备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1.若θ∈（π2，π），则1－2sin（π＋θ）sin（3π2－θ）＝（　A　）A.sinθ－cosθB.cosθ－sinθC.±（sinθ－cosθ）D.sinθ＋cosθ解析　1－2sin（π＋θ）sin（3π2－θ）＝1－2sinθcosθ＝（sinθ－cosθ）2＝｜sinθ－cosθ｜，因为θ∈（π2，π），所以sinθ－cosθ＞0，所以原式＝sinθ－cosθ.故选A.2.[2024北大附中模拟]在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，若sinα＝45，则cosβ＝（　B　）A.－45B.45C.－35D.35解析　因为平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于直线y＝x对称，所以α＋β2＝π4＋kπ，k∈Z，即α＋β＝π2＋2kπ，k∈Z，所以β＝π2－α＋2kπ，k∈Z，因为sinα＝45，所以cosβ＝cos（π2－α＋2kπ）＝sinα＝45（k∈Z），故选B.3.[2024江西联考]已知sin（α＋π3）＝－14，则cos（α＋5π6）＝（　B　）A.－14B.14C.154D.±154解析　因为sin（α＋π3）＝－14，所以cos（α＋5π6）＝cos[（α＋π3）＋π2]＝－sin（α＋π3）＝14，故选B.4.[2024内蒙古包头模拟]若tanα＝2，则sinα（sinα＋cosα）＝（　D　）A.25B.35C.45D.65解析　sinα（sinα＋cosα）＝sin2α＋sinαcosαsin2α＋cos2α＝tan2α＋tanαtan2α+1＝22+222+1＝65.故选D.5.[2023湖南衡阳模拟]已知θ为第三象限角，且tan（π2－θ）＝43，则cos（θ＋π2）＝（　C　）A.－45B.－35C.35D.45解析　tan（π2－θ）＝sin（π2－θ）cos（π2－θ）＝cosθsinθ＝43，即3cosθ＝4sinθ，∵θ为第三象限角，∴sinθ＜0，cosθ＜0，又sin2θ＋cos2θ＝1，∴sinθ＝－35，cosθ＝－45，∴cos（θ＋π2）＝－sinθ＝35.故选C.6.[2023深圳光明区一模]已知α为第一象限角，cos（α＋10°）＝13，则tan（170°－α）＝（　A　）A.－22B.22C.－2D.2 解析　因为α为第一象限角，且cos（α＋10°）＝13＞0，所以α＋10°为第一象限角，所以sin（α＋10°）＝1－cos2（α+10°）＝1－（13）2＝223，可得tan（α＋10°）＝sin（α+10°）cos（α+10°）＝22，则tan（170°－α）＝tan[180°－（α＋10°）]＝－tan（α＋10°）＝－22.故选A.7.[多选]在△ABC中，下列结论正确的是（　ABC　）A.sin（A＋B）＝sinCB.sinB＋C2＝cosA2C.tan（A＋B）＝－tanC（C≠π2）D.cos（A＋B）＝cosC解析　在△ABC中，有A＋B＋C＝π，则sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sinC，A正确.sinB＋C2＝sin（π2－A2）＝cosA2，B正确.tan（A＋B）＝tan（π－C）＝－tanC（C≠π2），C正确.cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cosC，D错误.故选ABC.8.[2023四川省资阳市模拟]在△ABC中，3sin（π2－A）＝3sin（π－A），cosA＝－3cos（π－B），则△ABC为　直角　三角形.解析　在△ABC中，由3sin（π2－A）＝3sin（π－A），得3cosA＝3sinA，即tanA＝33，又A∈（0，π），∴A＝π6，又cosA＝－3cos（π－B），∴32＝3cosB，即cosB＝12，又B∈（0，π），∴B＝π3，∴C＝π－π6－π3＝π2，∴△ABC为直角三角形.9.已知sinθ＋cosθ＝15，θ∈（0，π），则tanθ＝　－43　；2sinθcosθ+2sin2θ1－tanθ＝　24175　.