高考数学总复习 4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式 新人教B版

4-2同角三角函数的基本关系及诱导公式基础巩固强化1.(文)若cosα＝－，<α<π，则tanα＝(　　)A.　　　B.　　　C．－　　　D．－[答案]　C[解析]　依题意得，sinα＝，tanα＝＝－，选C.(理)已知cosα＝，α∈(－，0)，则sinα＋cosα等于(　　)A.B．－C．－D.[答案]　A[解析]　由于cosα＝，α∈(－，0)，所以sinα＝－，所以sinα＋cosα＝，故选A.2．已知cos＝，则sin2α＝(　　)A．－B.C．－D.[答案]　A[解析]　sin2α＝cos＝cos2＝2cos2－1＝2×2－1＝－.3．已知sin10°＝a，则sin70°等于(　　)A．1－2a2B．1＋2a2C．1－a2D．a2－1[答案]　A[解析]　由题意可知，sin70°＝cos20°＝1－2sin210°＝1－2a2，故选A.4．(2011·天津模拟)若cos(2π－α)＝且α∈(－，0)，则sin(π－α)＝(　　)10\nA．－B．－C．－D．±[答案]　B[解析]　∵cos(2π－α)＝，∴cosα＝，∵α∈(－，0)，∴sinα＝－，∴sin(π－α)＝sinα＝－.5．(2011·杭州二检)若a＝(，sinα)，b＝(cosα，)，且a∥b，则锐角α＝(　　)A．15°B．30°C．45°D．60°[答案]　C[解析]　依题意得×－sinαcosα＝0，即sin2α＝1.又α为锐角，故2α＝90°，α＝45°，选C.6．已知α∈，cosα＝，则tan2α等于(　　)A．－B.C．－D.[答案]　A[解析]　∵－<α<0，cosα＝，∴sinα＝－＝－，∴tanα＝＝－，∴tan2α＝＝－，故选A.7．已知tan(＋α)＝，则＝________.[答案]　－[解析]　∵tan(＋α)＝，∴tanα＝tan[(＋α)－]＝＝－，10\n则＝＝tanα－＝－.8．(2012·唐山二模)若3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，则cos2θ＋sin2θ的值是________．[分析]　利用诱导公式可将条件式化简得到sinθ＝kcosθ(或tanθ＝k)结合sin2θ＋cos2θ＝1可求得sinθ与cosθ代入待求值式可获解(或将待求式除以1＝sin2θ＋cos2θ，分子分母都化为tanθ的表示式获解)．[答案]　[解析]　∵3cos(－θ)＋cos(π＋θ)＝0，即3sinθ－cosθ＝0，即tanθ＝.∴cos2θ＋sin2θ＝＝＝＝＝＝.[点评]　形如asinα＋bcosα和asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α的式子分别称为关于sinα、cosα的一次齐次式和二次齐次式．若已知tanα＝m，求涉及它们的三角式的值时，常作①1的代换，②sinα＝mcosα代入，③选择题常用直角三角形法求解，④所给式是分式时，常用分子、分母同除以coskα(k＝1,2，…)变形．9．(文)设α是第三象限角，tanα＝，则cos(π－α)＝________.[答案]　[解析]　∵α为第三象限角，tanα＝，∴cosα＝－，∴cos(π－α)＝－cosα＝.(理)若sin＝，则tan2x等于________．[答案]　4[解析]　sin＝－cos2x＝sin2x－cos2x＝，10\n又sin2x＋cos2x＝1，∴∴tan2x＝＝4.10．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且tanA＝，cosB＝.(1)求tanC的值；(2)若△ABC最长的边为1，求b.[解析]　(1)∵cosB＝>0，∴B为锐角，sinB＝＝∴tanB＝＝.∴tanC＝tan[π－(A＋B)]＝－tan(A＋B)＝－＝－＝－1.(2)由(1)知C为钝角，所以C是最大角，所以最大边为c＝1∵tanC＝－1，∴C＝135°，∴sinC＝.由正弦定理：＝得，b＝＝＝.能力拓展提升11.(2011·绵阳二诊)已知tanθ>1，且sinθ＋cosθ<0，则cosθ的取值范围是(　　)A．(－，0)B．(－1，－)C．(0，)D．(，1)[答案]　A[解析]　如图，依题意结合三角函数线进行分析可知，2kπ＋<θ<2kπ＋，k∈Z，因此－<cosθ<0.选A.10\n12．(文)(2012·大纲全国理，7)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝，则cos2α＝(　　)A．－B．－C.D.[答案]　A[解析]　由sinα＋cosα＝平方得：1＋sin2α＝，即sin2α＝－.又α为第二象限角，∴sinα>0，cosα<0，∴cosα－sinα＝－＝－.∴cos2α＝cos2α－sin2α＝×(－)＝－.故选A.解答本题要注意到sinα±cosα与sinαcosα之间的关系．(理)(2011·湖北联考)已知tanx＝sin(x＋)，则sinx＝(　　)A.B.C.D.