备考2024届高考数学一轮复习好题精练第十章计数原理概率随机变量及其分布突破3概率统计与其他知识的综合命题点2概率统计与数列的综合

命题点2　概率、统计与数列的综合例2[2023新高考卷Ⅰ]甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.（1）求第2次投篮的人是乙的概率.（2）求第i次投篮的人是甲的概率.（3）已知：若随机变量Xi服从两点分布，且P（Xi＝1）＝1－P（Xi＝0）＝qi，i＝1，2，…，n，则E（∑i=1nXi）＝∑i=1nqi.记前n次（即从第1次到第n次投篮）中甲投篮的次数为Y，求E（Y）.解析　（1）记“第2次投篮的人是乙”为事件A，“第1次投篮的人是甲”为事件B，则A＝BA＋BA，所以PA=PBA+BA=PBA+PBA=PB·PAB+PBPAB=0.5×1-0.6+0.5×0.8=0.6.（2）设第i次投篮的人是甲的概率为pi，由题意可知，p1＝12，pi＋1＝pi×0.6＋（1－pi）×（1－0.8），即pi＋1＝0.4pi＋0.2＝25pi＋15，所以pi＋1－13＝25（pi－13），又p1－13＝12－13＝16，所以数列{pi－13}是以16为首项，25为公比的等比数列，所以pi－13＝16×（25）i－1，所以pi＝13＋16×（25）i－1.（3）设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P（Xi＝1）＝pi，P（Xi＝0）＝1－pi，所以E（Xi）＝pi.Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，则E（Y）＝E（X1＋X2＋X3＋…＋Xn）＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，由（2）知，pi＝13＋16×（25）i－1，所以p1＋p2＋p3＋…＋pn＝n3＋16×[1＋25＋（25）2＋…＋（25）n－1]＝n3＋16×1－（25）n1－25＝n3＋518×[1－（25）n].方法技巧概率、统计与数列的综合问题的解题步骤（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，确定概率模型；（2）准确建模，通过概率的求解，建立关于概率的递推关系，转化为数列模型问题；（3）解决模型，利用数列的有关知识解决模型.训练2[全国卷Ⅰ]为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验. 对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.（1）求X的分布列.（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api－1＋bpi＋cpi＋1（i＝1，2，…，7），其中a＝P（X＝－1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）.假设α＝0.5，β＝0.8.（i）证明：{pi＋1－pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列.（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.解析　（1）X的所有可能取值为－1，0，1.P（X＝－1）＝（1－α）β，P（X＝0）＝αβ＋（1－α）（1－β），P（X＝1）＝α（1－β）.所以X的分布列为X－101P（1－α）βαβ＋（1－α）（1－β）α（1－β）（2）（i）由（1）得a＝0.4，b＝0.5，c＝0.1.因此pi＝0.4pi－1＋0.5pi＋0.1pi＋1（i＝1，2，…，7），故0.1（pi＋1－pi）＝0.4（pi－pi－1），即pi＋1－pi＝4（pi－pi－1）.又p1－p0＝p1≠0，所以{pi＋1－pi}（i＝0，1，2，…，7）是公比为4，首项为p1的等比数列.（ii）由（i）可得p8＝p8－p7＋p7－p6＋…＋p1－p0＋p0＝（p8－p7）＋（p7－p6）＋…＋（p1－p0）＝48－13p1.因为p8＝1，故p1＝348－1，所以p4＝（p4－p3）＋（p3－p2）＋（p2－p1）＋（p1－p0）＝44－13×p1＝1257.p4表示甲药的累计得分为4分时，最终认为甲药比乙药更有效的概率.由计算结果可以看出，当甲药的治愈率为0.5，乙药的治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率p4＝1257≈0.0039，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理.