2023高考数学统考一轮复习第10章计数原理概率随机变量及其分布第6节n次独立重复试验与二项分布教师用书教案理新人教版202303081184
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n次独立重复试验与二项分布[考试要求] 1.了解条件概率的概念,了解两个事件相互独立的概念.2.理解n次独立重复试验的模型及二项分布,并能解决一些简单问题.1.条件概率条件概率的定义条件概率的性质设A,B为两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率(1)0≤P(B|A)≤1;(2)如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)2.事件的相互独立性(1)定义:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)·P(B),则称事件A与事件B相互独立.(2)性质:①若事件A与B相互独立,则P(B|A)=P(B),P(A|B)=P(A).②如果事件A与B相互独立,那么A与,与B,与也相互独立.3.独立重复试验与二项分布(1)独立重复试验在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验,其中Ai(i=1,2,…,n)是第i次试验结果,则P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An).(2)二项分布在n次独立重复试验中,用X表示事件A发生的次数,设每次试验中事件A发生的概率为p,则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.牢记并理解事件中常见词语的含义(1)A,B中至少有一个发生的事件为A∪B;(2)A,B都发生的事件为AB;(3)A,B都不发生的事件为;\n(4)A,B恰有一个发生的事件为A∪B;(5)A,B至多一个发生的事件为A∪B∪.一、易错易误辨析(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)相互独立事件就是互斥事件.( )(2)若事件A,B相互独立,则P(B|A)=P(B).( )(3)公式P(AB)=P(A)P(B)对任意两个事件都成立.( )(4)二项分布是一个概率分布列,是一个用公式P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n表示的概率分布列,它表示了n次独立重复试验中事件A发生的次数的概率分布.( )[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√二、教材习题衍生1.在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2道题,则在第1次抽到文科题的条件下,第2次抽到理科题的概率为( )A.B.C.D.D [根据题意,在第1次抽到文科题后,还剩4道题,其中有3道理科题,则第2次抽到理科题的概率P=,故选D.]2.两个实习生每人加工一个零件,加工成一等品的概率分别为和,两个零件中能否被加工成一等品相互独立,则这两个零件中恰好有一个一等品的概率为( )A.B.C.D.B [因为两人加工成一等品的概率分别为和,且相互独立,所以两个零件中恰好有一个一等品的概率P=×+×=.]3.如果某一批玉米种子中,每粒发芽的概率均为,那么播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率是( )A.B.C.D.A [用X表示发芽的粒数,则X~B,则P(X=3)=C×3×=,故播下5粒这样的种子,恰有2粒不发芽的概率为.]\n4.一批产品的二等品率为0.02,从这批产品中每次随机抽取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品的件数,则X服从二项分布,记作.X~B(100,0.02) [根据题意,X~B(100,0.02).]考点一 条件概率 求条件概率的两种方法(1)利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)=,这是求条件概率的通法.(2)借助古典概型概率公式,先求事件A包含的基本事件数n(A),再求事件A与事件B的交事件中包含的基本事件数n(AB),得P(B|A)=.1.从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A=“取到的2个数之和为偶数”,事件B=“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)=( )A. B. C. D.B [法一(直接法):P(A)===,P(AB)==.由条件概率计算公式,得P(B|A)===.法二(缩小样本空间法):事件A包括的基本事件:(1,3),(1,5),(3,5),(2,4)共4个.事件AB发生的结果只有(2,4)一种情形,即n(AB)=1.故由古典概型概率P(B|A)==.]2.有一批种子的发芽率为0.9,出芽后的幼苗成活率为0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长为幼苗的概率为.0.72 [设“种子发芽”为事件A,“种子成长为幼苗”为事件AB(发芽,又成活为幼苗).