高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第3讲知能训练轻松闯关理北师大版

第9章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲1．(2022·石家庄检测)二项式的展开式中的系数是(　　)A．42　　　　　　　　　　　B．168C．84D．21解析：选C.二项展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)7－r·＝C·27－r·x7－2r，由7－2r＝－3可得r＝5，所以含的项的系数为C×22＝84.2．(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝(　　)A．x5B．x5－1C．x5＋1D．(x－1)5－1解析：选B.逆用二项式定理，得原式＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.3．(2022·唐山一模)展开式中的常数项为(　　)A．－8B．－12C．－20D．20解析：选C.由＝，其展开式的通项为Tr＋1＝Cx6－r＝(－1)rCx6－2r，令6－2r＝0，得r＝3，故常数项为(－1)3C＝－20.4．(2022·江西省临川一中等九校联考)若二项式的展开式的第二项的系数为－，则x2dx的值为(　　)A.B．3C．3或D．3或－解析：选A.二项展开式的第二项为T2＝C(ax)5×，则由题意有×Ca5＝－，解得a＝－1，所以x2dx＝x3|＝－－＝.5．(2022·江西省八校联考)若(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，则a1＋a2＋…＋a7的值是(　　)A．－2B．－3C．125D．－131解析：选C.对(1＋x)(1－2x)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a8x8，分别令x＝0，x＝1代入得a0＝1，a0＋a1＋…＋a8＝－2，又a8＝C(－2)7＝－128，所以a1＋a2＋…＋a7＝(－2)－(1－128)＝125.5\n6．若(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于(　　)A．2nB.C．2n＋1D.解析：选D.设f(x)＝(1＋x＋x2)n，则f(1)＝3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n，①f(－1)＝1＝a0－a1＋a2－a3＋…＋a2n，②由①＋②得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2n)＝f(1)＋f(－1)，所以a0＋a2＋a4＋…＋a2n＝＝.7．(2022·陕西省质检)展开式的常数项为________．(用数字作答)解析：二项式的展开式的通项为Tr＋1＝C(2x)6－r(－1)r(x－)r＝C·(－1)r·26－r·x3－r，令3－r＝0，得r＝3，故展开式的常数项为C·(－1)3·23＝－160.答案：－1608．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝________．解析：令1－x＝y，则有(2－y)10＝a0＋a1y＋a2y2＋…＋a10y10，(2－y)10的展开式的通项Tr＋1＝(－1)rC210－ryr，令r＝8，则a8＝(－1)8C210－8＝C22＝180.答案：1809.(2022·高考安徽卷)设a≠0，n是大于1的自然数，的展开式为a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn.若点Ai(i，ai)(i＝0，1，2)的位置如图所示，则a＝________．解析：由题意知A0(0，1)，A1(1，3)，A2(2，4)．故a0＝1，a1＝3，a2＝4.由的展开式的通项公式知Tr＋1＝C(r＝0，1，2，…，n)．故＝3，＝4，解得a＝3.答案：310．(2022·洛阳模拟)的展开式中各项系数之和为729，则该展开式中x2的系数为________．解析：依题意，得3n＝729，即n＝6，二项式的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·＝C·26－r·x6－.令6－＝2，得r＝3.因此，在该二项式的展开式中x25\n的系数是C×26－3＝160.答案：16011．已知二项式的展开式中各项的系数和为256.(1)求n；(2)求展开式中的常数项．解：(1)由题意，得C＋C＋C＋…＋C＝256，即2n＝256，解得n＝8.(2)该二项展开式中的第r＋1项为Tr＋1＝C()8－r·＝C·x，令＝0，得r＝2，此时，常数项为T3＝C＝28.12．已知(a2＋1)n展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项，而(a2＋1)n展开式的二项式系数最大的项等于54，求a的值．解：由，得Tr＋1＝C＝·C·x.令Tr＋1为常数项，则20－5r＝0，所以r＝4，所以常数项T5＝C×＝16.又(a2＋1)n展开式的各项系数之和等于2n.由题意得2n＝16，所以n＝4.由二项式系数的性质知，(a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，所以Ca4＝54，所以a＝±.1．(2022·枣庄模拟)若(x＋y)9按x的降幂排列的展开式中，第二项不大于第三项，且x＋y＝1，xy<0，则x的取值范围是(　　)A.B.C.D．(1，＋∞)解析：选D.二项式(x＋y)9的展开式的通项是Tr＋1＝C·x9－r·yr.依题意，有5\n由此得解之得x>1，即x的取值范围为(1，＋∞)．2．(2022·河南省八校联考)若(2x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5等于________．解析：在已知等式两边对x求导，得5(2x－3)4×2＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝5×(2×1－3)4×2＝10.答案：103．设(3x－1)8＝a8x8＋a7x7＋…＋a1x＋a0，求：(1)a8＋a7＋…＋a1；(2)a8＋a6＋a4＋a2＋a0.解：令x＝0得a0＝1.(1)令x＝1得(3－1)8＝a8＋a7＋…＋a1＋a0，①所以a8＋a7＋…＋a1＝28－a0＝256－1＝255.(2)令x＝－1得(－3－1)8＝a8－a7＋a6－…－a1＋a0，②由①＋②得28＋48＝2(a8＋a6＋a4＋a2＋a0)，所以a8＋a6＋a4＋a2＋a0＝(28＋48)＝32896.4．已知f(x)＝(3＋3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：(1)令x＝1，则二项式各项系数的和为f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n，由题意知，4n－2n＝992.所以(2n)2－2n－992＝0，所以(2n＋31)(2n－32)＝0，所以2n＝－31(舍去)或2n＝32，所以n＝5.由于n＝5为奇数．所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T3＝C(x)3(3x2)2＝90x6，T4＝C(x)2(3x2)3＝270x.(2)展开式中的通项为Tr＋1＝C3r·x(5＋2r)．假设Tr＋1项系数最大，则有5\n所以所以所以≤r≤.因为r∈N，所以r＝4，所以展开式中系数最大的项为T5＝Cx·(3x2)4＝405x.5