2023高考数学统考一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第3节随机事件的概率教师用书教案理新人教版202303081181
资源预览文档简介为自动调取,内容显示的完整度及准确度或有误差,请您下载后查看完整的文档内容。
随机事件的概率[考试要求] 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义及频率与概率的区别.2.了解两个互斥事件的概率加法公式.1.事件的相关概念2.频率与概率的关系在相同的条件下,大量重复进行同一试验时,随机事件A发生的频率fn(A)=会在某个常数附近摆动,则把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.3.事件的关系与运算名称定义符号表示包含关系如果事件A发生,则事件B一定发生,这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)相等事件若B⊇A,且A⊇B,则称事件A与事件B相等A=B并(和)事件若某事件发生当且仅当事件A或事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A+B)交(积)事件若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生,则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)互斥事件若A∩B为不可能事件,则称事件A与事件B互斥A∩B=∅对立事件若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,那么称事件A与事件B互为对立事件A∩B=∅且A∪B=U(U为全集)4.概率的基本性质(1)任何事件A的概率都在[0,1]内,即0≤P(A)≤1,不可能事件的概率为0,必然事件Ω的概率为1.\n(2)如果事件A,B互斥,则P(A∪B)=P(A)+P(B).(3)事件A与它的对立事件的概率满足P(A)+P()=1.如果事件A1,A2,…,An两两互斥,则称这n个事件互斥,其概率有如下公式:P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)事件发生的频率与概率是相同的.( )(2)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值.( )(3)两个事件的和事件发生是指两个事件都得发生.( )(4)对立事件一定是互斥事件,互斥事件不一定是对立事件.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√二、教材习题衍生1.一个人打靶时连续射击两次,事件“至少有一次中靶”的对立事件是( )A.至多有一次中靶 B.两次都中靶C.只有一次中靶D.两次都不中靶D [“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”.]2.容量为20的样本数据,分组后的频数如下表:分组[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)频数234542则样本数据落在区间[10,40)的频率为( )A.0.35B.0.45C.0.55D.0.65B [由表知[10,40)的频数为2+3+4=9,所以样本数据落在区间[10,40)的频率为=0.45.]3.如果从不包括大、小王的52张扑克牌中随机抽取一张,取到黑桃的概率是,取到梅花的概率是,则取到红色牌的概率是. [P=1-=.]4.一个地区从某年起几年之内的新生婴儿数及其中的男婴数如下:时间范围1年内2年内3年内4年内\n新生婴儿数n554496071352017190男婴数m2883497069948892这一地区男婴出生的概率约是.(保留四位小数)0.5173 [男婴出生的频率依次约是:0.5200,0.5173,0.5173,0.5173.由于这些频率非常接近0.5173,因此这一地区男婴出生的概率约为0.5173.]考点一 事件关系的判断 判断互斥、对立事件的两种方法(1)定义法:判断互斥事件、对立事件一般用定义判断,不可能同时发生的两个事件为互斥事件;两个事件,若有且仅有一个发生,则这两事件为对立事件,对立事件一定是互斥事件.(2)集合法:①由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集,则事件互斥.②事件A的对立事件所含的结果组成的集合,是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集.1.从装有两个白球和两个黄球的口袋中任取2个球,以下给出了四组事件:①至少有1个白球与至少有1个黄球;②至少有1个黄球与都是黄球;③恰有1个白球与恰有1个黄球;④恰有1个白球与都是黄球.其中互斥而不对立的事件共有( )A.0组B.1组C.2组D.3组B [①中“至少有1个白球”与“至少有1个黄球”可以同时发生,如恰有1个白球和1个黄球,①中的两个事件不是互斥事件.②中“至少有1个黄球”说明可以是1个白球和1个黄球或2个黄球,则两个事件不互斥.③中“恰有1个白球”与“恰有1个黄球”,都是指有1个白球和1个黄球,因此两个事件是同一事件.④中两事件不能同时发生,也可能都不发生,因此两事件是互斥事件,但不是对立事件,故选B.]2.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是( )A.至多有一张移动卡B.恰有一张移动卡C.都不是移动卡D.至少有一张移动卡A [“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡,一张联通卡”,“两张全是联通卡”\n两个事件,它是“2张全是移动卡”的对立事件.]3.口袋里装有1红,2白,3黄共6个形状相同的小球,从中取出两个球,事件A=“取出的两个球同色”,B=“取出的两个球中至少有一个黄球”,C=“取出的两个球中至少有一个白球”,D=“取出的两个球不同色”,E=“取出的两个球中至多有一个白球”.下列判断中正确的序号为.①A与D为对立事件;②B与C是互斥事件;③C与E是对立事件;④P(C∪E)=1;⑤P(B)=P(C).①④ [当取出的两个球中一黄一白时,B与C都发生,②不正确;当取出的两个球中恰有一个白球时,事件C与E都发生,③不正确;显然A与D是对立事件,①正确;C∪E为必然事件,P(C∪E)=1,④正确;P(B)=,P(C)=,⑤不正确.]点评:判断含有“至多、至少”等关键词的事件关系,可先借助枚举法分析每个事件包含的基本事件,然后再借助定义做出判断.考点二 随机事件的频率与概率 1.概率与频率的关系频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小,有时也用频率来作为随机事件概率的估计值.2.随机事件概率的求法利用概率的统计定义求事件的概率,即通过大量的重复试验,事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数,这个常数就是概率.[典例1] 某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.[解] \n(1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶,当且仅当最高气温低于25,由表格数据知,最高气温低于25的频率为=0.6,所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率的估计值为0.6.