河南省鹤壁市高中2023届高三下学期4月质量检测理科数学试题（Word版附解析）

高三理科数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围：高考范围.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】分别解出集合A,B,根据集合的交集运算求得答案.【详解】由题意知，，所以（2，3],故选:B2.已知复数z满足(是虚数单位)，则()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的运算法则求出z即可根据复数的模的计算公式计算. 【详解】由题意可得：，则，∴﹒故选：B．3.已知是角的终边上一点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三角函数定义及诱导公式及正弦二倍角公式计算即可.【详解】是角的终边上一点，由三角函数定义可得，，所以.故选：C.4.若a，，则“”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【解析】【分析】利用不等式的性质去判断“”与“”之间的逻辑关系即可解决.【详解】若，当时，，当时，；又当时，两边除以b，得，当且时，两边除以b，得.故“”是“”的既不充分也不必要条件.故选：D5.某企业对其生产的一批产品进行检测，得出每件产品中某种物质含量（单位：克）的频率分布直方图如图所示.则该物质含量的众数和平均数分别为 A.和B.和C.和D.和【答案】C【解析】【分析】根据频率分布直方图中最高小矩形得出众数落在第三组，从而求出众数的值，再根据每个小组的频率以及中间值求出频率分布直方图的平均数．【详解】解：根据频率分布直方图得出众数落在第三组内，所以众数为；含量在之间的频率为0.1,含量在之间的频率为0.2,含量在之间的频率为0.4,根据概率和为1，可得含量在之间的频率为0.3，所以频率分布直方图的平均数为．故选C.【点睛】本题考查频率分布直方图中众数和平均数的求法，属于基础题型．6.已知正方体中，E，G分别为，的中点，则直线，CE所成角的余弦值为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据异面直线所成角的定义，取AB的中点F，则∠ECF（或其补角）为直线与CE 所成角，再解三角形即可得解．【详解】如图所示：取AB的中点F，连接EF，CF，易知，则∠ECF（或其补角）为直线与CE所成角．不妨设，则，，，由余弦定理得，即直线与CE所成角的余弦值为．故选：C．7.七辆汽车排成一纵队，要求甲车、乙车、丙车均不排队头或队尾且各不相邻，则排法有（）A.48种B.72种C.90种D.144种【答案】D【解析】【分析】依题可知甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，由分步计数原理即可解出．【详解】由题意得，甲车，乙车、丙车均不排队头或队尾，且各不相邻，所以甲、乙、丙只能在第二位、第四位、第六位，共有种排法，其他车辆任意排列，所以总排法有种．故选：D．8.已知为数列的前n项和，若，则的通项公式为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由题设求出，再通过构造得，由等比数列的通项公式即可求解.【详解】令可得，又，解得，又 ，则，，即是以2为首项，2为公比的等比数列，则，.故选：B.9.已知函数，则下列说法正确的为（）A.的最小正周期为B.的最大值为C.的图像关于直线对称D.将的图像向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后所得图像对应的函数为奇函数【答案】D【解析】【分析】先对函数的解析式进行化简，化成的形式，然后即可求出周期、最大值和对称轴，从而可判断ABC；对于D项，先根据要求对化简后的进行变换，然后即可得出结论.【详解】，故的最小正周期为，最大值为，对称轴方程满足，，即，，故ABC皆错误；对于选项D，将的图像向右平移个单位长度后得到，然后，将此图像向上平移个单位长度，得到函数的图像，是一个奇函数，故D 正确，故选：D.10.在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先解三角形得到为直角三角形，建立直角坐标系，通过表示出，借助三角函数求出最小值.【详解】由余弦定理得，所以，所以，所以．以AC的中点为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，易得A（－1，0），C（1，0），B（－，），设P的坐标为，所以，，，又，所以，所以，，所以，当且仅当时，等号成立． 故选：B．11.已知双曲线的左焦点为，为坐标原点，为双曲线的右支上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】设为的右焦点，得到，根据，列出方程得到，求得，结合离心率的定义，即可求解.【详解】设为双曲线的右焦点，焦距为，连，则，由，可得，则，又由，所以，即，所以，即，所以，所以，或（舍），所以双曲线的离心率为.