备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第4讲简单的三角恒等变换

第4讲简单的三角恒等变换1.[2023黑龙江鹤岗一中模拟]已知tan（π－α）＝－2，则11+cos2α＝（　D　）A.23B.34C.45D.56解析　因为tan（π－α）＝－2，所以tanα＝2，则11+cos2α＝sin2α＋cos2αsin2α+2cos2α＝tan2α+1tan2α+2＝4+14+2＝56，故选D.2.若θ为锐角，cos（θ＋π4）＝－210，则tanθ＋1tanθ＝（　B　）A.1225B.2512C.247D.724解析　因为cos（θ＋π4）＝cosθcosπ4－sinθsinπ4＝22（cosθ－sinθ）＝－210，所以cosθ－sinθ＝－15.解法一　因为sin2θ＋cos2θ＝1且有0＜θ＜π2，所以sinθ＝45，cosθ＝35，所以tanθ＝sinθcosθ＝43，所以tanθ＋1tanθ＝43＋34＝2512，故选B.解法二　将cosθ－sinθ＝－15两边平方，整理得1－2sinθcosθ＝125，所以sinθcosθ＝1225，所以tanθ＋1tanθ＝sinθcosθ＋cosθsinθ＝sin2θ＋cos2θsinθcosθ＝1sinθcosθ＝2512，故选B.3.[2024四川成都新都一中模拟]sin50°1－cos80°3cos10°的值为（　C　）A.63B.64C.66D.62解析　sin50°1－cos80°3cos10°＝2sin50°·sin40°3cos10°＝2cos40°·sin403cos10°＝2sin80°23cos10°＝66，故选C.4.[数学文化]魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率π约等于355113，和真正的值相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破.若已知π的近似值还可以表示成4sin52°，则1－2cos27°π16－π2的值为（　A　）A.－18B.－8C.8D.18解析　将π≈4sin52°代入1－2cos27°π16－π2，可得1－2cos27°4sin52°16－16sin252°＝－cos14°16sin52°cos52°＝－cos14°8sin104°＝－cos14°8sin（90°+14°）＝－cos14°8cos14°＝－18.5.[浙江高考]若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos（π4＋α）＝13，cos（π4－β2）＝33，则cos（α＋β2）＝（　C　）A.33B.－33C.539D.－69解析　不难发现α＋β2＝（π4＋α）－（π4－β2）.注意到0＜α＜π2，则π4＜α＋π4＜3π4，所以sin（π4＋α）＝1－（13）2＝223. 又－π2＜β＜0，所以0＜－β2＜π4，所以π4＜π4－β2＜π2，所以sin（π4－β2）＝1－（33）2＝63，从而cos（α＋β2）＝cos[（π4＋α）－（π4－β2）]＝cos（π4＋α）cos（π4－β2）＋sin（π4＋α）sin（π4－β2）＝13×33＋223×63＝539.6.[2024浙江联考]已知2sinα－sinβ＝3，2cosα－cosβ＝1，则cos（2α－2β）＝（　D　）A.－18B.154C.14D.－78解析　由题可得，（2sinα－sinβ）2＝3，（2cosα－cosβ）2＝1，即4sin2α－4sinαsinβ＋sin2β＝3，4cos2α－4cosαcosβ＋cos2β＝1，两式相加可得4－4sinαsinβ－4cosαcosβ＋1＝4，即cosαcosβ＋sinαsinβ＝14，故cos（α－β）＝14，cos（2α－2β）＝2cos2（α－β）－1＝2×116－1＝－78.故选D.7.