出芽后的幼苗成活率为P(B|A)=0.8,P(A)=0.9,根据条件概率公式得P(AB)=P(B|A)·P(A)=0.8×0.9=0.72,即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72.]3.一个正方形被平均分成9个部分,向大正方形区域随机地投掷一个点(每次都能投中).设投中最左侧3个小正方形区域的事件记为A,投中最上面3个小正方形或正中间的1个小正方形区域的事件记为B,则P(AB)=,P(A|B)=.\n [如图,n(Ω)=9,n(A)=3,n(B)=4,∴n(AB)=1,∴P(AB)=,P(A|B)==.]点评:判断所求概率为条件概率的主要依据是题目中的“已知”“在…前提下(条件下)”等字眼.第3题中没有出现上述字眼,但已知事件的发生影响了所求事件的概率,也认为是条件概率问题.运用P(AB)=P(B|A)·P(A),求条件概率的关键是求出P(A)和P(AB),要注意结合题目的具体情况进行分析.考点二 相互独立事件的概率 求相互独立事件同时发生的概率的方法(1)首先判断几个事件的发生是否相互独立.(2)求相互独立事件同时发生的概率的方法主要有:①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.②正面计算较繁或难以入手时,可从其对立事件入手计算.[典例1] (1)天气预报在元旦假期甲地的降雨概率是0.2,乙地的降雨概率是0.3.假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响,则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( )A.0.2B.0.3C.0.38D.0.56(2)某乒乓球俱乐部派甲、乙、丙三名运动员参加某运动会的单打资格选拔赛,本次选拔赛只有出线和未出线两种情况.规定一名运动员出线记1分,未出线记0分.假设甲、乙、丙出线的概率分别为,,,他们出线与未出线是相互独立的.①求在这次选拔赛中,这三名运动员至少有一名出线的概率;②记在这次选拔赛中,甲、乙、丙三名运动员的得分之和为随机变量ξ,求随机变量ξ的分布列.(1)C [设甲地降雨为事件A,乙地降雨为事件B,则两地恰有一地降雨为A+B,∴P(A+B)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=0.2×0.7+0.8×0.3=0.38.](2)[解] ①记“甲出线”为事件A,“乙出线”为事件B,“丙出线”为事件C,“甲、乙、丙至少有一名出线”为事件D,\n则P(D)=1-P()=1-××=.②由题意可得,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,则P(ξ=0)=P()=××=;P(ξ=1)=P()+P()+P()=××+××+××=;P(ξ=2)=P(AB)+P(AC)+P(BC)=××+××+××=;P(ξ=3)=P(ABC)=××=.所以ξ的分布列为ξ0123P点评:含有“恰好、至多、至少”等关键词的问题,求解的关键在于正确分析所求事件的构成,将其转化为彼此互斥事件的和或相互独立事件的积,然后利用相关公式进行计算.(2020·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为.(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.[解] (1)甲连胜四场的概率为.(2)根据赛制,至少需要进行四场比赛,至多需要进行五场比赛.比赛四场结束,共有三种情况:甲连胜四场的概率为;乙连胜四场的概率为;丙上场后连胜三场的概率为.\n所以需要进行第五场比赛的概率为1---=.(3)丙最终获胜,有两种情况:比赛四场结束且丙最终获胜的概率为;比赛五场结束且丙最终获胜,则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空结果有三种情况:胜胜负胜,胜负空胜,负空胜胜,概率分别为,,.因此丙最终获胜的概率为+++=.考点三 独立重复试验与二项分布 二项分布的实际应用问题,主要是指与独立重复试验中的概率计算和离散型随机变量的分布列、期望及方差的求解等有关的问题.解题的关键如下:①定型,“独立”“重复”是二项分布的基本特征,“每次试验事件发生的概率都相等”是二项分布的本质特征.判断随机变量是否服从二项分布,要看在一次试验中是否只有两种试验结果,且两种试验结果发生的概率分别为p,1-p,还要看是否为n次独立重复试验,随机变量是否为某事件在这n次独立重复试验中发生的次数.②定参,确定二项分布中的两个参数n和p,即试验发生的次数和试验中事件发生的概率.③列表,根据离散型随机变量的取值及其对应的概率,列出分布列.④求值,根据离散型随机变量的期望和方差公式,代入相应数据求值.相关公式:已知X~B(n,p),则P(X=k)=Cpk(1-p)n-k(k=0,1,2,…,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p). 独立重复试验的概率[典例2-1] (1)位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动:质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位于点(2,3)的概率是.(2)某射手每次射击击中目标的概率是,且各次射击的结果互不影响.①假设这名射手射击5次,求恰有2次击中目标的概率;②假设这名射手射击5次,求有3次连续击中目标,另外2次未击中目标的概率;③假设这名射手射击3次,每次射击,击中目标得1分,未击中目标得0分.