高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式知能训练轻松闯关理北师大版

第2讲同角三角函数的基本关系与诱导公式1．若α∈，sinα＝－，则cos(－α)＝(　　)A．－　　　　　　　　　B.C.D．－解析：选B.因为α∈，sinα＝－，所以cosα＝，即cos(－α)＝.2．(2022·哈尔滨模拟)已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)A．－B．－C.D.解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，所以－sinθ＝－cosθ，所以tanθ＝.因为|θ|<，所以θ＝.3．已知sin＝，则cos＝(　　)A.B．－C.D．－解析：选D.cos＝sin＝sin＝－sin＝－.4．(2022·石家庄一模)已知cosα＝k，k∈R，α∈，则sin(π＋α)＝(　　)A．－B.C．±D．－k解析：选A.由cosα＝k，α∈得sinα＝，所以sin(π＋α)＝－sinα＝－，故选A.6\n5．(2022·郑州一模)已知θ为第二象限角，sinθ，cosθ是关于x的方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，则sinθ－cosθ等于(　　)A.B.C.D．－解析：选B.因为sinθ，cosθ是方程2x2＋(－1)x＋m＝0(m∈R)的两根，所以sinθ＋cosθ＝，sinθcosθ＝.可得(sinθ＋cosθ)2＝1＋2sinθcosθ，即＝1＋m，所以m＝－.因为θ为第二象限角，所以sinθ＞0，cosθ＜0，即sinθ－cosθ＞0.因为(sinθ－cosθ)2＝(sinθ＋cosθ)2－4sinθ·cosθ＝－2m＝1－＋＝，所以sinθ－cosθ＝＝.6．(2022·太原模拟)已知sinα＋cosα＝，α∈，则tanα＝(　　)A．－1B．－C.D．1解析：选D.由sinα＋cosα＝得(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝2，即2sinαcosα＝1，又因为α∈，所以cosα≠0，所以＝＝1，解得tanα＝1，故选D.7．化简＋＝________.解析：原式＝＋＝－sinα＋sinα＝0.答案：08．若＝2，则sin(θ－5π)sin＝________．解析：由＝2，得sinθ＋cosθ＝2(sinθ－cosθ)，两边平方得1＋2sinθcosθ＝4(1－2sinθcosθ)，6\n故sinθcosθ＝，所以sin(θ－5π)sin＝sinθcosθ＝.答案：9．sinπ·cosπ·tan的值是________．解析：原式＝sin·cos·tan＝··＝××(－)＝－.答案：－10．设函数f(x)＝sinx＋cosx，f′(x)是f(x)的导数，若f(x)＝2f′(x)，则＝________．解析：因为f(x)＝sinx＋cosx，所以f′(x)＝cosx－sinx，所以sinx＋cosx＝2(cosx－sinx)，即3sinx＝cosx，得tanx＝，于是＝＝tan2x－2tanx＝－＝－.答案：－11．已知sinα＝，求tan(α＋π)＋的值．解：因为sinα＝＞0，所以α为第一或第二象限角．tan(α＋π)＋＝tanα＋＝＋＝.(1)当α是第一象限角时，cosα＝＝，6\n原式＝＝.(2)当α是第二象限角时，cosα＝－＝－，原式＝＝－.12.在△ABC中，若sin(2π－A)＝－sin(π－B)，cosA＝－cos(π－B)，求△ABC的三个内角．解：由已知得sinA＝sinB，cosA＝cosB，两式平方相加得2cos2A＝1.即cosA＝或cosA＝－.(1)当cosA＝时，cosB＝，又角A、B是三角形的内角，所以A＝，B＝，所以C＝π－(A＋B)＝.(2)当cosA＝－时，cosB＝－.又角A、B是三角形的内角，所以A＝，B＝，不合题意．综上知，A＝，B＝，C＝.1．(2022·武汉联考)若A，B是锐角△ABC的两个内角，则点P(cosB－sinA，sinB－cosA)在(　　)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B.因为△ABC是锐角三角形，则A＋B>，所以A>－B>0，B>－A>0，所以sinA>sin＝cosB，sinB>sin＝cosA，所以cosB－sinA<0，sinB－cosA>0，所以点P在第二象限．2．(2022·南昌高三摸底)设θ为第二象限角，若tan＝，则cosθ＝________．6\n解析：因为tan＝，所以＝，即＝，所以tanθ＝－.因为θ为第二象限角，所以sinθ＞0，cosθ＜0，所以＝－，解得cosθ＝－.答案：3．已知sinα＝1－sin，求sin2α＋sin＋1的取值范围．解：因为sinα＝1－sin＝1－cosβ，所以cosβ＝1－sinα.因为－1≤cosβ≤1，所以－1≤1－sinα≤1，0≤sinα≤2，又－1≤sinα≤1，所以sinα∈[0，1]．所以sin2α＋sin＋1＝sin2α＋cosβ＋1＝sin2α－sinα＋2＝＋.(*)又sinα∈[0，1]，所以当sinα＝时，(*)式取得最小值；当sinα＝1或sinα＝0时，(*)式取得最大值2，故所求范围为.4．已知f(x)＝(n∈Z)．(1)化简f(x)的表达式；(2)求f＋f的值．解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，f(x)＝＝＝＝sin2x(n＝2k，k∈Z)；当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，f(x)＝6\n＝＝＝＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)．综上得f(x)＝sin2x.(2)由(1)得f＋f＝sin2＋sin2＝sin2＋sin2＝sin2＋cos2＝1.6