[答案]　C[解析]　∵tanx＝sin(x＋)，∴tanx＝cosx，10\n∴sinx＝cos2x，∴sin2x＋sinx－1＝0，解得sinx＝，∵－1≤sinx≤1，∴sinx＝.故选C.13．(2012·银川第一次质检)已知α∈(0，)，sinα＝，则＋tan2α的值为________．[答案]　7[解析]　由题意知，cosα＝＝，cos2α＝1－2sin2α＝，tanα＝＝，tan2α＝＝，因此＋tan2α＝＋＝7.14．(文)(2011·盐城模拟)已知cos(＋α)＝，且－π<α<－，则cos(－α)＝________.[答案]　－[解析]　∵－π<α<－，∴－<＋α<－，∵cos(＋α)＝，∴sin(＋α)＝－，∴cos(－α)＝cos[－(＋α)]＝sin(＋α)＝－.(理)设a＝(cos31°－sin31°)，b＝，c＝，则a、b、c的大小关系为________(从小到大排列)．[答案]　a<b<c[解析]　a＝sin14°，b＝cos231°－sin231°＝cos62°＝sin28°，c＝cos25°＝sin65°，∵y＝sinx在(0°，90°)上单调递增，∴a<b<c.15．已知tan(α＋)＝2，α∈(0，)．(1)求tanα的值；(2)求sin(2α＋)的值．10\n[解析]　(1)∵tan(α＋)＝，tan(α＋)＝2，∴＝2.解得tanα＝.(2)由tanα＝，α∈(0，)，可得sinα＝，cosα＝.因此sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1－2sin2α＝，sin(2α＋)＝sin2αcos＋cos2αsin＝－×－×＝.[点评]　求第(2)问时，可由tanα＝得，sin2α＝＝＝，cos2α＝＝＝，再求sin(2α＋)．16．(文)已知向量a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，α∈，且a⊥b.(1)求sinα的值；(2)求tan的值．[解析]　(1)∵a＝(cosα，1)，b＝(－2，sinα)，且a⊥b.∴a·b＝(cosα，1)·(－2，sinα)＝－2cosα＋sinα＝0.∴cosα＝sinα.∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝.∵α∈，∴sinα＝－.(2)由(1)可得cosα＝－，则tanα＝2.tan＝＝－3.(理)已知向量m＝(－1，cosωx＋sinωx)，n＝(f(x)，cosωx)，其中ω>0，且m⊥n，又函数f(x)的图象任意两相邻对称轴间距为π.(1)求ω的值；(2)设α是第一象限角，且f＝，求的值．10\n[解析]　(1)由题意得m·n＝0，所以，f(x)＝cosωx·(cosωx＋sinωx)＝＋＝sin＋，根据题意知，函数f(x)的最小正周期为3π.又ω>0，所以ω＝.(2)由(1)知f(x)＝sin＋.所以f＝sin＋＝cosα＋＝，解得cosα＝，因为α是第一象限角，故sinα＝，所以，＝＝＝·＝－.1．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A＝2∠B，则等于(　　)A.B.C.D.[答案]　A[解析]　∵A＝2B，∴＝＝＝＝.2．(2011·石家庄质检)已知x∈(，π)，cos2x＝a，则cosx＝(　　)A.B．－10\nC.D．－[答案]　D[解析]　a＝cos2x＝2cos2x－1，∵x∈(，π)，∴cosx<0，∴cosx＝－.3．(2012·广东六校联考)的值为(　　)A．－B．－C.D.[答案]　C[解析]　原式＝＝＝＝＝，故选C.4．(2012·大纲全国文)已知α为第二象限角，sinα＝，则sin2α＝(　　)A．－B．－C.D.[答案]　A[解析]　此题是给值求值题，考查基本关系式、二倍角公式．∵sinα＝，α∈(，π)，∴cosα＝－＝－，∴sin2α＝2sinαcosα＝2××(－)＝－.[点评]　使用同角基本关系式求值时要注意角的范围．5．已知tan140°＝k，则sin140°＝(　　)A.B.C．－D．－[答案]　C[解析]　k＝tan140°＝tan(180°－40°)＝－tan40°，∴tan40°＝－k，∴k<0，sin40°＝－kcos40°，sin140°＝sin(180°－40°)＝sin40°，10\n∵sin240°＋cos240°＝1，∴k2cos240°＋cos240°＝1，∴cos40°＝，∴sin40°＝.6．已知sin＝，则sin＝______.[答案]　[解析]　sin＝cos＝cos＝1－2sin2＝.7．若sin76°＝m，则cos7°＝______.[答案]　[解析]　∵sin76°＝m，∴cos14°＝m，即2cos27°－1＝m，∴cos7°＝.8．设a＝，b＝，c＝cos81°＋sin99°，将a、b、c用“<”号连接起来________．[答案]　b<c<a[解析]　a＝＝＝sin140°，b＝＝＝sin35.5°＝sin144.5°，c＝sin60°cos81°＋cos60°sin81°＝sin141°，∵y＝sinx在(90°，180°)内单调递减，∴a>c>b.10