备考2024届高考数学一轮复习分层练习第十章计数原理概率随机变量及其分布第3讲二项式定理

第3讲二项式定理1.[2024河北保定部分示范高中统考]（9x＋8x）5的展开式中含x2的项的系数为（　D　）A.C52×92×83B.C54×9×84C.C51×94×8D.C52×93×82解析　（9x＋8x）5的二项展开式的通项Tr＋1＝C5r（9x）5－r·（8x－12）r＝C5r·95－r·8r·x5－32r，0≤r≤5，r∈N，令5－32r＝2，得r＝2，所以展开式中含x2的项为T2＋1＝C52×93×82x2，其系数为C52×93×82.故选D.2.[2024湖北武汉第四十九中模拟]（1＋x＋x2）（1－x）10的展开式中x5的系数为（　D　）A.120B.135C.－140D.－162解析　（1－x）10展开式的通项为Tr＋1＝C10r（－x）r＝（－1）r·C10rxr.令r＝5，则1×（1－x）10展开式中x5的系数为（－1）5C105＝－252；令r＝4，则x（1－x）10展开式中x5的系数为（－1）4C104＝210；令r＝3，则x2（1－x）10展开式中x5的系数为（－1）3C103＝－120.∴（1＋x＋x2）（1－x）10的展开式中x5的系数为－252＋210－120＝－162.故选D.3.[2024陕西宝鸡金台区统考]若（x－1x）n的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为（　C　）A.第4项B.第5项C.第6项D.第7项解析　由二项式定理可得展开式中第3项与第9项的二项式系数分别为Cn2和Cn8，即Cn2＝Cn8，解得n＝10.因此展开式中二项式系数最大的项为C105x5（－1x）5，是第6项，故选C.4.[2024山东青岛一中统考]若（x＋mx）（x－1x）5的展开式中常数项是10，则m＝（　D　）A.－2B.－1C.1D.2解析　（x＋mx）（x－1x）5＝x（x－1x）5＋mx（x－1x）5.（x－1x）5的展开式的通项为Tr＋1＝C5rx5－r（－1x）r＝C5r·（－1）rx5－2r.令5－2r＝－1，解得r＝3，则x（x－1x）5的展开式的常数项为－C53＝－10，令5－2r＝1，解得r＝2，则mx（x－1x）5的展开式的常数项为mC52＝10m.因为（x＋mx）（x－1x）5的展开式中常数项是10，所以10m－10＝10，解得m＝2，故选D.5.[多选/2024青岛市检测]已知（2x－1x）n的展开式中各二项式系数的和为256，则（　ABD　） A.n＝8B.展开式中x－2的系数为－448C.展开式中常数项为16D.展开式中所有项的系数和为1解析　因为（2x－1x）n的展开式中各二项式系数的和为256，所以2n＝256，解得n＝8，选项A正确；（2x－1x）8的展开式的通项公式为Tk＋1＝C8k（2x）8－k·（－1x）k＝（－1）k28－kC8kx8－2k，令8－2k＝－2，解得k＝5，所以展开式中x－2的系数为（－1）5×23×C85＝－448，所以选项B正确；令8－2k＝0，解得k＝4，所以展开式中常数项为（－1）4×24×C84＝1120，所以选项C错误；令x＝1，得（2x－1x）8＝1，所以展开式中所有项的系数和为1，所以选项D正确.综上，选ABD.6.[多选/2024江苏连云港统考]已知（1－2x）6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，则下列选项正确的是（　AC　）A.a0＝1B.a2＝120C.｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝729D.a1＋a2＋…＋a5＝0解析选项分析过程正误A令x＝0，则1＝a0√B（1－2x）6展开式的通项为Tr＋1＝C6r（－2x）r＝C6r·（－2）rxr，所以令r＝2可得a2＝C62（－2）2＝60✕C当r＝1，3，5时，可得a1，a3，a5＜0，同理可得a0，a2，a4，a6＞0，所以令x＝－1，得36＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6，所以｜a0｜＋｜a1｜＋｜a2｜＋…＋｜a6｜＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝36＝729√D令r＝6，可得a6＝C66（－2）6＝64，由A知a0＝1.令x＝1，则1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6，所以a1＋a2＋…＋a5＝1－64－1＝－64✕7.