故选：A.12.已知实数a，b，c满足，且，则（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】由经典不等式可得，得出，结合即可判断.【详解】设，则，当时，，单调递增，当时，，单调递减，，即，所以，所以，即，又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故选：A.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是利用经典不等式可得.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若函数为奇函数，则实数a＝___．【答案】##【解析】【分析】由题意可得函数为偶函数，则恒成立，可得答案.【详解】函数为奇函数，则函数为偶函数，故，即，，则恒成立，化简可得恒成立，则．当，满足，即为偶函数，则满足函数为奇函数故答案为：14.已知为R上单调递增的奇函数，在数列中，，对任意正整数n，，则数列的前n项和的最大值为___________.【答案】77 【解析】【分析】先由题给条件判定数列为等差数列，进而求得数列的通项公式，利用数列的单调性即可求得其前n项和的最大值.【详解】因为，且为R上的奇函数，所以.又在R上单调递增，所以，即，所以为等差数列，且公差为，首项为20，所以，所以，所以最大，且.故答案为：7715.已知抛物线的焦点为F，过F的直线交C于点A，B，交C的准线于点E，若，，则___________.【答案】3【解析】【分析】过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，然后利用抛物线的定义进行求解即可.【详解】过A，B分别作准线的垂线，垂足分别为M，N，准线与y轴的交点为G，则，.因为，所以，所以，所以，所以，即.故答案为：316.在三棱锥中，，，，则三棱锥 外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】三棱锥的外接球球心位于过底面外接圆圆心且与底面垂直的直线上.设球心为，取的中点，设外心为点，则平面，平面，再根据正弦定理、余弦定理及直角三角形的性质求解结果.【详解】设球心为，取的中点，连接，，，又，，则，由，，为的中点，所以,，所以平面，又，，由余弦定理可得，所以，所以外接圆的半径，又，.在中，，，，因为球心为，直角的外心为，所以平面，又平面，所以,又平面，所以共面.又平面，所以，所以， 设外心为点，由，得点在上，则平面，平面，所以，，所以，所以外接球的半径，故三棱锥外接球的表面积为.【点睛】多面体外接球球心位置方法点睛：多面体的外接球球心位于过底面外接圆圆心且与底面垂直的直线上.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，．（1）求角B；（2）若，，D为AC边的中点，求的面积．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据同角三角函数的关系，结合两角和差的正余弦公式化简即可（2）由余弦定理可得，再根据的面积为面积的一半，结合三角形的面积公式求解即可【小问1详解】由，有，两边同乘得 ，故，即．因为，所以A为锐角，，所以．又因为，所以．【小问2详解】在中，由余弦定理，即，故，解得或舍）．故．18.经过全国上下的共同努力，我国的新冠疫情得到很好的控制，但世界一些国家的疫情并没有得到有效控制，疫情防控形势仍然比较严峻，为扎紧疫情防控的篱笆，提高疫情防控意识，某市宣传部门开展了线上新冠肺炎世界防控现状及防控知识竞赛，现从全市的参与者中随机抽取了1000名幸运者的成绩进行分析，他们的得分（满分100分）情况如下表：得分频数2515020025022510050（1）若此次知识竞赛得分X整体服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为抽取的1000名幸运者得分的平均值和标准差（同一组数据用该区间中点值代替），求，的值；（结果保留整数）（2）在（1）的条件下，为感谢市民的积极参与，对参与者制定如下奖励方案：得分不超过79分的可获得1次抽奖机会，得分超过79分的可获得2次抽奖机会.假定每次抽奖，抽到10元红包的概率为，抽到20元红包的概率为.已知胡老师是这次活动中的参与者，估算胡老师在此次活动中所获得红包的数学期望.（结果保留整数）参考数据：；；，.【答案】（1），（2）（元）【解析】 【分析】（1）利用平均数和标准差公式直接计算即可.（2）先计算胡老师抽奖次数期望，然后计算一次抽奖获得红包金额的期望，从而得到在此次活动中所获得红包的数学期望.【小问1详解】，，所以.【小问2详解】设随机变量N表示胡老师的抽奖次数，则N的可能取值为1，2.，，其分布列为N12P0.84130.1587所以.设随机变量T为胡老师一次抽奖获得红包金额，则T的可能取值为10，20，由题意知，，所以随机变量T的分布列为T1020P.所以胡老师此次活动所获得红包的数学期望为（元）.19.