河南省顶级名校2022-2023学年高三上学期1月阶段性检测理科数学试题（Word版附解析）

2022年高三阶段性检测理科数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解不等式得到集合，然后利用补集和交集的定义计算即可.【详解】由题意得集合，或，所以.故选：D.2.若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】设，，由条件列方程求，再由复数的模的公式求.【详解】设，，因为，所以，，所以，，所以，故选：C.3.若满足,则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意画出可行域,令,即,所以平移斜率为的直线,相当于在 轴上的截距,,找到使轴上的截距最值时的点代入即可.【详解】解:由题知,画出满足题意的可行域如下所示,令,即,相当于直线在轴上的截距,平移直线,当直线过点时,截距最大,最小,联立可得,故在点时取得最优解,代入,可得.故选:D4.已知数列的前项和.若，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求得，然后根据求得的值.【详解】依题意，当时，；当时，，，两式相减得，也符合上式，所以， ，由解得，所以.故选：B5.已知，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】结合诱导公式、二倍角公式求得正确答案.【详解】.故选：B6.在中，，，．若满足条件的有且只有一个，则的可能取值是（　　）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】利用余弦定理可得关于的一元二次方程；根据三角形有唯一解可知或在时，方程两根一正一负或一根为零、一根为正，由此可构造不等式求得的范围，进而确定结果.【详解】由题意知：；由余弦定理得：，即，则；当，即时，，满足题意；当，即时，方程两根需一正一负或一根为零、一根为正，，解得：. 综上所述：的可能取值为或.故选：BD.7.在中,角，，所对的边分别为，，，，则的外接圆面积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先利用三角恒等变形化简，并利用同角三角函数公式求得，并利用正弦定理求外接圆半径，即可求得三角形的面积.【详解】由正弦定理可知,,即，因为,，，根据正弦定理可知，得，则的外接圆面积.故选：D8.函数在区间上的图像如图所示，将该函数图像上各点的横坐标缩短到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，所得到的图像关于点对称，则的最小值为（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由周期求出，代点求出的值，可得函数的的解析式，再根据函数的对称性求出的值，进而可得结论．【详解】由函数的图象可得，又函数过点，得，又，可知．故函数的解析式为．把的图象各点的横坐标缩小到原来的一半（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，得到的图象，∵所得图象关于点对称，，即即，解得：，，由，可得当时，的最小值为．故选：C9.如图，在体积为的三棱锥P﹣ABC中，AC⊥BC，AD＝BD，PD⊥底面ABC，则三棱锥P﹣ABC外接球体积的最小值为（　　） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据已知条件作出图形，利用棱锥的体积公式及勾股定理，结合基本不等式即可求解．【详解】如图所示，由题意是直角三角形，AB的中点为D，连结PD，很明显球心在PD上，设球心为O，PD＝h，AC＝x，，OC＝R，则，解得，在中，，，则，解得，当且仅当时等号成立，即，当且仅当，即时等号成立，即R的最小值是在时取得，经检验正确，即满足题意时三棱锥高为2，，故外接球体积的最小值为：，故选：A.10.已知定义在上的函数满足：，，且当时，，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】依题意可得，即可得到，从而得到，即可得到函数的周期为，再根据上的函数解析式，求出函数，，，，再计算出，又，即可求出的值，最后根据周期性计算可得.【详解】解：因为，所以，又，所以，即，所以，所以是以为周期的周期函数，又当时，，所以，，，，，，，即，又，即，解得，所以，又，，，，，所以，又，所以；故选：A11.已知：，，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据三角函数的公式求出，然后借助指数函数的单调性得到，即可得到，构造函数，利用函数的单调性得到，整理后即可得到.【详解】，∵，∴，则，设函数，则，∵，，且函数单调递增，∴只存在一个使，且，在单调递减，∴，即，所以.故选：B.12.已知正数，满足，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用基本不等式得到当且仅当时取等号，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可得到，即可说明当且仅当时取等号，从而得到且时成立，即可得解.【详解】解：因为，，所以，当且仅当，即 时取等号，又，因为正数，满足，即，令，则，当时，当时，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，即恒成立当且仅当时取等号，即恒成立当且仅当时取等号，所以当且仅当时取等号，所以当且仅当且，即，时不等式成立，所以；故选：A【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是构造函数证明，再利用基本不等式得到两不等式取等的条件，即可求出参数的值.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知，则_____.【答案】【解析】【分析】根据对数的运算性质及函数值的定义即可求解.【详解】由题意可知，.故答案为：14.在中，，，，则边上中线的长为_____. 【答案】【解析】【分析】作出图象，由图可知，再由平面向量的数量积的运算性质求解即可【详解】因为，所以所以，所以，故答案为：15.已知函数，则的解集是_____.【答案】（）【解析】【分析】利用辅助角公式得到，再根据正弦函数的性质求出的解集，同理得到时的取值，即可将的解析式改写成另一种形式，最后再分类讨论，分别求出不等式的解集，即可得解.【详解】解：由，令，解得， 即当时，即，同理可得时，又，所以，对于不等式，当时，解得，当时，解得，综上可得不等式的解集为，.