二项式（2x2－14x）6的展开式的中间项是　－52x3　.解析　二项式展开式的通项为Tk＋1＝C6k（2x2）6－k·（－14x）k＝（－14）k26－kC6kx12－3k，二项式展开式一共有7项，所以第4项为中间项，即k＝3，T4＝（－14）326－3·C63x12－3×3＝－52x3. 8.[2024吉林一中、东北师大附中等校联考]（x2－x＋1）5的展开式中，x5的系数为　-51　.解析　（x2－x＋1）5可以看作5个因式（x2－x＋1）相乘，要想得到含x5的项，可分三种情况：①5个因式中选2个因式取x2，1个因式取－x，2个因式取1；②5个因式中选1个因式取x2，3个因式取－x，1个因式取1；③5个因式中都取－x.所以展开式中含x5的项为C52·（x2）2·C31·（－x）·C22·12＋C51·x2·C43·（－x）3·1＋C55·（－x）5＝－51x5，所以x5的系数为－51.9.[2023湖北十堰6月统考]（2x＋11）10的展开式中系数最大的项是第　10　项.解析　（2x＋11）10展开式的通项为Tr＋1＝C10r·（2x）10－r11r＝C10r·210－r·11r·x10－r，由C10r·210－r·11r≥C10r－1·211－r·11r－1，C10r·210－r·11r≥C10r+1·29－r·11r+1，得10813≤r≤12113，因为r∈N，所以r＝9，故系数最大的项是第10项.10.S＝C271＋C272＋…＋C2727除以9的余数为　7　.解析　依题意S＝C271＋C272＋…＋C2727＝227－1＝89－1＝（9－1）9－1＝C90×99－C91×98＋…＋C98×9－C99－1＝9×（C90×98－C91×97＋…＋C98）－2.∵C90×98－C91×97＋…＋C98是正整数，∴S被9除的余数为7.11.[开放题]写出一个正整数n，使得（1x2＋x）n的展开式中存在常数项，则n可以是　5（答案不唯一，n＝5k，k∈N*均可）　.解析　二项式（1x2＋x）n的展开式的通项Tr＋1＝Cnr·（1x2）n－r·（x）r＝Cnr·x5r－4n2，若该展开式中存在常数项，则方程5r－4n＝0有解，故可取n＝5，r＝4.12.若x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8，则a3＝　－56　.解析　令x＋1＝t，则x＝t－1，所以x8＝a0＋a1（x＋1）＋a2（x＋1）2＋…＋a8（x＋1）8可转化为（t－1）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，即（1－t）8＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a8t8，所以a3＝－C83＝－56.13.（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是（　D　）A.60B.80C.84D.120解析　因为（1＋x）n的展开式的通项Tr＋1＝Cnrxr，所以（1＋x）2＋（1＋x）3＋…＋（1＋x）9的展开式中x2的系数是C22＋C32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92＝C43＋C42＋…＋C92 ＝C53＋C52＋…＋C92＝…＝C93＋C92＝C103＝10×9×83×2×1＝120（组合数性质Cn+1m＝Cnm＋Cnm－1，n，m∈N*，且m≤n的应用）.14.[多选/2024湖南师范大学附中模拟]已知（ax＋1x2）10（a＞0）的展开式的各项系数之和为1024，则展开式中（　BCD　）A.奇数项的二项式系数和为256B.第6项的系数最大C.存在常数项D.有理项共有6项解析　令x＝1，得（a＋1）10＝1024，则a＝1或a＝－3（舍去）.∴（x＋1x2）10的展开式的通项为Tr＋1＝C10r（x）10－r·（1x2）r＝C10rx5－52r.选项分析过程正误A奇数项的二项式系数和为12（C100＋C101＋…＋C1010）＝12×210＝512✕B由题意知展开式共11项，故第6项的系数最大√C令5－52r＝0，解得r＝2，故存在常数项，且常数项为第3项√D当r＝0，2，4，6，8，10时，为有理项，故有理项共有6项√15.（1－x）6（1＋x）4的展开式中x的系数是　－3　.