(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时,若最高气温不低于25,则Y=6×450-4×450=900;若最高气温位于区间[20,25),则Y=6×300+2×(450-300)-4×450=300;若最高气温低于20,则Y=6×200+2×(450-200)-4×450=-100.所以,Y的所有可能值为900,300,-100.Y大于零当且仅当最高气温不低于20,由表格数据知,最高气温不低于20的频率为=0.8,因此Y大于零的概率的估计值为0.8.点评:求解本例第(2)问的关键是读懂题设条件,并从中提取信息,明确一天销售这种酸奶的利润Y与气温变化的关系.1.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1534石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷28粒,则这批米内夹谷约为( )A.134石B.169石C.338石D.1365石B [×1534≈169(石).]2.某险种的基本保费为a(单位:元),继续购买该险种的投保人称为续保人,续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下:上年度出险次数01234≥5保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况,得到如下统计表:出险次数01234≥5频数605030302010(1)记A为事件:“一续保人本年度的保费不高于基本保费”,求P(A)的估计值;(2)记B为事件:“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”,求P(B)的估计值;(3)求续保人本年度平均保费的估计值.[解] (1)事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知,一年内出险次数小于2的频率为=0.55,故P(A)的估计值为0.55.\n(2)事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知,一年内出险次数大于1且小于4的频率为=0.3,故P(B)的估计值为0.3.(3)由所给数据得保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a频率0.300.250.150.150.100.05调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30+a×0.25+1.25a×0.15+1.5a×0.15+1.75a×0.10+2a×0.05=1.1925a.因此,续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.考点三 互斥事件与对立事件的概率 复杂事件的概率的两种求法(1)直接求法,将所求事件分解为一些彼此互斥的事件,运用互斥事件的概率求和公式计算.(2)间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A)=1-P()求解(正难则反),特别是“至多”“至少”型题目,用间接求法就比较简便.[典例2] 一盒中装有12个球,其中5个红球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求:(1)取出1球是红球或黑球的概率;(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率.[解] 法一:(利用互斥事件求概率)记事件A1={任取1球为红球},A2={任取1球为黑球},A3={任取1球为白球},A4={任取1球为绿球},则P(A1)=,P(A2)==,P(A3)==,P(A4)=,根据题意知,事件A1,A2,A3,A4彼此互斥,由互斥事件的概率公式,得(1)取出1球是红球或黑球的概率为P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)=+=.(2)取出1球是红球或黑球或白球的概率为P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.法二:(利用对立事件求概率)(1)由法一知,取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球,即A1+A2的对立事件为A3+A4,所以取出1球为红球或黑球的概率为P(A1\n+A2)=1-P(A3+A4)=1-P(A3)-P(A4)=1--=.(2)因为A1+A2+A3的对立事件为A4,所以P(A1+A2+A3)=1-P(A4)=1-=.点评:求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系,以及把所求事件用已知概率的事件表示出来.1.若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15,则不用现金支付的概率为( )A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7B [由题意知不用现金支付的概率为1-0.45-0.15=0.4.]2.某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求:(1)P(A),P(B),P(C);(2)1张奖券的中奖概率;(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.[解] (1)P(A)=,P(B)==,P(C)==.故事件A,B,C的概率分别为,,.(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设“1张奖券中奖”这个事件为M,则M=A∪B∪C.∵A,B,C两两互斥,∴P(M)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)==,故1张奖券的中奖概率约为.(3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N,则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件,∴P(N)=1-P(A∪B)=1-=,故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
版权提示
- 温馨提示:
- 1.
部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
- 2.
本文档由用户上传,版权归属用户,莲山负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
- 3.
下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
- 4.
下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服vx:lianshan857处理。客服热线:13123380146(工作日9:00-18:00)