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高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第3讲知能训练轻松闯关理北师大版
高考数学一轮复习第9章计数原理概率随机变量及其分布第3讲知能训练轻松闯关理北师大版
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第9章计数原理、概率、随机变量及其分布第3讲1.(2022·石家庄检测)二项式的展开式中的系数是( )A.42 B.168C.84D.21解析:选C.二项展开式的通项为Tr+1=C(2x)7-r·=C·27-r·x7-2r,由7-2r=-3可得r=5,所以含的项的系数为C×22=84.2.(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1)=( )A.x5B.x5-1C.x5+1D.(x-1)5-1解析:选B.逆用二项式定理,得原式=[(x-1)+1]5-1=x5-1.3.(2022·唐山一模)展开式中的常数项为( )A.-8B.-12C.-20D.20解析:选C.由=,其展开式的通项为Tr+1=Cx6-r=(-1)rCx6-2r,令6-2r=0,得r=3,故常数项为(-1)3C=-20.4.(2022·江西省临川一中等九校联考)若二项式的展开式的第二项的系数为-,则x2dx的值为( )A.B.3C.3或D.3或-解析:选A.二项展开式的第二项为T2=C(ax)5×,则由题意有×Ca5=-,解得a=-1,所以x2dx=x3|=--=.5.(2022·江西省八校联考)若(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,则a1+a2+…+a7的值是( )A.-2B.-3C.125D.-131解析:选C.对(1+x)(1-2x)7=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,分别令x=0,x=1代入得a0=1,a0+a1+…+a8=-2,又a8=C(-2)7=-128,所以a1+a2+…+a7=(-2)-(1-128)=125.5\n6.若(1+x+x2)n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n,则a0+a2+a4+…+a2n等于( )A.2nB.C.2n+1D.解析:选D.设f(x)=(1+x+x2)n,则f(1)=3n=a0+a1+a2+…+a2n,①f(-1)=1=a0-a1+a2-a3+…+a2n,②由①+②得2(a0+a2+a4+…+a2n)=f(1)+f(-1),所以a0+a2+a4+…+a2n==.7.(2022·陕西省质检)展开式的常数项为________.(用数字作答)解析:二项式的展开式的通项为Tr+1=C(2x)6-r(-1)r(x-)r=C·(-1)r·26-r·x3-r,令3-r=0,得r=3,故展开式的常数项为C·(-1)3·23=-160.答案:-1608.已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10,则a8=________.解析:令1-x=y,则有(2-y)10=a0+a1y+a2y2+…+a10y10,(2-y)10的展开式的通项Tr+1=(-1)rC210-ryr,令r=8,则a8=(-1)8C210-8=C22=180.答案:1809.(2022·高考安徽卷)设a≠0,n是大于1的自然数,的展开式为a0+a1x+a2x2+…+anxn.若点Ai(i,ai)(i=0,1,2)的位置如图所示,则a=________.解析:由题意知A0(0,1),A1(1,3),A2(2,4).故a0=1,a1=3,a2=4.由的展开式的通项公式知Tr+1=C(r=0,1,2,…,n).故=3,=4,解得a=3.答案:310.(2022·洛阳模拟)的展开式中各项系数之和为729,则该展开式中x2的系数为________.解析:依题意,得3n=729,即n=6,二项式的展开式的通项是Tr+1=C·(2x)6-r·=C·26-r·x6-.令6-=2,得r=3.因此,在该二项式的展开式中x25\n的系数是C×26-3=160.答案:16011.已知二项式的展开式中各项的系数和为256.(1)求n;(2)求展开式中的常数项.解:(1)由题意,得C+C+C+…+C=256,即2n=256,解得n=8.(2)该二项展开式中的第r+1项为Tr+1=C()8-r·=C·x,令=0,得r=2,此时,常数项为T3=C=28.12.已知(a2+1)n展开式中各项系数之和等于的展开式的常数项,而(a2+1)n展开式的二项式系数最大的项等于54,求a的值.解:由,得Tr+1=C=·C·x.令Tr+1为常数项,则20-5r=0,所以r=4,所以常数项T5=C×=16.又(a2+1)n展开式的各项系数之和等于2n.由题意得2n=16,所以n=4.由二项式系数的性质知,(a2+1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3,所以Ca4=54,所以a=±.1.(2022·枣庄模拟)若(x+y)9按x的降幂排列的展开式中,第二项不大于第三项,且x+y=1,xy<0,则x的取值范围是( )A.B.C.D.(1,+∞)解析:选D.二项式(x+y)9的展开式的通项是Tr+1=C·x9-r·yr.依题意,有5\n由此得解之得x>1,即x的取值范围为(1,+∞).2.(2022·河南省八校联考)若(2x-3)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a1+2a2+3a3+4a4+5a5等于________.解析:在已知等式两边对x求导,得5(2x-3)4×2=a1+2a2x+3a3x2+4a4x3+5a5x4,令x=1,得a1+2a2+3a3+4a4+5a5=5×(2×1-3)4×2=10.答案:103.设(3x-1)8=a8x8+a7x7+…+a1x+a0,求:(1)a8+a7+…+a1;(2)a8+a6+a4+a2+a0.解:令x=0得a0=1.(1)令x=1得(3-1)8=a8+a7+…+a1+a0,①所以a8+a7+…+a1=28-a0=256-1=255.(2)令x=-1得(-3-1)8=a8-a7+a6-…-a1+a0,②由①+②得28+48=2(a8+a6+a4+a2+a0),所以a8+a6+a4+a2+a0=(28+48)=32896.4.已知f(x)=(3+3x2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项;(2)求展开式中系数最大的项.解:(1)令x=1,则二项式各项系数的和为f(1)=(1+3)n=4n,又展开式中各项的二项式系数之和为2n,由题意知,4n-2n=992.所以(2n)2-2n-992=0,所以(2n+31)(2n-32)=0,所以2n=-31(舍去)或2n=32,所以n=5.由于n=5为奇数.所以展开式中二项式系数最大的项为中间两项,它们分别是T3=C(x)3(3x2)2=90x6,T4=C(x)2(3x2)3=270x.(2)展开式中的通项为Tr+1=C3r·x(5+2r).假设Tr+1项系数最大,则有5\n所以所以所以≤r≤.因为r∈N,所以r=4,所以展开式中系数最大的项为T5=Cx·(3x2)4=405x.5
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高考 - 一轮复习
发布时间:2022-08-25 16:57:24
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文章作者:U-336598
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