备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合

突破2概率与统计的综合1.第31届世界大学生夏季运动会（简称“成都大运会”）于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关知识，营造良好的赛事氛围，某学校举行“大运会百科知识”答题活动，并随机抽取了20名学生，他们的答题得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示（分组区间为[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]）.（1）求频率分布直方图中a的值及这20名学生得分的80％分位数；（2）若从样本中任选2名得分在[50，70）内的学生，求这2人中恰有1人的得分在[60，70）内的概率.解析　（1）由频率分布直方图知（2a＋0.020＋0.025＋0.035）×10＝1，所以a＝0.010.设80％分位数为x，由题图可知前3组的频率之和为0.65，前4组的频率之和为0.9，所以x∈[80，90），且x＝80＋0.8－0.650.9－0.65×10＝86.故这20名学生得分的80％分位数为86.（2）由已知可得得分在[50，60）内的学生人数为0.01×10×20＝2，得分在[60，70）内的学生人数为0.02×10×20＝4.解法一（列举法）　记得分在[50，60）内的学生为a，b，得分在[60，70）内的学生为c，d，e，f.则所有的样本点为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，{c，d}，{c，e}，{c，f}，{d，e}，{d，f}，{e，f}，共15个.其中恰有1人的得分在[60，70）内的样本点为{a，c}，{a，d}，{a，e}，{a，f}，{b，c}，{b，d}，{b，e}，{b，f}，共8个.故这2人中恰有1人的得分在[60，70）内的概率P＝815.解法二（排列组合法）　从这6人中任选2人，所有基本事件种数为C62＝15，满足题意的基本事件种数为C41C21＝8，故这2人中恰有1人的得分在[60，70）内的概率P＝815.2.在高三一轮复习中，大单元复习教学法日渐受到老师们的喜爱，为了检验这种复习方法的效果，在A，B两所学校的高三年级用数学科目进行了对比测试.已知A校采用大单元复习教学法，B校采用传统的复习教学法.在经历两个月的实践后举行了考试，现从A，B两校高三年级各随机抽取100名学生，统计他们的数学成绩（满分150分）在各个分数段对应的人数如下表所示：[0，90）[90，110）[110，130）[130，150]A校6145030B校14263822 （1）若把数学成绩不低于110分评定为数学成绩优秀，低于110分评定为数学成绩不优秀，完成2×2列联表，并根据小概率值α＝0.01的独立性检验，分析复习教学法与评定结果是否有关；单位：人数学成绩不优秀数学成绩优秀总计A校B校总计（2）在A校抽取的100名学生中按分层随机抽样的方法从成绩在[0，90）和[90，110）内的学生中随机抽取10人，再从这10人中随机抽取3人进行访谈，记抽取的3人中成绩在[0，90）内的人数为X，求X的分布列与数学期望.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d.α0.100.010.001xα2.7066.63510.828解析　（1）由题意完成2×2列联表如下：单位：人数学成绩不优秀数学成绩优秀总计A校2080100B校4060100总计60140200零假设为H0：复习教学法与评定结果无关.则χ2＝200×（20×60－40×80）260×140×100×100≈9.524＞6.635＝x0.01，故根据小概率值α＝0.01的独立性检验，推断H0不成立，即认为复习教学法与评定结果有关，此推断犯错误的概率不大于0.01.（2）按分层随机抽样的方法从成绩在[0，90）和[90，110）内的学生中随机抽取10人，则成绩在[0，90）内的人数为3，成绩在[90，110）内的人数为7，故X的所有可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝C30C73C103＝724，P（X＝1）＝C31C72C103＝2140，P（X＝2）＝C32C71C103＝740，P（X＝3）＝C33C70C103＝1120.故X的分布列为X0123P72421407401120E（X）＝0×724＋1×2140＋2×740＋3×1120＝910. 3.[2024广西玉林模拟]2023年5月10日，长征七号遥七运载火箭剑指苍穹，搭载天舟六号货运飞船为中国空间站运送补给物资，为中国空间站的航天员们长时间探索宇宙奥秘提供强有力的后援支持.5月30日，神舟十六号发射成功.在“神箭”“神舟”的护送下，景海鹏、朱杨柱、桂海潮3名中国航天员顺利进入太空，开启为期5个月的太空科研之旅.某校部分学生十分关注中国空间站的发展，若将累计关注中国空间站发展的消息6次及以上者称为“航天达人”，未达到6次者称为“非航天达人”.现从该校随机抽取200人进行分析，得到数据如下表所示：单位：人航天达人非航天达人合计男8040120女305080合计11090200（1）依据小概率值α＝0.01的