在3次射击中,若有2次连续击中,而另外1次未击中,则额外加1分;若3次全击中,则额外加3分.记ξ为射手射击3次后的总分数,求ξ的分布列.\n(1) [由于质点每次移动一个单位,移动的方向为向上或向右,移动五次后位于点(2,3),所以质点P必须向右移动两次,向上移动三次,故其概率为C·=C=.](2)[解] ①设X为射手在5次射击中击中目标的次数,则X~B.在5次射击中,恰有2次击中目标的概率为P(X=2)=C××=.②设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3,4,5),“射手在5次射击中,有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”为事件A,则P(A)=P(A1A2A345)+P(1A2A3A45)+P(12A3A4A5)=×+××+×=.③设“第i次射击击中目标”为事件Ai(i=1,2,3).由题意可知,ξ的所有可能取值为0,1,2,3,6.P(ξ=0)=P(123)==;P(ξ=1)=P(A123)+P(1A23)+P(12A3)=×+××+×=;P(ξ=2)=P(A12A3)=××=;P(ξ=3)=P(A1A23)+P(1A2A3)=×+×=;P(ξ=6)=P(A1A2A3)==.所以ξ的分布列是ξ01236P点评:在求解过程中,本例(2)中②常因注意不到题设条件“有3次连续击中目标,另外2次未击中目标”,盲目套用公式致误;本例(2)中③常因对ξ的取值不明,导致事件概率计算错误.\n 二项分布[典例2-2] 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(490,495],(495,500],…,(510,515].由此得到样本的频率分布直方图(如图).(1)根据频率分布直方图,求质量超过505克的产品数量;(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设X为质量超过505克的产品数量,求X的分布列;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y为质量超过505克的产品数量,求Y的分布列.[解] (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05+5×0.01=0.3,所以质量超过505克的产品数量为40×0.3=12(件).(2)质量超过505的产品数量为12件,则质量未超过505克的产品数量为28件,X的取值为0,1,2,X服从超几何分布.P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,∴X的分布列为X012P(3)根据样本估计总体的思想,取一件产品,该产品的质量超过505克的概率为=.从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看成2次独立重复试验,质量超过505克的件数Y的可能取值为0,1,2,且Y~B,\nP(Y=k)=C,所以P(Y=0)=C·=,P(Y=1)=C··=,P(Y=2)=C·=.∴Y的分布列为Y012P点评:(1)注意随机变量满足二项分布的关键词:①视频率为概率;②人数很多、数量很大等.(2)求概率的过程,就是求排列数与组合数的过程,而在解决具体问题时要做到:①分清②判断事件的运算即是至少有一个发生,还是同时发生,分别运用相加或相乘事件.1.袋子中有1个白球和2个红球.(1)每次取1个球,不放回,直到取到白球为止,求取球次数X的分布列;(2)每次取1个球,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过5次,求取球次数X的分布列;(3)每次取1个球,有放回,共取5次,求取到白球次数X的分布列.[解] (1)X可能取值1,2,3.P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==.所以X分布列为X123P(2)X可能取值为1,2,3,4,5.P(X=k)=×,k=1,2,3,4,P(X=5)=.\n故X分布列为X12345P(3)因为X~B,P(X=k)=C,k=0,1,2,3,4,5.所以X的分布列为X012345P2.某学校用“10分制”调查本校学生对教师教学的满意度,现从学生中随机抽取16名,以茎叶图记录了他们对该校教师教学满意度的分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶):(1)若教学满意度不低于9.5分,则称该生对教师的教学满意度为“极满意”.求从这16人中随机选取3人,至少有1人是“极满意”的概率;(2)以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据,若从该校所有学生中(学生人数很多)任选3人,记X表示抽到“极满意”的人数,求X的分布列及数学期望.[解] (1)设Ai表示所抽取的3人中有i个人是“极满意”,至少有1人是“极满意”记为事件A,则P(A)=1-P(A0)=1-=.(2)X的所有可能取值为0,1,2,3,由已知得X~B,∴P(X=0)==,P(X=1)=C××=,P(X=2)=C××=,P(X=3)==.∴X的分布列为X0123P\n∴E(X)=3×=.
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