第四章　§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式

成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期§4.2　同角三角函数基本关系式及诱导公式考试要求　1.理解同角三角函数的基本关系式sin2α＋cos2α＝1，＝tanα.2.掌握诱导公式，并会简单应用．知识梳理1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1.(2)商数关系：＝tanα.2．三角函数的诱导公式公式一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα口诀奇变偶不变，符号看象限常用结论同角三角函数的基本关系式的常见变形sin2α＝1－cos2α＝(1＋cosα)(1－cosα)；cos2α＝1－sin2α＝(1＋sinα)(1－sinα)；(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα.思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)使sin(π＋α)＝－sinα成立的条件是α为锐角．(　×　)(2)若sin(kπ－α)＝(k∈Z)，则sinα＝.(　×　)(3)若α，β为锐角，则sin2α＋cos2β＝1.(　×　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(4)若α∈R，则tanα＝恒成立．(　×　)教材改编题1．若cosα＝，α∈，则tanα等于(　　)A．－B.C．－2D．2答案　C解析　由已知得，sinα＝－＝－＝－，所以tanα＝＝－2.2．若sinα＋cosα＝，则sinαcosα等于(　　)A．－B．－C.D．2答案　B解析　因为sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝，即sin2α＋cos2α＋2sinαcosα＝，即1＋2sinαcosα＝，所以sinαcosα＝－.3．化简·cos(2π－α)的结果为．答案　sinα解析　原式＝·cosα＝sinα.题型一　同角三角函数基本关系例1　(1)(多选)已知θ∈(0，π)，sinθ＋cosθ＝，则下列结论正确的是(　　)成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期A．θ∈B．cosθ＝－C．tanθ＝－D．sinθ－cosθ＝答案　AD解析　因为sinθ＋cosθ＝，①所以(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ＝，则2sinθcosθ＝－，因为θ∈(0，π)，所以sinθ>0，cosθ<0，所以θ∈，故A正确；所以(sinθ－cosθ)2＝1－2sinθcosθ＝，所以sinθ－cosθ＝，②故D正确；由①②联立可得，sinθ＝，cosθ＝－，故B错误；所以tanθ＝＝－，故C错误．(2)已知cosα＝－，则13sinα＋5tanα＝.答案　0解析　∵cosα＝－<0且cosα≠－1，∴α是第二或第三象限角．①若α是第二象限角，则sinα＝＝＝，∴tanα＝＝＝－.此时13sinα＋5tanα＝13×＋5×＝0.②若α是第三象限角，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期则sinα＝－＝－＝－，∴tanα＝＝＝，此时，13sinα＋5tanα＝13×＋5×＝0.综上，13sinα＋5tanα＝0.(3)已知tanα＝2，则＝；sin2α＋cos2α＝.答案　　解析　因为tanα＝2，所以＝＝＝.sin2α＋cos2α＝·＋·＝·＋·＝×＋×＝.思维升华　(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.跟踪训练1　(1)(2023·苏州模拟)已知＝5，则cos2α＋sin2α等于(　　)A.B．－C．－3D．3答案　A解析　由＝5，得＝5，可得tanα＝2，则cos2α＋sin2α＝cos2α＋sinαcosα成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝＝＝.(2)若α∈(0，π)，sin(π－α)＋cosα＝，则sinα－cosα的值为(　　)A.B．－C.D．－答案　C解析　由诱导公式得，sin(π－α)＋cosα＝sinα＋cosα＝，所以(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，则2sinαcosα＝－<0，因为α∈(0，π)，所以sinα>0，所以cosα<0，所以sinα－cosα>0，因为(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝，所以sinα－cosα＝.题型二　诱导公式例2　(1)已知x∈R，则下列等式恒成立的是(　　)A．sin(3π－x)＝－sinxB．sin ＝－cos C．cos＝sin3xD．cos＝－sin2x答案　D解析　sin(3π－x)＝sin(π－x)＝sinx，sin ＝sin＝cos ，cos＝cos＝－sin3x，cos＝－sin2x.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期(2)已知sin＝，且0<x<，则sin－cos的值为．答案　解析　∵0<x<，∴<－x<，∴cos＝＝.∴sin＝sin＝cos＝，cos＝cos＝－cos＝－.∴sin－cos＝.思维升华　诱导公式的两个应用(1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了；(2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了．跟踪训练2　(1)若＝，则tanα等于(　　)A.B．－C．－D.答案　D解析　因为＝，所以＝，所以＝，解得tanα＝.(2)已知cos＝，则sin的值为(　　)A.B．－C.D．－答案　C解析　由cos＝，得sin＝sin＝cos＝.成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期题型三　同角三角函数基本关系式和诱导公式的综合应用例3　(1)(2022·聊城模拟)已知α为锐角，且2tan(π－α)－3cos＋5＝0，tan(π＋α)＋6sin(π＋β)－1＝0，则sinα的值是(　　)A.B.C.D.答案　C解析　由已知得消去sinβ，得tanα＝3，∴sinα＝3cosα，代入sin2α＋cos2α＝1，化简得sin2α＝，又α为锐角，∴sinα>0，则sinα＝.(2)已知－π<x<0，sin(π＋x)－cosx＝－.则＝.答案　－解析　由已知得，sinx＋cosx＝，两边平方得sin2x＋2sinxcosx＋cos2x＝，整理得2sinxcosx＝－.因为(sinx－cosx)2＝1－2sinxcosx＝，由－π<x<0知，sinx<0，又2sinxcosx＝－<0，所以cosx>0，所以sinx－cosx<0，故sinx－cosx＝－.所以＝＝成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝＝－.思维升华　(1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形．(2)注意角的范围对三角函数值符号的影响．跟踪训练3　(1)(2023·衡水模拟)已知sin＋cos(π－α)＝sinα，则2sin2α－sinαcosα等于(　　)A.B.C.D．2答案　D解析　由诱导公式可得，sinα＝sin＋cos(π－α)＝－2cosα，所以tanα＝－2.因此，2sin2α－sinαcosα＝＝＝＝2.(2)已知sin＝，其中α∈，则cos＝，sin＝.答案　－　－解析　方法一　令t＝α－，所以sint＝，α＝t＋，所以cos＝cos＝cos＝－sint＝－.因为α∈，所以α－∈，所以sin＝，所以sin＝sin2成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期＝2sincos＝2××＝－.方法二　因为sin＝，所以cos＝cos＝sin＝sin＝sin＝sin＝－sin＝－.以下同方法一．课时精练1．sin1620°等于(　　)A．0B.C．1D．－1答案　A解析　由诱导公式，sin1620°＝sin(180°＋4×360°)＝sin180°＝0.2．(2023·济南模拟)已知α∈，cos＝，则tanα等于(　　)A．－B.C．－D.答案　A解析　由已知条件得cos＝－sinα＝，即sinα＝－，∵α∈，∴cosα＝＝＝，成套的课件成套的教案成套的试题成套的微专题尽在高中数学同步资源大全QQ群552511468也可联系微信fjmath加入百度网盘群4000G一线老师必备资料一键转存自动更新永不过期 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