备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破1概率统计中的开放性与决策问题命题点1概率中的开放性与决策问题

突破1　概率、统计中的开放性与决策问题命题点1　概率中的开放性与决策问题例1[2023重庆二模]近期，某网络平台开展了一项有奖闯关活动，并根据难度对每一关进行赋分，闯关活动共五关，规定：上一关不通过则不能进入下一关；本关第一次未通过有再挑战一次的机会，两次均未通过，则闯关失败.每次闯关相互独立.已知甲、乙、丙三人都参加了该项活动.（1）若甲第一关、第二关通过的概率分别为34，23，求甲可以进入第三关的概率.（2）已知该闯关活动参赛者的累计得分服从正态分布，且满分为450分，现要根据得分给2500名参赛者中得分前400名发放奖励.①假设该闯关活动平均分数为171分，351分以上共有57人，已知甲的得分为270分，问甲能否获得奖励.并说明理由.②丙得知他的分数为430分，乙告诉丙：“这次闯关活动平均分数为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.附：若随机变量X～N（μ，σ2），则P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈0.9545，P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈0.9973.解析　（1）设Ai为第i次通过第一关，Bi为第i次通过第二关，其中i＝1，2，甲可以进入第三关的概率为P.由题意知P＝P（A1B1）＋P（A1A2B1）＋P（A1B1B2）＋P（A1A2B1B2）＝P（A1）P（B1）＋P（A1）P（A2）P（B1）＋P（A1）P（B1）P（B2）＋P（A1）P（A2）P（B1）P（B2）＝34×23＋（1－34）×34×23＋34×（1－23）×23＋（1－34）×34×（1－23）×23＝56.（2）设此次闯关活动参赛者的累计得分为X，X～N（μ，σ2）.①由题意可知μ＝171，因为572500＝0.0228，且P（X＞μ＋2σ）＝1－P（μ－2σ≤X≤μ+2σ）2≈1－0.95452≈0.0228，所以μ＋2σ≈351，则σ＝351－1712＝90.而4002500＝0.16，且P（X＞261）＝P（X＞μ＋σ）＝1－P（μ－σ≤X≤μ＋σ）2≈1－0.68272≈0.1587＜0.16，所以前400名参赛者的最低得分低于261分，又甲的得分为270分，所以甲能够获得奖励.②假设乙所说信息为真，则μ＝201，P（X＞μ＋2σ）＝1－P（μ－2σ≤X≤μ+2σ）2≈1－0.95452≈0.0228，而572500＝0.0228，所以σ＝351－2012＝75，从而μ＋3σ＝201＋3×75＝426＜430，而P（X＞μ＋3σ）＝1－P（μ－3σ≤X≤μ+3σ）2≈1－0.99732≈0.0014＜0.005，所以X＞μ＋3σ为小概率事件，即丙的分数为430分是小概率事件，可认为其不可能发生，但却发生了，所以可认为乙所说信息为假. 训练1[2023湖南长沙雅礼中学模拟]某学校为了减轻同学们的学习压力，班上决定进行一次减压游戏.班主任把8个小球（只是颜色不同，其他无任何区别）放入一个袋子里，其中白色球与黄色球各3个，红色球与绿色球各1个.现甲、乙两位同学进行摸球得分比赛，摸到白色球每个记1分，黄色球每个记2分，红色球每个记3分，绿色球每个记4分，摸球人得分不低于8分为胜，否则为负.并规定如下：①一人摸球，另一人不摸球.②摸出的球不放回.③摸球的人先从袋子中摸出1个球，若摸出的是绿色球，则再从袋子里摸出2个球；若摸出的不是绿色球，则再从袋子里摸出3个球，摸球人的得分为两次摸出的球的记分之和.（1）若由甲摸球，甲先摸出了绿色球，求该局甲获胜的概率；（2）若由乙摸球，乙先摸出了红色球，求该局乙得分ξ的分布列和数学期望E（ξ）；（3）有同学提出比赛不公平，提出你的看法，并说明理由.解析　（1）记“甲第一次摸出了绿色球，甲获胜”为事件A，则P（A）＝C11C61＋C32C72＝921＝37.（2）如果乙第一次摸出红色球，则可以再从袋子里摸出3个球，得分情况有：6分，7分，8分，9分，10分，11分.P（ξ＝6）＝C33C73＝135，P（ξ＝7）＝C32·C31C73＝935，P（ξ＝8）＝C31·C32C73＝935，P（ξ＝9）＝C32·C11C73＋C33C73＝435，P（ξ＝10）＝C31·C31·C11C73＝935，P（ξ＝11）＝C32·C11C73＝335，所以ξ的分布列为ξ67891011P135935935435935335所以ξ的数学期望E（ξ）＝6×135＋7×935＋8×935＋9×435＋10×935＋11×335＝607.（3）由第（1）问知，若先摸出了绿色球，则摸球人获胜的概率为p1＝37.由第（2）问知，若先摸出了红色球，则摸球人获胜的概率为p2＝9+4+9+335＝57.若先摸出了黄色球，则摸球人获胜的概率为p3＝C11C62＋C22C11＋C21C31C11C73＝2235.若先摸出了白色球，则摸球人获胜的概率为p4＝C11（C62－C22）＋C32C11C73＝1735.故摸球人获胜的概率为P＝18×37＋18×57＋38×2235＋38×1735＝157280.因为摸球人获胜的概率P＝157280＞12，所以比赛不公平.