备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点4三角形中的“三线”问题

命题点4　三角形中的“三线”问题例4（1）[2023合肥六中5月模拟]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若ccosA＋acosC＝2，AC边上的高为3，则∠ABC的最大值为（　B　）A.π6B.π3C.π2D.2π3解析　由射影定理得ccosA＋acosC＝b＝2.∵AC边上的高为3，∴S△ABC＝12×2×3＝12acsin∠ABC，即ac＝23sin∠ABC.∵cos∠ABC＝a2＋c2－b22ac≥2ac－b22ac＝1－2ac，当且仅当a＝c时等号成立.∴cos∠ABC≥1－33sin∠ABC，即3sin∠ABC＋3cos∠ABC≥3，则sin（∠ABC＋π3）≥32.∵∠ABC∈（0，π），∴∠ABC＋π3∈（π3，4π3），则∠ABC＋π3∈（π3，2π3]，∴∠ABC∈（0，π3]，验证知当∠ABC＝π3时，符合题意.故∠ABC的最大值为π3.（2）[2023全国卷甲]在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝2，BC＝6，∠BAC的角平分线交BC于D，则AD＝　2　.解析　在△ABC中，由余弦定理得cos60°＝AC2+4－62×2AC，整理得AC2－2AC－2＝0，得AC＝1＋3.又S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，所以12×2ACsin60°＝12×2ADsin30°＋12AC×ADsin30°，所以AD＝23ACAC+2＝23×（1+3）3+3＝2.例5[2023新高考卷Ⅱ]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为3，D为BC的中点，且AD＝1.（1）若∠ADC＝π3，求tanB；（2）若b2＋c2＝8，求b，c.解析　（1）因为D为BC的中点，所以S△ABC＝2S△ADC＝2×12×AD×DCsin∠ADC＝2×12×1×DC×32＝3，解得DC＝2，所以BD＝DC＝2，a＝4.因为∠ADC＝π3，所以∠ADB＝2π3，所以B∈（0，π3）.在△ABD中，由余弦定理，得c2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB＝1＋4＋2＝7，所以c＝7.在△ABD中，由正弦定理，得csin∠ADB＝ADsinB，所以sinB＝ADsin∠ADBc＝2114，所以cosB＝1－sin2B＝5714.所以tanB＝sinBcosB＝35.（2）因为D为BC的中点，所以BD＝DC.因为∠ADB＋∠ADC＝π，所以cos∠ADB＝－cos∠ADC， 则在△ABD与△ADC中，由余弦定理，得AD2＋BD2－c22AD·BD＝－AD2＋DC2－b22AD·DC，得1＋BD2－c2＝－（1＋BD2－b2），所以2BD2＝b2＋c2－2＝6，所以BD＝3，所以a＝23.在△ABC中，由余弦定理，得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝8－122bc＝－2bc，所以S△ABC＝12bcsin∠BAC＝12bc1－cos2∠BAC＝12bc1－（－2bc）2＝12b2c2－4＝3，解得bc＝4.则由bc=4，b2＋c2=8，解得b＝c＝2.方法技巧如图，在△ABC中，1.若AD为BC边上的中线，则：（1）AD＝12（AB＋AC），两边平方之后解题；（2）S△ABD＝S△ACD.2.若AD为∠BAC的角平分线，则：（1）S△ABC＝S△ABD＋S△ACD，利用三角形面积公式展开得到边的关系；（2）cos∠BAD＝cos∠CAD，利用余弦定理列方程；（3）S△ABDS△ACD＝ABAC＝BDCD.3.若AD为BC边上的高线，则：（1）可得到Rt△ADB及Rt△ADC，利用勾股定理及三角函数解题；（2）S△ABC＝12AD·BC.注意　（1）利用相等角的余弦值相等，从而结合余弦定理列方程是解三角形中的常用方法；（2）在已知条件中见到面积时，要考虑到三角形的高线.训练4（1）[2023沈阳市三检]在△ABC中，AD为∠BAC的角平分线，AB＝5，AC＝3，cos∠ABC＝1314，则BC＝　7或167　；若AB＜BC，则AD＝　158　.解析　因为AB＝5，AC＝3，cos∠ABC＝1314，所以在△ABC中，由余弦定理AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·cos∠ABC，得9＝25＋BC2－657BC，即BC2－657BC＋16＝0，解得BC＝7或BC＝167.若AB＜BC，则BC＝7，因为AD为∠BAC的角平分线，所以BDDC＝ABAC＝53，所以BD＝58×7＝358，在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2＋BD2－2AB·BD·cos∠ABC＝52＋（358）2－2×5×358×1314＝22564，所以AD＝158.（2）如图，△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知a2＋c2＝b2＋ac，则B＝　π3　.若线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，且BC＝4，DE＝6，则△BCE的面积为　23　.解析　由余弦定理知cosB＝a2＋c2－b22ac，又a2＋c2＝b2＋ac， ∴cosB＝12，∵0＜B＜π，∴B＝π3.在△BCE中，设∠CEB＝θ，则CEsinπ3＝BCsinθ，可得CE＝23sinθ.∵线段AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E，∴∠ECA＝∠EAC＝θ2，∴sinθ2＝DECE＝2sinθ2，可得cosθ2＝22，∴θ2＝π4，即θ＝π2，∴CE＝23，∴BE＝2，∴S△BCE＝12CE·BE＝23.