备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破2概率与统计的综合命题点2概率与回归分析综合

命题点2　概率与回归分析综合例2[2023湖北荆荆宜三校联考]近年来，我国大学生毕业人数呈逐年上升趋势，各省市出台优惠政策鼓励高校毕业生自主创业，以创业带动就业.某市统计了该市其中四所大学2022年毕业生人数及自主创业人数（单位：千人），得到下表：A大学B大学C大学D大学2022年毕业生人数x/千人3456自主创业人数y/千人0.10.20.40.5（1）已知y与x具有较强的线性相关关系，求y关于x的经验回归方程y＝a＋b^x.（2）假设该市政府对选择自主创业的大学生每人发放1万元的创业补贴.（i）若该市E大学2022年毕业生人数为7千人，根据（1）的结论估计该市政府要给E大学选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额；（ii）若A大学的毕业生中小明、小红选择自主创业的概率分别为p，2p－1（12＜p＜1），该市政府对小明、小红两人的自主创业的补贴总金额的期望不超过1.4万元，求p的取值范围.参考公式及参考数据：b^＝∑i=1n（xi－x－)(yi－y－）∑i=1n（xi－x－）2，a＝y－－b^x－，∑i=14xiyi＝6.1，∑i=14xi2＝86.解析　（1）由题意得x－＝3+4+5+64＝4.5，y－＝0.1+0.2+0.4+0.54＝0.3，b^＝∑i=1n（xi－x)(yi－y）∑i=1n（xi－x）2＝∑i=14xiyi－4x－y－∑i=14xi2－4x－2＝6.1－4×4.5×0.386－4×4.52＝0.14，所以a＝y－－b^x－＝0.3－0.14×4.5＝－0.33.故y关于x的经验回归方程为y＝0.14x－0.33.（2）（i）将x＝7代入（1）中的回归方程，得y＝0.14×7－0.33＝0.65，所以估计该市政府需要给E大学选择自主创业的毕业生发放创业补贴的总金额为0.65×1000×1=650（万元）.（ii）设小明、小红两人中选择自主创业的人数为X，则X的所有可能取值为0，1，2，P（X＝0）＝（1－p）（2－2p）＝2p2－4p＋2，P（X＝1）＝（1－p）（2p－1）＋p（2－2p）＝－4p2＋5p－1，P（X＝2）＝p（2p－1）＝2p2－p，则E（X）＝（2p2－4p＋2）×0＋（－4p2＋5p－1）×1＋（2p2－p）×2＝3p－1≤1.4，得p≤45.因为12＜p＜1，所以12＜p≤45， 故p的取值范围为（12，45].方法技巧概率与回归分析综合问题的解题思路（1）充分利用题目中提供的成对样本数据（散点图）作出判断，确定是线性问题还是非线性问题.求解时要充分利用已知数据，合理利用变形公式，以达到快速准确运算的目的.（2）明确所求问题所属事件的类型，准确构建概率模型解题.训练2某校课题小组为了研究粮食产量与化肥施用量以及与化肥有效利用率间的关系，收集了10组化肥施用量和粮食亩产量的数据，并对这些数据做了初步处理，得到了如图所示的散点图及一些统计量的值.其中每亩化肥施用量为x（单位：千克），粮食亩产量为y（单位：百千克）.∑i=110xiyi∑i=110xi∑i=110yi∑i=110xi2∑i=110tizi∑i=110ti∑i=110zi∑i=110ti265091.552.51478.630.5151546.5表中ti＝lnxi，zi＝lnyi（i＝1，2，…，10）.（1）根据散点图，判断y＝cxd作为粮食亩产量y关于每亩化肥施用量x的经验回归方程类型比较适宜.请根据表中数据，建立y关于x的经验回归方程，并预测每亩化肥施用量为27千克时，粮食亩产量y的值.（预测时取e≈2.7）（2）结合文献可知，当化肥施用量达到一定程度，粮食产量的增长将趋于停滞，已知某化肥有效利用率Z～N（0.54，0.022），那么这种化肥的有效利用率超过56％的概率为多少？附：①对于一组数据（xi，yi）（i＝1，2，3，…，n），其回归直线y^＝b^x＋a^的斜率和截距的最小二乘估计分别为b^＝∑i=1nxiyi－nxy∑i=1nxi2－nx2，a^＝y－b^x；②若随机变量Z～N（μ，σ2），则有P（μ－σ≤Z≤μ＋σ）≈0.6827，P（μ－2σ≤Z≤μ＋2σ）≈0.9545.解析　（1）对y＝cxd两边同时取自然对数，得lny＝dlnx＋lnc，又t＝lnx，z＝lny，所以z＝dt＋lnc.由题表中数据得t＝1.5，z＝1.5，所以d^＝∑i=110tizi－10×t×z∑i=110ti2－10×t 2＝30.5－10×1.5246.5－10×1.52＝13，lnc＝z－d^t＝1，所以c＝e， 所以y关于x的经验回归方程为y＝ex13.当x＝27时，y＝3e≈8.1.（2）根据Z服从正态分布N（0.54，0.022）可知，P（Z＞0.56）＝1－P（0.54－0.02≤Z≤0.54+0.02）2≈1－0.68272＝0.15865，所以这种化肥的有效利用率超过56％的概率为0.15865.