备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破1概率统计中的开放性与决策问题命题点2统计中的开放性与决策问题

命题点2　统计中的开放性与决策问题例2[全国卷Ⅱ]下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，17）建立模型①：y=-30.4+13.5t；根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1，2，…，7）建立模型②：y＝99＋17.5t.（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由.解析　（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝－30.4＋13.5×19＝226.1（亿元）.利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y＝99＋17.5×9＝256.5（亿元）.（2）利用模型②得到的预测值更可靠.理由如下：（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠.（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠.说明：以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.训练2某医生计划购买某种品牌的电动牙刷，预计使用寿命为5年，该电动牙刷的刷头在使用过程中需要更换.若购买该品牌电动牙刷的同时购买刷头，则每个刷头20 元；若单独购买刷头，则每个刷头30元.某经销商随机调查了使用该品牌电动牙刷的100名医生在5年使用期内更换刷头的个数，得到下表：更换刷头的个数14151617181920频数881024281210用n（n∈N）表示1个该品牌电动牙刷在5年使用期内需更换刷头的个数，y表示购买刷头的费用（单位：元）.（1）求这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数；（2）若购买1个该品牌电动牙刷的同时购买了18个刷头，求y关于n的函数解析式；（3）假设这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头或18个刷头，分别计算这100名医生购买刷头费用的平均数，以此作为决策依据，判断购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头还是18个刷头.解析　（1）由题可知8＋8＋10＋24＝50，所以这100名医生在5年使用期内更换刷头的个数的中位数为17+182＝17.5.（2）当n≤18时，y＝360，当n＞18时，y＝360＋30（n－18）＝30n－180，所以y关于n的函数解析式为y＝360，n≤18，30n－180，n>18，n∈N.（3）若100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了17个刷头，则其中有50名医生购买刷头的费用均为340元，28名医生购买刷头的费用均为370元，12名医生购买刷头的费用均为400元，10名医生购买刷头的费用均为430元，因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为1100×（50×340＋28×370＋12×400＋10×430）＝364.6（元）.若这100名医生购买1个该品牌电动牙刷的同时都购买了18个刷头，则其中有78名医生购买刷头的费用均为360元，12名医生购买刷头的费用均为390元，10名医生购买刷头的费用均为420元，因此这100名医生购买刷头的费用的平均数为1100×（78×360＋12×390＋10×420）＝369.6（元）.因为364.6＜369.6，所以购买1个该品牌电动牙刷的同时应购买17个刷头.