备考2024届高考数学一轮复习分层练习第十章计数原理概率随机变量及其分布第1讲两个计数原理

第1讲两个计数原理1.[2024四川成都模拟]“数独九宫格”的游戏规则为：将1到9这9个自然数填到如图所示的九宫格的9个空格里，每个空格填1个数，且9个空格的数字各不相同.若中间空格已填数字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行从左至右及第二列从上至下所填的数字都是从小到大排列的，则不同的填法种数为（　C　）5A.72B.108C.144D.196解析　按题意，5的上方和左边只能从1，2，3，4中选取，5的下方和右边只能从6，7，8，9中选取.第一步，填上方空格，有4种填法；第二步，填左方空格，有3种填法；第三步，填下方空格，有4种填法；第四步，填右方空格，有3种填法.由分步乘法计数原理得，不同的填法种数为4×3×4×3＝144.故选C.2.[2023全国卷甲]现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（　B　）A.120种B.60种C.30种D.20种解析　先从5人中选择1人两天均参加公益活动，有5种方式；再从余下的4人中选2人分别安排到星期六、星期日，有4×3＝12（种）安排方式.所以不同的安排方式共有5×12＝60（种）.故选B.3.[2024北京市顺义区联考]某班一天上午有4节课，下午有2节课.现要安排该班一天中语文、数学、政治、英语、体育、艺术6门课的课程表，要求数学课排在上午，体育课排在下午，则不同的排法有（　D　）A.48种B.96种C.144种D.192种解析　由题意，要求数学课排在上午，体育课排在下午，先考虑这两门课程，有4×2＝8（种）排法，再排其余4节课，有4×3×2×1＝24（种）排法，根据分步乘法计数原理，共有8×24＝192（种）排法，故选D.4.现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴的吉祥物，乙同学喜欢牛、狗和羊的吉祥物，丙同学对所有的吉祥物都喜欢.让甲、乙、丙三位同学依次从中选一个珍藏，若每个人所选取的吉祥物都是自己喜欢的，则不同的选法共有（　C　）A.50种B.60种C.80种D.90种解析　根据题意，按甲的选择分两类讨论：第一类，若甲选择牛的吉祥物，则乙的选法有2种，丙的选法有10种，此时不同的选法有2×10＝20 （种）；第二类，若甲选择马或猴的吉祥物，则甲的选法有2种，乙的选法有3种，丙的选法有10种，此时不同的选法有2×3×10＝60（种）.所以不同的选法共有20＋60＝80（种）.故选C.5.[2023南京六校联考]如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（　C　）A.144种B.73种C.48种D.32种解析　由于A，B，C三块区域两两相邻，因此需填涂3种不同的颜色.①当D区域与A区域颜色相同时，只需从4种不同的颜色中选取3种分别填涂到A，B，C三块区域，有4×3×2＝24（种）涂法；②当D区域与A区域颜色不同时，只需将4种不同的颜色分别填涂到A，B，C，D四块区域，有4×3×2×1＝24（种）涂法.所以不同的涂法共有24＋24＝48（种），故选C.6.如图所示，从正八边形的八个顶点中任选三个构成三角形，则与正八边形有公共边的三角形有　40　个（用数字作答）.解析　把与正八边形有公共边的三角形分为两类：第一类，有一条公共边的三角形，此类三角形由正八边形中两个相邻的顶点和一个与所选顶点均不相邻的顶点构成，共有8×4＝32（个）；第二类，有两条公共边的三角形，此类三角形由正八边形中三个相邻的顶点构成，共有8个.由分类加法计数原理可知，共有32＋8＝40（个）.7.[2023北京通州区质检]一个三位数，如果满足个位上的数字和百位上的数字都大于十位上的数字，那么我们称该三位数为三位数“凹数”，则没有重复数字的三位数“凹数”的个数为　240　.（用数字作答）解析　依题意，无重复数字的三位数“凹数”，十位数字只可能为0，1，2，3，4，5，6，7之一，个位和百位上的数字从比对应十位数字大的数字中任取两个进行排列，所以没有重复数字的三位数“凹数”的个数为9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝72＋56＋42＋30＋20＋12＋6＋2＝240.8.[2024北京市景山学校期末]在0，1，2，3，4，5，6这7个数中任取4个数，将其组成无重复数字的四位数，其中能被5整除且比4351大的数共有（　C　）A.54个B.62个C.74个D.82个解析　根据被5整除的数特点，分成两类.