备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破1概率统计中的开放性与决策问题

突破1概率、统计中的开放性与决策问题1.[2024河南名校模拟]在实施乡村振兴的进程中，某地政府引领广大农户发展特色农业，种植优良品种柑橘.现在实验基地中种植了相同数量的A，B两种柑橘.为了比较A，B两种柑橘品种的优劣，在柑橘成熟后随机选取A，B两种柑橘各100株，并根据株产量X（单位：kg）绘制了如图所示的频率分布直方图（数据分组为[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90），[90，95]）.（1）求a，b的值；（2）将频率当作概率，在所有柑橘中随机抽取一株，求其株产量不低于80kg的概率；（3）求两种柑橘株产量平均数的估计值（同一组数据中的平均数用该组区间的中点值作为代表），并从产量角度分析，哪个品种的柑橘更好？说明理由.解析　（1）由题中A品种柑橘的频率分布直方图可知，0.01×2+0.03+a+0.06+0.05×5=1，解得a＝0.04.由题中B品种柑橘的频率分布直方图可知，（0.05＋0.06＋b＋0.03＋0.01×2）×5＝1，解得b＝0.04.（2）A品种柑橘株产量不低于80kg的频率为（0.04＋0.06＋0.05）×5＝0.75，B品种柑橘株产量不低于80kg的频率为（0.03＋0.01＋0.01）×5＝0.25，故200株柑橘中株产量不低于80kg的频率为0.75×100+0.25×100100+100＝0.5，所以在所有柑橘中随机抽取一株，其株产量不低于80kg的概率为0.5.（3）设A品种柑橘株产量平均数的估计值为MA，则MA＝（0.01×67.5＋0.01×72.5＋0.03×77.5＋0.04×82.5＋0.06×87.5＋0.05×92.5）×5＝84.5.设B品种柑橘株产量平均数的估计值为MB，则MB＝（0.05×67.5＋0.06×72.5＋0.04×77.5＋0.03×82.5＋0.01×87.5＋0.01×92.5）×5＝75.5.A品种的柑橘更好.理由一　A品种柑橘的株产量平均数的估计值大于B品种柑橘的株产量平均数的估计值，故A品种的柑橘更好.理由二　由（2）可知，A品种柑橘株产量不低于80kg的占比为75％，B品种柑橘株产量不低于80kg的占比为25％，故A品种的柑橘更好.（注：答案不唯一，有道理的答案均给分） 2.[2023广东一模]某商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放10个大小相同的小球，其中5个为红色，5个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球.如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同为中奖，两个小球颜色不同为不中奖.（1）若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数X的分布列和数学期望.（2）若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数Y的分布列和数学期望.（3）如果你是商场老板，如何在上述两问的两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由.解析　（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为C52＋C52C102＝49，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数X服从二项分布，即X～B（2，49），所以X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝C20×（49）0×（59）2＝2581，P（X＝1）＝C21×（49）1×（59）1＝4081，P（X＝2）＝C22×（49）2×（59）0＝1681，所以X的分布列为X012P258140811681X的数学期望E（X）＝2×49＝89.（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数Y的所有可能取值为0，1，2，则P（Y＝0）＝C51C51C102×C41C41C82＝2063，P（Y＝1）＝C52＋C52C102×C31C51C82＋C51C51C102×C42＋C42C82＝1021，P（Y＝2）＝C52＋C52C102×C32＋C52C82＝1363，所以Y的分布列为Y012P206310211363所以Y的数学期望E（Y）＝0×2063＋1×1021＋2×1363＝89. （3）由上面分析可知，（1）（2）两问中奖次数的数学期望相等，第（1）问抽奖方式中两次奖的概率比第（2）问小，即1681＜1363，第（1）问抽奖方式不中奖的概率比第（2）问小，即2581＜2063.回答一：若商场老板希望中两次奖的顾客多，产生宣传效应，则选择按第（2）问方式进行抽奖.回答二：若商场老板希望中奖的顾客多，则选择按第（1）问方式进行抽奖.（注：答案不唯一，选择符合商场老板的预期即可）3.甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局.已知每局比赛甲赢乙的概率为15，甲赢丙的概率为14，丙赢乙的概率为13.因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者，每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束.（1）若甲指定第一局由乙丙比赛，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；（2）请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大.解析　（1）若甲指定第一局由乙丙比赛，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为23×15×14＝130；②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为13×14×15＝160.所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为130＋160＝120.（2）若第一局由甲乙比赛，则甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜，甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜，乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜.所以第一局由甲乙比赛时，甲获得冠军的概率为15×14＋15×34×23×15＋45×13×14×15＝112.若第一局由甲丙比赛，则思路同上，可得甲获得冠军的概率为14×15＋14×45×13×14＋34×23×15×14＝11120.若第一局由乙丙比赛，则甲获得冠军只能是甲在第二、三局连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果120.因为11120＞112＞120，所以第一局甲应指定自己和丙比赛，使得甲最终获得冠军的概率最大.4.[2024山东枣庄模拟]某企业拥有甲、乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样的方法从两条生产线上共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：mm），得到如下统计表，其中尺寸位于[55，58）内的零件为一等品，位于[54，55）内和[58，59）内的零件为二等品，否则为三等品. 生产线[53，54）[54，55）[55，56）[56，57）[57，58）[58，59）[59，60]甲49232824102乙214151716151（1）完成下列2×2列联表，依据小概率值α＝0.05的独立性检验，能否认为零件为一等品与生产线有关联？单位：个一等品非一等品合计甲乙合计（2）将样本的频率视为概率，从甲、乙两条生产线中分别随机抽取2个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这4个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望E（ξ）.（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用.现对一箱零件随机检验了10个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.附：χ2＝n（ad－bc）2（a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d），其中n＝a＋b＋c＋d；x0.05＝3.841.解析　（1）由题意得列联表如下：单位：个一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180零假设为H0：零件为一等品与生产线没有关联.χ2＝180×（75×32－48×25）2123×57×100×80≈4.621.因为4.621＞3.841＝x0.05，所以依据小概率值α＝0.05的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为零件为一等品与生产线有关联.（2）由已知得任取一个甲生产线零件为一等品的概率为75100＝34，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为4880＝35.ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4.P（ξ＝0）＝14×14×25×25＝1100， P（ξ＝1）＝C21×14×34×（25）2＋C21×25×35×（14）2＝9100，P（ξ＝2）＝（34）2×（25）2＋（14）2×（35）2＋C21×14×34×C21×25×35＝117400，P（ξ＝3）＝（34）2×C21×25×35＋C21×14×34×（35）2＝81200，P（ξ＝4）＝（34）2×（35）2＝81400，所以ξ的分布列为ξ01234P110091001174008120081400E（ξ）＝0×1100＋1×9100＋2×117400＋3×81200＋4×81400＝2710.（3）由已知得，每个零件为三等品的频率为4+2+2+1180＝120，设余下的50个零件中的三等品个数为X，则X～B（50，120），所以E（X）＝50×120＝52.设整箱检验费用与赔偿费用之和为Y元，若不对余下的所有零件进行检验，则Y＝10×5＋120X，E（Y）＝50＋120×E（X）＝50＋120×52＝350（元）.若对余下的所有零件进行检验，则总检验费用为60×5＝300（元）.因为350＞300，所以应对该箱余下的所有零件进行检验.