全国统考2023版高考数学大一轮复习第4章三角函数解三角形第1讲三角函数的基本概念同角三角函数的基本关系与诱导公式2备考试题文含解析20230327150

第四章　三角函数、解三角形第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式1.[2021江西红色七校联考]“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的(　　)A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.[2021蓉城名校联考]已知tan(α+π2)=-12,则2sinα+cosαcosα-sinα=(　　)A.-4B.4C.5D.-53.[2021陕西百校联考]已知α是第四象限角,且sin(α+π4)=35,则tan(α-π4)=(　　)A.16B.13C.-43D.234.[2020重庆市二检]已知点P(sin2π3,cos2π3)落在角θ的终边上,且θ∈(0,2π),则θ的值为(　　)A.π3B.2π3C.5π3D.11π65.[2021贵阳市摸底测试]若sin(π-α)=13,且π2≤α≤3π2,则sin2α的值为(　　)A.-429B.-229C.229D.4296.[2020四川五校联考]已知sinα+3cosα=2,则tanα=(　　)A.33B.3C.-33D.-37.[2020合肥市模拟]已知tanα=3,则sin(π2-α)·cos(π2+α)的值为(　　)A.310B.-310C.35D.-358.[2021湖南四校联考]已知sin(θ-π6)=12,且θ∈(0,π2),则cos(θ-π3)=　　　　. 9.[2020长春市第一次质量监测]已知sinα2-cosα2=15,则sinα=　　　　. 10.[2020南昌三模]已知sinα=13,则cos(α-π)tan(π2-α)=　　　　. 11.[2021安徽省示范高中联考]已知α∈(0,π),2sin(π-2α)=cos2α-1,则sinα=(　　)A.15B.55C.-55D.255\n12.[2020长春市第一次质量监测]中国传统扇文化有着极其深厚的文化底蕴.一般情况下,折扇可看作是从一个圆面中沿圆的半径剪下的扇形面制作而成的,设扇形面的面积为S1,圆面中剩余部分的面积为S2,当S1与S2的比值为5-12时,扇面看上去形状较为美观,那么此时扇面的圆心角的弧度数为(　　)A.(3-5)πB.(5-1)πC.(5+1)πD.(5-2)π13.[2020湖北武汉模拟]若角α满足sinα1-cosα=5,则1+cosαsinα=(　　)A.15B.52C.5或15D.514.[2020四川树德中学三模]为了研究钟表与三角函数的关系,建立如图4-1-1所示的平面直角坐标系,设秒针针尖的坐标为P(x,y).若针尖的初始坐标为P0(32,12),当秒针从过点P0的位置(此时t=0)开始走时,点P的纵坐标y与时间t(单位:秒)的函数关系为(　　)A.y=sin(π30t+π6)　　　　　　B.y=sin(-π60t-π6)C.y=sin(-π30t+π6)　　　　　　D.y=sin(-π30t-π3)图4-1-1 答案第四章　三角函数、解三角形第一讲　三角函数的基本概念、同角三角函数的基本关系与诱导公式\n1.A　当θ为第一或第四象限角时,cosθ>0,当θ=2kπ(k∈Z)时,cosθ=1>0,(易错警示:忽略θ的终边在x轴正半轴上的情形)所以“θ为第一或第四象限角”是“cosθ>0”的充分不必要条件,故选A.2.D　因为tan(α+π2)=-1tanα=-12,所以tanα=2,所以2sinα+cosαcosα-sinα=2tanα+11-tanα=2×2+11-2=-5.3.C　由题意,得sin(α+π4)=sin[(α-π4)+π2]=cos(α-π4)=35,因为2kπ+3π2<α<2kπ+2π(k∈Z),所以2kπ+5π4<α-π4<2kπ+7π4(k∈Z).从而sin(α-π4)=-1-cos2(α-π4)=-45,因此tan(α-π4)=sin(α-π4)cos(α-π4)=-43.故选C.4.D　由sin2π3>0,cos2π3<0知角θ是第四象限角.因为tanθ=cos2π3sin2π3=-33,θ∈(0,2π),所以θ=11π6,故选D.5.A　由题意得sin(π-α)=sinα=13,又π2≤α≤3π2,所以cosα=-1-sin2α=-223,所以sin2α=2sinαcosα=2×13×(-223)=-429,故选A.6.A　解法一　由sinα=2-3cosα,sin2α+cos2α=1得4cos2α-43cosα+3=(2cosα-3)2=0,得cosα=32,则sinα=12,所以tanα=sinαcosα=33,故选A.解法二　sinα+3cosα=2(12sinα+32cosα)=2sin(α+π3)=2,故sin(α+π3)=1,可得α+π3=2kπ+π2,k∈Z,即α=2kπ+π6,k∈Z,所以tanα=tan(2kπ+π6)=tanπ6=33,故选A.7.B　解法一　因为tanα=3,所以sin(π2-α)·cos(π2+α)=-cosαsinα=-cosαsinαcos2α+sin2α=-tanα1+tan2α=-310,故选B.解法二　因为tanα=3,所以sinα=3cosα,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=110,所以sin(π2-α)·cos(π2+α)=-cosαsinα=-3cos2α=-310,故选B.8.1　因为θ∈(0,π2),所以θ-π6∈(-π6,π3).由sin(θ-π6)=12,得θ-π6=π6,所以θ=π3,则cos(θ-π3)=cos(π3-π3)=1.9.2425　由题意得(sinα2-cosα2)2=(15)2,整理得1-2sinα2·cosα2=125,即sinα=2425.10.-13　cos(α-π)tan(π2-α)=-cosαsin(π2-α)cos(π2-α)=-sinαcosαcosα=-sinα=-13.11.D　原式化简为2sin2α=cos2α-1,由二倍角公式得4sinαcosα=-2sin2α,又α∈(0,π),所以sinα>0,所以2cosα=-sinα,因为sin2α+cos2α=1,所以sin2α+14sin2α=1,解得sin2α=45,则sinα=255,故选D.12.A　设扇面的圆心角的弧度数为θ,其所在圆的半径为r,则S1S2=12r2θπr2-12r2θ=5-12,解得θ=(3-5)π,故选A.【方法技巧】　弧度制下弧长l=αr,扇形的面积公式是S=12lr=12αr2,其中l是扇形的弧长,α是扇形的圆心角,r是半径.\n13.D　解法一　由sinα1-cosα=5,得1+cosαsinα=(1+cosα)(1-cosα)sinα(1-cosα)=sin2αsinα(1-cosα)=sinα1-cosα=5.故选D.解法二　因为sinα1-cosα·sinα1+cosα=sin2α1-cos2α=sin2αsin2α=1,所以1+cosαsinα=sinα1-cosα=5.故选D.【解后反思】　解决三角函数化简求值问题时,要灵活利用同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1.如本题的解法一,分子乘以(1-cosα)后得sin2α,化简易得结果;解法二利用已知式与待求式的“倒数”相乘积为1进行巧解.14.C　解法一　t时刻,秒针针尖经过的圆弧对应的角为t60×2π=πt30,以x轴正半轴为始边,P(x,y)所在射线为终边,得P0对应的角为π6,则P(x,y)对应的角为π6-πt30,由P0(32,12)可知P(x,y)在单位圆上,所以t时刻P(x,y)的纵坐标y=sin(-πt30+π6),故选C.解法二　t=0时,纵坐标y=12,排除BD;t=10时,观察图形,此时P不可能位于y轴正半轴,即纵坐标y≠1,排除A.选C.