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备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破2解三角形中的热点问题命题点3解三角形中的证明问题

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命题点3　解三角形中的证明问题例3[2023陕西安康中学5月质检]已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinCcosB－2sinBcosC＝0.（1）证明：c2－b2＝13a2；（2）若a＝3，点D在边BC上，且AD⊥BC，AD＝3，求△ABC的周长.解析　（1）由sinCcosB－2sinBcosC＝0，可得sinC·cosB＋sinBcosC＝3sinBcosC，所以sin（B＋C）＝3sinBcosC，由B＋C＝π－A，可得sin（B＋C）＝sinA，即sinA＝3sinBcosC，所以a＝3b×a2＋b2－c22ab，可得2a2＝3a2＋3b2－3c2，即c2－b2＝13a2.（2）由（1）及a＝3，知c2－b2＝3，可得c2＝b2＋3，由余弦定理得cos∠BAC＝b2＋c2－a22bc＝b2－3bc.由AD⊥BC，AD＝3，可得S△ABC＝12×3×3＝332，又S△ABC＝12bcsin∠BAC，所以12bcsin∠BAC＝332，可得sin∠BAC＝33bc.因为cos2∠BAC＋sin2∠BAC＝（b2－3bc）2＋（33bc）2＝1，c2＝b2＋3，所以b2＝4，解得b＝2，c＝7，所以△ABC的周长为a＋b＋c＝3＋2＋7＝5＋7.方法技巧对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者之间的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即可得证.训练3[2023石家庄市三检]已知△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，sinA＝4sinCcosB，且c＝2.（1）证明：tanB＝3tanC；（2）若b＝23，求△ABC外接圆的面积.解析　（1）因为sinA＝4sinCcosB，所以sin（B＋C）＝4sinCcosB，即sinBcosC＋cosBsinC＝4sinCcosB，即sinBcosC＝3sinCcosB，所以tanB＝3tanC.（2）因为sinA＝4sinCcosB，所以a＝4c·a2＋c2－b22ac，即a2＋2c2－2b2＝0.又b＝23，c＝2，所以a＝4，所以c2＋b2＝a2，所以A＝π2，则△ABC外接圆的半径R＝12a＝2，所以△ABC外接圆的面积S＝πR2＝4π.

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所属： 高考 - 一轮复习
发布时间：2024-02-08 15:05:01 页数：1
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文章作者：随遇而安

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