为C32×C22＝3×1＝3. 综上，满足题意的非空真子集的个数共有3＋4＋4＋3＝14（个），因此所求概率为1430＝715.故选B.15.[2024陕西西安市铁一中模拟]甲、乙两人独立解某一道数学题，已知该题被甲独立解出的概率为0.7，被甲或乙解出的概率为0.94，则该题被乙独立解出的概率为　0.8　.解析　记“该题被甲独立解出”为事件A，“该题被乙独立解出”为事件B，由题知PA=0.7，P（A∪B）＝0.94.因为事件A，B相互独立，所以PAB=PAPB=0.7PB.又P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（AB）＝0.7＋0.3P（B）＝0.94，所以PB=0.8.16.[2024四川成都模拟]已知2，4，6，8，x这5个数的标准差为2，若在－2，0，5，2x-1，x－2中随机取出3个不同的数，则5为这3个数的中位数的概率是　310　.解析　2，4，6，8，x这5个数的平均数为2+4+6+8+x5＝20+x5，则15[(2－20+x5）2＋（4－20+x5）2＋（6－20+x5）2＋（8－20+x5）2＋（x－20+x5）2]＝2，解得x＝5，则－2，0，5，2x－1，x－2，即－2，0，5，9，3，按照从小到大的顺序排列为-2，0，3，5，9.从－2，0，3，5，9中随机取出3个不同的数，有C53＝10（种）情况，其中5为这3个数的中位数有（－2，5，9），（0，5，9），（3，5，9），3种情况，所以所求概率是310.17.[2024广东佛山模拟]在一次猜灯谜活动中，共有20个灯谜，甲、乙两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个.假设猜对每个灯谜都是等可能的.（1）任选一个灯谜，求恰有一个人猜对的概率；（2）任选一个灯谜，求两人同时猜对或猜错的概率.解析　（1）设事件A表示“任选一个灯谜，甲猜对”，事件B表示“任选一个灯谜，乙猜对”，由古典概型的概率公式得P（A）＝1220＝35，P（B）＝820＝25，则P（A）＝1－35＝25，P（B）＝1－25＝35，记事件C＝“任选一个灯谜，恰有一个人猜对”，则P（C）＝（AB）∪（AB），且AB与AB互斥，因为甲、乙独立竞猜，所以事件A和B相互独立，从而A与B，A与B，A与B相互独立，于是P（C）＝P（AB＋AB）＝P（A）P（B）＋P（A）P（B）＝35×35＋25×25＝1325.（2）事件C＝“任选一个灯谜，恰有一个人猜对”，则其对立事件C＝“任选一个灯谜，两人同时猜对或猜错”，故所求事件的概率为P（C）＝1－P（C）＝1－1325＝1225. 18.[设问创新]一个袋子中有n（n∈N*）个红球和5个白球，每次从袋子中随机摸出2个球.若“摸出的2个球颜色不相同”发生的概率记为p（n），则p（n）的最大值为　59　.解析　由古典概型的概率计算公式可得p（n）＝Cn1C51Cn+52＝10nn2+9n+20＝10n＋20n+9，∵n＋20n≥2n×20n＝45，当且仅当n＝20n，即n＝25时取等号，但n∈N*，∴当n＝4或5时，n＋20n有最小值9，此时p（n）有最大值109+9＝59.