解析　解法一　（1－x）6的展开式的通项为C6m（－x）m＝C6m（－1）mxm2，1+x4的展开式的通项为C4n（x）n＝C4nxn2，则（1－x）6（1＋x）4的展开式的通项为C6m（－1）mC4nxm2＋n2，其中m＝0，1，2，…，6，n＝0，1，2，3，4.令m2＋n2＝1，得m＋n＝2，于是（1－x）6（1＋x）4的展开式中x的系数等于C60·（－1）0·C42＋C61·（－1）1·C41＋C62·（－1）2·C40＝－3.解法二　（1－x）6（1＋x）4＝[（1－x）（1＋x）]4（1－x）2＝（1－x）4（1－2x＋x），于是（1－x）6（1＋x）4的展开式中x的系数为C40·1＋C41·（－1）1·1＝－3.16.[2023成都模拟]（5－3x＋2y）n展开式中不含y的项的系数和为64，则展开式中的常数项为　15625　.解析　（5－3x＋2y）n展开式中不含y的项，即展开式中y的指数为0，即（5－3x）n的展开式，再令x＝1，得（5－3x＋2y）n展开式中不含y的项的系数和为（5－3）n＝64，∴n＝6，由（5－3x＋2y）6＝[5－（3x－2y）]6，得展开式中的常数项为C60×56＝15625. 17.[数学文化]“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律，最早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现.“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就，激发了一批又一批数学爱好者的探究欲望.如图，由“杨辉三角”，下列叙述正确的是（　D　）杨辉三角第0行　　1第1行　1　1第2行1　2　1第3行　　1　3　3　1第4行　1　4　6　4　1第5行1　5　10　10　5　1第6行　　　1　6　15　20　15　6　1第7行　　1　7　21　35　35　21　7　1第8行　1　8　28　56　70　56　28　8　1　︙　　︙A.C32＋C42＋C52＋…＋C92＝120B.第2023行中从左往右第1013个数与第1014个数相等C.记第n行的第i个数为ai，则∑i=1n+12i－1ai＝4nD.第20行中第8个数与第9个数之比为8∶13解析　根据题意，由“杨辉三角”可得，第n行的第r个数为Cnr－1，由此分析选项.选项分析过程正误AC32＋C42＋…＋C92＝C33＋C32＋C42＋…＋C92－1=C103－1＝119✕B第2023行中从左往右第1013个数为C20231012，第1014个数为C20231013，两者不相等✕C记第n行的第i个数为ai，则ai＝Cni－1，则∑i=1n+12i－1×ai＝∑i=1n+12i－1Cni－1×1n－i＋1＝（1＋2）n＝3n✕D第20行中第8个数为C207，第9个数为C208，则两个数的比为C207∶C208＝20！7！×13！∶20！8！×12！＝8∶13√18.[综合创新/多选]设k∈R且k≠0，n≥2，n∈N*，（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则（　BC　）A.∑i=0nai＝2n B.∑i=1nai＝（1＋k）n－1C.∑i=1niai＝nk（1＋k）n－1D.∑i=2ni2ai＝2n（n－1）k2（1＋k）n－2解析　对于A，在（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中令x＝1，得∑i=0nai＝（1＋k）n，故A错误；对于B，在（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn中令x＝0得a0＝1，所以∑i=1nai＝（1＋k）n－1，故B正确；对于C，（1＋kx）n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn两边同时求导，得nk（1＋kx）n－1＝a1＋2a2x＋…＋nanxn－1　（*），令x＝1得∑i=1niai＝nk（1＋k）n－1，故C正确；对于D，（*）式两边同时求导得nk2（n－1）（1＋kx）n－2＝2a2＋6a3x＋…＋n（n－1）anxn－2，令x＝1，得∑i=2ni（i－1）ai＝nk2（n－1）（1＋k）n－2，所以∑i=2ni2ai＝∑i=2ni（i－1）ai＋∑i=2niai＝nk2（n－1）（1＋k）n－2＋nk（1＋k）n－1－a1＝nk（nk＋1）（1＋k）n－2－k，（由对B的分析得a1＝k）故D不正确.综上所述，故选BC.