解析　因为sinθ＋cosθ＝15，θ∈（0，π），所以（sinθ＋cosθ）2＝1＋2sinθcosθ＝125，所以sinθcosθ＝－1225＜0，所以sinθ＞0，cosθ＜0.由sinθ＋cosθ＝15，sin2θ＋cos2θ=1，得25sin2θ－5sinθ－12＝0，解得sinθ＝45或sinθ＝－35（舍去），所以sinθ＝45，cosθ＝－35，所以tanθ＝－43.（或sinθ－cosθ＞0，（sinθ－cosθ）2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθcosθ＝1＋2425＝4925，则sinθ－cosθ＝75，由sinθ＋cosθ＝15，sinθ－cosθ＝75，得sinθ＝45，cosθ＝－35，所以tanθ＝－43）解法一　2sinθcosθ+2sin2θ1－tanθ＝2sinθ（cosθ＋sinθ）1－sinθcosθ＝2sinθcosθ（cosθ＋sinθ）cosθ－sinθ＝－2425×15－75＝24175.解法二　2sinθcosθ＋2sin2θ＝2sinθcosθ+2sin2θsin2θ＋cos2θ＝2tanθ+2tan2θtan2θ+1＝2×（－43）+2×（－43）2（－43）2+1＝825，故2sinθcosθ+2sin2θ1－tanθ＝8251－（－43）＝24175. 10.设f（x）＝asin（πx＋α）＋bcos（πx＋β），其中a，b，α，β都是非零实数，若f（2024）＝1，则f（2025）＝（　D　）A.1B.2C.0D.－1解析　f（2024）＝asin（2024π＋α）＋bcos（2024π＋β）＝asinα＋bcosβ＝1，f（2025）＝asin（2025π＋α）＋bcos（2025π＋β）＝asin（π＋α）＋bcos（π＋β）＝－asinα－bcosβ＝－（asinα＋bcosβ）＝－1.故选D.11.[数学探索/2023河南部分学校联考]“黑洞”是时光曲率大到光都无法从其事件视界逃脱的天体，在数学中也有这种神秘的“黑洞”现象.数字串是由一串数字组成的，如：743258….任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新的数字串.重复以上步骤，最后会得到一个反复出现的数字串，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字串设为α，则cos（απ3＋2π3）＝（　C　）A.32B.－32C.12D.－12解析　任取数字2023，经过第一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，所以“数字黑洞”为123，即α＝123，则cos（απ3＋2π3）＝cos（123π3＋2π3）＝cos（41π＋2π3）＝cos（π＋2π3）＝－cos2π3＝cosπ3＝12，故选C.12.已知－π＜α＜0，且满足.从①sinα＝55，②cosα＋sinα＝－55，③tanα＝－2这三个条件中选择一个合适的，补充在上面的横线上，然后解答以下问题.（1）求cosα－sinα的值；（2）若角β的终边与角α的终边关于y轴对称，求cosβ＋sinβcosβ－sinβ的值.解析　方案一　选择条件②.（1）由cosα＋sinα＝－55，得（cosα＋sinα）2＝15，则2sinαcosα＝－45＜0.又－π＜α＜0，所以sinα＜0，cosα＞0，所以cosα－sinα＞0，所以cosα－sinα＝1－2cosαsinα＝1+45＝355.（2）由题意得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以cosβ＋sinβcosβ－sinβ＝－cosα＋sinα－cosα－sinα＝－35555＝－3.方案二　选择条件③.（1）因为tanα＝－2＜0，且－π＜α＜0，所以sinα＝－2cosα＜0.又sin2α＋cos2α＝1，所以sinα＝－255，cosα＝55， 所以cosα－sinα＝355.（2）由题可得cosβ＝－cosα，sinβ＝sinα，所以cosβ＋sinβcosβ－sinβ＝－55－255－55＋255＝－3.（注：若选择条件①，由－π＜α＜0，得sinα＜0，与sinα＝55矛盾，故条件①不符合题意.）