备考2024届高考数学一轮复习分层练习第四章三角函数第1讲任意角和蝗制三角函数的概念

第1讲任意角和弧度制、三角函数的概念1.与－2025°终边相同的最小正角是（　A　）A.135°B.132°C.58°D.12°解析　因为－2025°＝－360°×6＋135°，所以与－2025°终边相同的最小正角是135°.2.[2023广东部分学校调研]sinπ6是第（　A　）象限角.A.一B.二C.三D.四解析　因为sinπ6＝12∈（0，π2），所以sinπ6是第一象限角.故选A.3.[2023辽宁辽阳统考]若α是第二象限角，则－π2－α是（　B　）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解析　由α与－α的终边关于x轴对称，可知若α是第二象限角，则－α是第三象限角，所以－π2－α是第二象限角.故选B.4.已知角α的终边经过点P（3，t），且sin（2kπ＋α）＝－35（k∈Z），则t等于（　B　）A.－916B.－94C.－34D.94解析　∵角α的终边经过点P（3，t），∴r＝32＋t2，∴sinα＝t32＋t2.又sin（2kπ＋α）＝－35＝sinα（k∈Z），∴t32＋t2＝－35，∴t＝－94（正值已舍去），故选B.5.[2023浙江统考]已知点（23，－2）在角α的终边上，则角α的最大负值为（　C　）A.－5π6B.－2π3C.－π6D.5π3解析　易知点（23，－2）在第四象限，且tanα＝－223＝－33，所以α＝－π6＋2kπ，k∈Z，故当k＝0，α＝－π6，此时为最大的负值，故选C.6.[情境创新]如图所示，《掷铁饼者》取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为π4 米，肩宽约为π8米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，则掷铁饼者双手之间的距离约为（　B　）A.1.012米B.1.768米C.2.043米D.2.954米解析　由题意画出示意图，如图所示，则AB的长为2×π4＋π8＝5π8（米），OA＝OB＝1.25米，∠AOB＝5π81.25＝π2，所以AB＝2OA＝542米≈1.768米.即掷铁饼者双手之间的距离约为1.768米.7.[2023江西上饶市第一中学月考]如图所示，终边落在阴影部分（包括边界）的角α的集合为　{α｜－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}　.解析　由题图，与阴影部分下侧终边相同的角为－120°＋k·360°，且k∈Z，与上侧终边相同的角为135°＋k·360°，且k∈Z，所以阴影部分（包括边界）的角α的集合为{α｜－120°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}.8.已知角α满足sinα＜0，且tanα＞0，则角α的集合为　{α｜2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z}　；sinα2·cosα2·tanα2　＞　0（填“＞”“＜”或“＝”）.解析　由sinα＜0，知角α的终边在第三、四象限或在y轴的非正半轴上；又tanα＞0，所以角α的终边在第三象限，故角α的集合为{α｜2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z}.由2kπ＋π＜α＜2kπ＋3π2，k∈Z，得kπ＋π2＜α2＜kπ＋3π4，k∈Z.当k＝2m，m∈Z时，角α2的终边在第二象限，此时sinα2＞0，cosα2＜0，tanα2＜0，所以sinα2·cosα2·tanα2＞0；当k＝2m＋1，m∈Z时，角α2的终边在第四象限，此时sinα2＜0，cosα2＞0，tanα2＜0，所以sinα2·cosα2·tanα2＞0.9.如图所示，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（2，－2），角速度为1，那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为（　C　） 解析　因为P0（2，－2），所以∠P0Ox＝π4.设角速度为ω，则ω＝1，所以按逆时针方向旋转时间t后，得∠POP0＝t，（θ＝ωt，θ为射线OP转过的角度）所以∠POx＝t－π4.由三角函数的定义，知yP＝2sin（t－π4），因此d＝2｜sin（t－π4）｜.当t＝0时，d＝2｜sin（－π4）｜＝2；当t＝π4时，d＝0，故选C.10.[2023河北衡水饶阳中学模拟]若扇形的周长为36，要使这个扇形的面积最大，则此时扇形的圆心角α的弧度数为（　B　）A.1B.2C.3D.4解析　设扇形的半径为r，弧长为l，则2r＋l＝36，所以S＝12rl＝14（36－l）·l＝－14l2＋9l（0＜l＜36），故当l＝18时，S取最大值，此时r＝9，所以α＝lr＝189＝2，故选B.11.[2023江苏淮安统考]如图，正六边形ABCDEF的边长为2，分别以点A，B为圆心，AF长为半径画弧，两弧交于点G，则AG，BG，AB围成的阴影部分的面积为　4π3－3　.解析　如图，连接GA，GB.由题意知，线段GA，GB，AB的长度都等于半径2，所以△GAB为正三角形，则∠GBA＝∠GAB＝π3，故△GAB的面积为S1＝34×22＝3，扇形GBA的面积为S2＝12×π3×22＝2π3，由图形的对称性可知，扇形GAB的面积与扇形GBA的面积相等，所以阴影部分的面积S＝2S2－S1＝4π3－3.12.[数学文化/2024江西南昌市等5地开学考试]《梦溪笔谈》是我国科技史上的杰作，其中收录了扇形弧长的近似计算公式：lAB＝弦＋2×矢 2径.如图，公式中“弦”是指扇形中AB所对弦AB的长，“矢”是指AB所在圆O 的半径与圆心O到弦的距离之差，“径”是指扇形所在圆O的直径.若扇形的面积为16π3，扇形的半径为4，利用上面公式，求得该扇形的弧长的近似值为（　D　）A.3＋1B.23＋1C.33＋1D.43＋1解析　设该扇形的圆心角为α，由扇形面积公式得12×42×α＝16π3，所以α＝2π3.如图，取AB的中点C，连接OC，交AB于点D，则OC⊥AB，则OD＝OA×cos∠AOD＝4cosπ3＝2，AB＝2AD＝2×4sinπ3＝43，CD＝OC－OD＝2，所以该扇形的弧长的近似值为lAB＝弦＋2×矢 2径＝AB＋2CD22OA＝43＋2×48＝43＋1.故选D.