故答案为：，16.若方程存在唯一实根，则实数的取值范围是_____.【答案】【解析】【分析】方程存在唯一实根，则存在唯一实根，则函数与函数有唯一的交点，利用导数分析的单调性，并在同一坐标系中做出与函数的图象，即可求解【详解】方程存在唯一实根，则存在唯一实根，令， 则令，注意到，则，且当时，，所以，即；当时，，所以，即；所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；又，当时，恒成立；当时，；所以的大致图象为：由存在唯一实根， 则函数与函数有唯一的交点，由图象可知或时满足条件，所以方程存在唯一实根时，实数的取值范围是故答案为：三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知函数.（1）求函数的单调递增区间；（2）若函数图像关于点中心对称，求在上的值域.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用二倍角公式及和差角公式将函数化简，再根据正弦函数的性质计算可得；（2）首先表示出，根据对称性求出，即可得到的解析式，再根据的取值范围求出的范围，最后根据正弦函数的性质计算可得；【小问1详解】解： ，即，令，解得，所以函数的单调递增区间为.【小问2详解】解：因为，又的图像关于点中心对称，所以，解得，因为，所以，所以，当时，所以， 所以.18.已知函数，.（1）求的极值；（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）的极小值为，无极大值（2）【解析】【分析】（1）利用导数求得的极值.（2）由分离常数，通过构造函数法，结合多次求导来求得的取值范围.【小问1详解】定义域为，，由解得，所以在区间递减；在区间递增.所以在时取得极小值，无极大值.【小问2详解】依题意在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，令，，令，，所以在上递增，，故， 所以，所以在上递增，当时，取得最小值为，所以，即的取值范围是.【点睛】利用导数研究不等式恒成立问题，可考虑利用分离常数法，然后结合导数来解决.当一次求导无法求解问题时，可通过多次求导来解决，解题过程中，要注意导函数和原函数间的关系.19.数列中，为的前项和，，.（1）求证:数列是等差数列，并求出其通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）根据，作差得到，从而得到，即可得到，从而得证，再求出公差，即可求出通项公式；（2）由（1）可得，从而得到，利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】解：数列中，为前项和，，①，当时，，解得；当时，②，①②得③，所以④，由③④得， 所以数列为等差数列，所以公差，所以．【小问2详解】解：由（1）可得，所以，所以，所以.20.如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD=CD=1，AA1=AB=2，E为棱AA1的中点．（1）证明B1C1⊥CE；（2）求二面角B1﹣CE﹣C1的正弦值．（3）设点M在线段C1E上，且直线AM与平面ADD1A1所成角的正弦值为，求线段AM的长．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【详解】解：本题可通过建立空间坐标系求解．如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B1(0,2,2)，C1(1,2,1)，E(0,1,0)． (1)证明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1，－1)，于是·＝0，∴B1C1⊥CE.(2)＝(1，－2，－1)．设平面B1CE的法向量＝(x，y，z)，则,即消去x，得y＋2z＝0，不妨令z＝1，可得一个法向量为＝(－3，－2,1)．由(1)，B1C1⊥CE，又CC1⊥B1C1，可得B1C1⊥平面CEC1，故＝(1,0，－1)为平面CEC1的一个法向量．于cos〈，〉＝＝＝－，从而sin〈，〉＝，故二面角B1－CE－C1的正弦值为.(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．设＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．可取＝(0,0,2)为平面ADD1A1的一个法向量．设θ为直线AM与平面ADD1A1所成的角，则sinθ＝|cos〈，〉|＝ ＝＝.于是＝，解得λ＝(λ＝－舍去)，∴AM＝.21.已知，，分别是的内角，，所对的边，向量，（1）若，，证明：为锐角三角形；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）先求得，然后利用余弦定理判断为锐角三角形.（2）化简求得，根据正弦定理、三角恒等变换的知识化简，结合三角函数值域的求法求得的取值范围.【小问1详解】，由余弦定理得，整理得，故是最长的边，是最大的角，，则为锐角，所以三角形是锐角三角形.【小问2详解】，即，由于，所以， 所以，所以.因为三角形是锐角三角形，所以，解得，则.由正弦定理得，由于，，，所以的取值范围是.22.已知函数，若，其中为偶函数，为奇函数.（1）当时，求出函数的表达式并讨论函数的单调性；（2）设是的导数.当，时，记函数的最大值为，函数的最大值为.求证：.【答案】（1），在上单调递减，在上单调递增（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由奇偶性可得，再利用导数法研究单调性即可；（2）先用导数法研究的单调性，从而得到，进而结合单调性可求得，由得单调性可得，再用作差法即可求解【小问1详解】当时，， 由题，其中为偶函数，为奇函数，则，所以，所以，所以，令，则，当且仅当取等，所以在上递增，即在上递增，注意到，则时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增；【小问2详解】由的定义域是，，设，则，令得，，因为在上递增，所以当时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增；又，于是，即，所以在上递增，注意到， 所以在上，在上，所以函数，在上单调递减，在上单调递增，所以，又，，，因此，又，所以，即【点睛】利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