[2024广东阳江模拟]已知α∈（0，π），若3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，则sin（α－π12）＝（　C　）A.22B.32C.6＋24D.6－24解析　∵3（sinα＋sin2α）＋cosα－cos2α＝0，∴3sinα＋cosα＝cos2α－3sin2α，∴sin（α＋π6）＝sin（π6－2α），∴α＋π6＝π6－2α＋2kπ或α＋π6＋π6－2α＝2kπ＋π，k∈Z，即α＝2kπ3或α＝－（6k+2）π3，k∈Z，又α∈（0，π），∴α＝2π3，∴sin（α－π12）＝sin（2π3－π12）＝sin7π12＝sin（π3＋π4）＝sinπ3cosπ4＋cosπ3sinπ4＝6＋24，故选C.8.已知cos4α－sin4α＝23，且α∈（0，π2），则sin2α＝　53　，cos（2α＋π3）＝　2－156　.解析　∵cos4α－sin4α＝（sin2α＋cos2α）（cos2α－sin2α）＝cos2α＝23，又α∈（0，π2），∴2α∈（0，π），∴sin2α＝1－cos22α＝53，cos（2α＋π3）＝12cos2α－32sin2α＝12×23－32×53＝2－156.9.[2023湖南张家界模拟]已知锐角α满足1＋3tan80°＝1sinα，则α＝　50°　.解析　1＋3tan80°＝sin80°＋3cos80°sin80°＝2sin（80°+60°）sin80°＝2sin140°2sin40°cos40°＝2sin40°2sin40°cos40°＝1cos40°＝1sin50°＝1sinα，则sinα＝sin50°.因为α为锐角，所以α＝50°.10.化简并求值.（1）3－4sin20°+8sin320°2sin20°sin480°；（2）（1cos280°－3cos210°）·1cos20°.解析　（1）原式＝3－4sin20°（1－2sin220°）2sin20°sin480°＝3－4sin20°cos40°2sin20°sin480°＝2sin（20°+40°）－4sin20°cos40°2sin20°sin480°＝2sin（40°－20°）2sin20°sin480°＝1sin480°＝1sin120°＝233. （2）原式＝（cos10°－3cos80°)(cos10°＋3cos80°）cos280°cos210°cos20°＝（cos10°－3sin10°)(cos10°＋3sin10°）cos280°cos210°cos20°＝4cos70°cos50°cos280°cos210°cos20°＝4sin20°sin40°sin210°cos210°cos20°＝32sin220°cos20°sin220°cos20°＝32.11.设θ∈R，则“0＜θ＜π3”是“3sinθ＋cos2θ＞1”的（　A　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件解析　3sinθ＋cos2θ＞1⇔3sinθ＞1－cos2θ＝2sin2θ⇔（2sinθ－3）sinθ＜0⇔0＜sinθ＜32.当0＜θ＜π3时，0＜sinθ＜32；当0＜sinθ＜32时，2kπ＜θ＜π3＋2kπ，k∈Z或2π3＋2kπ＜θ＜π＋2kπ，k∈Z.所以0＜θ＜π3是3sinθ＋cos2θ＞1的充分不必要条件.故选A.12.已知tanα＝13，tanβ＝－17，且α，β∈（0，π），则2α－β＝（　C　）A.π4B.π4或5π4C.－3π4D.π4或5π4或－3π4解析　∵tanα＝13＞0，且α∈（0，π），∴α∈（0，π2），2α∈（0，π），∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－（13）2＝34＞0，∴2α∈（0，π2）.∵tanβ＝－17＜0，且β∈（0，π），∴β∈（π2，π），∴2α－β∈（－π，0），又tan（2α－β）＝tan2α－tanβ1+tan2αtanβ＝34－（－17）1+34×（－17）＝1，∴2α－β＝－3π4.13.[2023武汉模拟]f（x）满足：∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x1－x2＜0.a＝sin7°sin83°，b＝tan8°1+tan28°，c＝cos25π24－12，则f（a）a，f（b）b，f（c）c的大小顺序为（　C　）A.f（a）a＜f（b）b＜f（c）cB.f（a）a＜f（c）c＜f（b）bC.f（b）b＜f（c）c＜f（a）aD.f（c）c＜f（a）a＜f（b）b解析　a＝sin7°sin83°＝sin7°cos7°＝12sin14°，b＝tan8°1+tan28°＝sin8°cos8°cos28°＋sin28°＝12sin16°，c＝cos25π24－12＝12cos5π12＝12sinπ12＝12sin15°，∴a＜c＜b.