第一类：个位为0，则千位为5或6时，有2×5×4＝40（个）四位数大于4351；千位为4，百位为5或6时，有2×4＝8（个）四位数大于4351；千位为4，百位为3时，十位为6，有1个四位数大于4351.第二类：个位为5，则千位为6时，有5×4＝20（个）四位数大于4351；千位为4，百位是6时，有4个四位数大于4351；千位为4，百位为3时，有1个四位数大于4351.综上，满足条件的数共有40＋8＋1＋20＋4＋1＝74（个）.故选C. 9.算盘是中国古代的一项重要发明.现有一种算盘（如图1），共两档，自右向左分别表示个位和十位，档中横以梁，梁上一珠拨下，记作数字5，梁下五珠，上拨一珠记作数字1（如图2中算盘表示整数51）.若拨动图1算盘中的三枚算珠，则可以表示不同整数的个数为（　C　）图1图2A.16B.15C.12D.10解析　由题意，拨动三枚算珠，有4种拨法：①个位拨动三枚，有2种结果：3，7；②十位拨动一枚，个位拨动两枚，有4种结果：12，16，52，56；③十位拨动两枚，个位拨动一枚，有4种结果：21，25，61，65；④十位拨动三枚，有2种结果：30，70.综上，拨动题图1算盘中的三枚算珠，可以表示不同整数的个数为2＋4＋4＋2＝12，故选C.10.[2023青岛检测]据史书记载，古代的算筹由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据《孙子算经》记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当.即在算筹记数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推.例如表示62，表示26，现有5根算筹，据此方式表示一个两位数（算筹不剩余且个位不为0），则可以表示不同的两位数的个数为　12　.解析　当十位为1时，个位可以是4，8，共2种；当十位为2时，个位可以是3，7，共2种；当十位为3时，个位可以是2，6，共2种；当十位为4时，个位为1，共1种；当十位为6时，个位可以是3，7，共2种；当十位为7时，个位可以是2，6，共2种；当十位为8时，个位为1，共1种.所以可以表示的两位数有5×2＋1×2＝12（个）.11.[与集合综合]设集合A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）｜xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，则集合A中满足条件1≤x12＋x22＋x32＋x42＋x52≤4的元素个数为（　B　）A.180B.210C.240D.241解析　因为A＝{（x1，x2，x3，x4，x5）｜xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，所以x1，x2，x3，x4，x5都有3种不同的赋值，集合A中共有35个元素，且0≤x12＋x22＋x32＋x42＋x52≤5， 其中满足x12＋x22＋x32＋x42＋x52＝0的只有1个元素，即（0，0，0，0，0）.当x12＋x22＋x32＋x42＋x52＝5时，x1，x2，x3，x4，x5都有2种不同的赋值，共有25个元素.所以集合A中满足条件1≤x12＋x22＋x32＋x42＋x52≤4的元素个数为35－1－25＝210，故选B.12.[逻辑推理]小李和小王玩一个猜数游戏，规则如下：已知六张纸牌上分别写有1－（12）n（n∈N*，1≤n≤6）六个数，现小李和小王分别从中各随机抽取一张，然后根据自己手中纸牌上的数推测谁手中纸牌上的数更大.小李看了看自己手中纸牌上的数，想了想说：“我不知道谁手中纸牌上的数更大.”小王听了小李的判断后，思索了一下说：“我知道谁手中纸牌上的数更大了.”假设小王和小李做出的推理都是正确的，那么小李和小王拿到纸牌的情况共有　14　种.解析　六张纸牌上的数分别为12，34，78，1516，3132，6364.因为小李不知道谁手中纸牌上的数更大，因此小李拿的纸牌上的数不是最大的6364，也不是最小的12，因此小李拿的纸牌有4种情况.接下来讨论小王：①当小王拿的纸牌上的数是12时，则小王知道小李拿的纸牌上的数一定比他大，此时有4种情况；②当小王拿的纸牌上的数是34时，则小王知道小李拿的纸牌上的数一定比他大，此时有3种情况；③当小王拿的纸牌上的数是3132时，则小王知道小李拿的纸牌上的数一定比他小，此时有3种情况；④当小王拿的纸牌上的数是6364时，则小王知道小李拿的纸牌上的数一定比他小，此时有4种情况；⑤当小王拿的纸牌上的数是1516或78时，此时小王无法判断小李拿的纸牌上的数与他拿的纸牌上的数谁大谁小，舍去.所以满足题意的情况共有4＋3＋3＋4＝14（种）.