如图，四边形ABCD为梯形，，，，点在线段 上，且．现将沿翻折到的位置，使得．（1）证明：；（2）点是线段上的一点（不包含端点），是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，则求出；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析（2）存在，【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定定理及性质定理即可证得；（2）利用线面垂直的判定定理证得平面，建立空间直角坐标系，利用空间向量求二面角的方法即可求解.小问1详解】证明：因为四边形ABCD为梯形．，，，所以，，，，，，即，，在中，过P作，垂足为F，连接BF．中，，，所以．在中，，，，由余弦定理得，所以，所以，所以，即．又，平面BFP，所以平面．又平面，所以．【小问2详解】 在△FCE中，，，，，．又，，平面，平面．又平面，．又，，平面，平面．以B为原点，所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，，．设，则．设平面的一个法向量为，则，即，令，则．设平面的一个法向量为，则，即令，则．因为二面角的余弦值为，所以，解得或（舍），所以存在点M，使得二面角的余弦值为，此时． 20.已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）证明：当时，方程在上有且仅有一个实数解．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）先求出函数的定义域，再求出，然后分，可得出函数的单调性.（2）设，将问题转化为函数在上有且仅有一个零点，又当时，，所以只需证在上有且仅有一个零点，求出其导数，由零点存在原理即可证明.【小问1详解】函数的定义域是，．当时，令，得；令，得，故在上单调递增，在上单调递减；当时，恒成立，故在上单调递减．【小问2详解】 当时，方程即为，即．令，则，则“方程在上有且仅有一个实数解”等价于“函数在上有且仅有一个零点”．当时，，所以在上恒成立，所以只需证在上有且仅有一个零点．因为，所以当时，，，所以在上恒成立．所以在上单调递增，又，，所以上有且仅有一个零点，即在上有且仅有一个零点．故方程在上有且仅有一个实数解．21.已知椭圆的离心率为，椭圆C的左､右顶点分别为A，B，上顶点为D，.（1）求椭圆C的方程；（2）斜率为的动直线l与椭圆C相交于M，N两点，是否存在定点P（直线l不经过点P），使得直线PM与直线PN的倾斜角互补，若存在这样的点P，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）（2）存在，点P的坐标为或 【解析】【分析】（1）利用数量积公式及离心率可得a,b,c从而得到椭圆方程;（2）设直线l的方程为，与椭圆方程联立，写出韦达定理，由题意可得直线PM与直线PN的斜率之和为零，利用韦达定理化简可得结果.【小问1详解】设椭圆C的焦距为2c，由题意知，，，所以，，所以，解得.又椭圆C的离心率为，所以，，故椭圆C的方程为.【小问2详解】假设存在这样的点P，设点P的坐标为，点M，N的坐标分别为，，设直线l的方程为.联立方程消去y后整理得.，得，有若直线PM与直线PN的倾斜角互补，则直线PM与直线PN的斜率之和为零，所以 .所以解得或故存在点P符合条件，点P的坐标为或.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于不同的两点A，B．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P为直线l与x轴的交点，求．【答案】（1）；；（2）.【解析】【分析】（1）消去直线l的参数方程中的参数t可得直线l的普通方程，利用极坐标与直角坐标互化公式可得曲线C的直角坐标方程.（2）把直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，利用参数的几何意义计算作答.【小问1详解】依题意，消去直线l的参数方程中的参数t得：，所以直线l的普通方程为；曲线C的极坐标方程：，将代入得：， 所以曲线C的直角坐标方程为：.【小问2详解】由（1）知，点，把直线l的参数方程（t为参数）代入方程得：，整理得：，有，设点A，B所对参数分别为，则，所以.选修4-5：不等式选讲23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）对于任意实数，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）变换得到或或，解得答案.（2）题目转化为，确定，确定函数的单调区间，计算最值解不等式得到答案.【小问1详解】当时，， 因为，所以或或，解得或.所以不等式的解集为.【小问2详解】对于任意实数，，不等式恒成立，等价于.因为，当且仅当时等号成立，.所以.因为，所以，函数的单调递增区间为，单调递减区间为，所以当时，，所以，解得，所以，所以实数的取值范围是.