由题知，∀x1，x2∈（0，1）且x1≠x2，都有x2f（x1）－x1f（x2）x1－x2＜0，两边同时除以x1x2得f（x1）x1－f（x2）x2x1－x2＜0，∴y＝f（x）x在（0，1）上单调递减，∴f（b）b＜f（c）c＜f（a）a. 14.[多选]已知tan（α＋β）＝tanα＋tanβ，其中α≠nπ2（n∈Z）且β≠mπ2（m∈Z），则下列结论一定正确的是（　AD　）A.sin（α＋β）＝0B.cos（α＋β）＝1C.sin2α2＋sin2β2＝1D.sin2α＋cos2β＝1解析　由条件得tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝tanα＋tanβ（α≠nπ2（n∈Z）且β≠mπ2（m∈Z）），从而得到tanα＋tanβ＝0，所以α＝kπ－β，k∈Z，即α＋β＝kπ，k∈Z，所以sin（α＋β）＝0，故A正确；对于B选项，cos（α＋β）＝coskπ＝±1，故B错误；对于C选项，sin2α2＋sin2β2＝sin2（kπ2－β2）＋sin2β2，当k为偶数时，sin2α2＋sin2β2＝sin2β2＋sin2β2＝2sin2β2，故C错误；对于D选项，sin2α＋cos2β＝sin2（kπ－β）＋cos2β＝sin2β＋cos2β＝1，所以D正确.15.如图，在平面直角坐标系xOy中，以x轴正半轴为始边的锐角α与钝角β的终边与单位圆分别交于点A，B，x轴正半轴与单位圆交于点M，已知S△OAM＝55，点B的纵坐标是210.（1）求cos（α－β）的值；（2）求2α－β的值.解析　（1）由题意，｜OA｜＝｜OM｜＝1，∵S△OAM＝12｜AO｜·｜OB｜·sinα＝12sinα＝55，且α为锐角，∴sinα＝255，cosα＝55，又点B的纵坐标是210，且β为钝角，∴sinβ＝210，cosβ＝－7210，∴cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝55×（－7210）＋255×210＝－1010.（2）∵cos2α＝2cos2α－1＝2×（55）2－1＝－35，sin2α＝2sinαcosα＝2×255×55＝45，∴2α∈（π2，π），∵β∈（π2，π），∴2α－β∈（－π2，π2）.∵sin（2α－β）＝sin2αcosβ－cos2αsinβ＝45×（－7210）－（－35）×210＝－22，∴2α－β＝－π4.16.[情境创新/2023盐城模拟]已知由sin2x＝2sinxcosx，cos2x＝2cos2x－1，cos3x＝cos（2x＋x）可推得三倍角余弦公式cos3x＝4cos3x－3cosx，已知cos54°＝sin36°，结合三倍角余弦公式和二倍角正弦公式可得sin18°＝　5－14　；如图，已知五角星ABCDE是由边长为2的正五边形GHIJK和五个全等的等腰三角形组成的，则HE·HG＝　5＋5　. 解析　因为cos54°＝cos（90°－36°）＝sin36°，所以4cos318°－3cos18°＝2sin18°·cos18°，即4cos218°－3＝2sin18°，即4（1－sin218°）－3＝2sin18°，即4sin218°＋2sin18°－1＝0，因为0＜sin18°＜1，所以sin18°＝－2+4+168＝5－14.在五角星ABCDE中，EG＝EI，HG＝HI，HE＝HE，故△EHG≌△EHI，又正五边形中每个内角均为108°，从而可得∠HEG＝12∠CEB＝18°，∠EHG＝12∠IHG＝54°，过点H作HM⊥BE，垂足为点M，如图，则∠GHM＝18°，于是cos∠GHM＝HMGH，从而有HM＝GHcos∠GHM＝2cos18°，于是EH＝HMsin∠HEG＝2cos18°sin18°，所以HE·HG＝｜HE｜·｜HG｜cos54°＝2×2cos18°sin18°×sin36°＝8cos218°＝8－8sin218°＝8－8×（5－14）2＝8－（3－5）＝5＋5.