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备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点2多三角形问题

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命题点2　多三角形问题例2[2021新高考卷Ⅰ]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.（1）证明：BD＝b；（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC.解析　（1）由题易得BDa＝sinCsin∠ABC.在△ABC中，由正弦定理得sinCsin∠ABC＝cb，则BDa＝cb，即BD·b＝ac，又b2＝ac，所以BD·b＝b2，又b＞0，所以BD＝b.（2）解法一　由题意可知AD＝23b，DC＝13b.在△ABD与△ABC中，cos∠BAD＝cos∠BAC，所以c2＋49b2－b22c·23b＝c2＋b2－a22bc　①.将b2＝ac代入①式可得6a2－11ac＋3c2＝0，即（2a－3c）（3a－c）＝0，所以c＝23a或c＝3a.当c＝23a时，cos∠ABC＝c2＋a2－ac2ac＝49a2＋a2－23a243a2＝712；当c＝3a时，cos∠ABC＝c2＋a2－ac2ac＝9a2＋a2－3a26a2＝76＞1（舍）.综上，cos∠ABC＝712.解法二　由题意可得，AD＝23AC，所以BD＝BA＋AD＝BA＋23AC＝BA＋23（BC－BA）＝13BA＋23BC，则BD2＝19c2＋49a2＋49accos∠ABC　①，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos∠ABC　②，联立①②得11b2＝3c2＋6a2，因为b2＝ac，所以3c2－11ac＋6a2＝0，所以c＝3a或c＝23a.以下同解法一.方法技巧多三角形问题的解题思路（1）把所提供的平面图形拆分成若干个三角形，然后在各个三角形内利用正弦定理或余弦定理求解；（2）寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件（如公共边，公共角，邻角之间的关系），求出结果.训练2[全国卷Ⅰ]如图，在三棱锥P－ABC的平面展开图中，AC＝1，AB＝AD＝3，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，则cos∠FCB＝　－14　.解析　依题意得，AE＝AD＝3，在△AEC中，AC＝1，∠CAE＝30°，由余弦定理得EC2＝AE2＋AC2－2AE·ACcos∠CAE＝3＋1－23cos30°＝1，所以EC＝1，所以CF＝EC＝1.又BC＝AC2＋AB2＝1+3＝2，BF＝ BD＝AD2＋AB2＝6，所以在△BCF中，由余弦定理得cos∠FCB＝BC2＋CF2－BF22BC×CF＝22＋12－（6）22×2×1＝－14.

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所属： 高考 - 一轮复习
发布时间：2024-02-08 15:00:02 页数：2
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文章作者：随遇而安

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