河南省顶级名校2022-2023学年高三文科数学上学期1月阶段性检测试题（Word版附解析）

文科数学试卷一、选择题1.已知集合，则（）A.B.或C.D.或【答案】D【解析】【分析】先化简集合A，再根据补集的定义求解即可．【详解】解：由解得，，或．故选：D．2.若，则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的除法运算即可得解.【详解】解：因为，所以.故选：A.3.设：实数，满足且．：实数，满足，则p是q的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义求解即可．【详解】解：且，由不等式的性质知，；令，显然满足，但，∴．∴是的充分不必要条件．故选：A．4.若实数，满足约束条件，则的最小值为（）A.-3B.-2C.0D.5【答案】C【解析】【分析】画出可行域，根据的几何意义求得最小值即可．【详解】解：作出图像如下，图中灰色部分为可行域，点A为与的交点，联立，解得，， 由知要最小，只要即在轴的截距最大即可，∴当经过时取最小值，．故选：C．5.若正项等比数列的前项和为，，，则的值为（）A.1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据等比数列求和公式计算即可．【详解】解：设公比为，由题意知，，，，化简得，解得，，．故选：C．6.函数的大致图像是（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由排除两个选项，再由时，排除一个选项后可得正确选项．【详解】∵，所以，故排除C，D，当时，恒成立，排除A，故选：B．7.已知角的终边经过点，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据已知求得角的正切值，再根据诱导公式化简求值即可，【详解】解：∵角的终边经过点，， ．故选：B．8.已知矩形的对角线交于点O，E为AO的中点，若（，为实数），则（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量运算平行四边形法则求出即可．【详解】解：如图在矩形中，，在中，，， ，．故选：A．9.若，是第二象限的角，则（）A.B.C.2D.-5【答案】D【解析】【分析】先通过三角恒等变换构造齐次式求出，再估算的范围，进而求得结论．【详解】解：，整理得，解得或，∵是第二象限的角，，，，， ∴原式．故选：D．10.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于（）AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据二次函数对称性求和即可．【详解】解：当时，，∴对称轴为，为奇函数，，，关于中心对称，设为图像上任意一点，则在上，，即，对称轴为．作出图像如下： 由图像知有4个根，不妨设，由二次函数的对称性知，，∴所有根的和为．故选：A．11.若数列的前项和为，，则称数列是数列的“均值数列”.已知数列是数列的“均值数列”且通项公式为，设数列的前项和为，若对一切恒成立，则实数的取值范围为（）A.B. C.D.【答案】D【解析】分析】根据题意，求得，进而求得数列的通项公式为，结合裂项法求得数列的前和，得出不等式，即可求得实数的取值范围.【详解】由题意，数列的前项和为，由“均值数列”的定义可得，所以，当时，；当时，，也满足，所以，所以，所以，又对一切恒成立，所以，整理得，解得或.即实数的取值范围为.故选：D.【点睛】数列与函数、不等式综合问题的求解策略：1、已知数列的条件，解决函数问题，解决此类问题一把要利用数列的通项公式，前项和公式，求和方法等对于式子化简变形，注意数列与函数的不同，数列只能看作是自变量为正整数的一类函数，在解决问题时要注意这一特殊性；2、解决数列与不等式的综合问题时，若是证明题中，则要灵活选择不等式的证明方法，如比较法、综合法、分析法、放缩法等，若是含参数的不等式恒成立问题，则可分离参数，转化为研究最值问题来解决. 12.如图，在正方体中，点是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A.当点移动至中点时，直线与平面所成角最大且为B.无论点在上怎么移动，都有C.当点移动至中点时，才有与相交于一点，记为点，且D.无论点在上怎么移动，异面直线与所成角可能是【答案】B【解析】【分析】对于A，利用四面体的等体积法求解直线与平面所成角的正弦值，从而判断正误；对于B，证明正方体的体对角线平面，根据平面，即可判断正误；对于C，根据四点共面，利用梯形几何性质求解，即可判断正误；对于D，根据动点的位置，求解异面直线与所成角的正切值取值范围来判断正误.【详解】解：对于A，设正方体的棱长为1，如图，连接 在正方体中，面对角线，故四面体为正四面体，所以，，则点到平面的距离为，又为正三角形，则当点为的中点时，线段的长度最短，且为，此时直线与平面所成角的正弦值最大，且为，选项A错误；对于B，如图，连接在正方体中，四边形为正方形，所以，又平面，平面，所以，又 平面，所以平面，且平面，所以，同理可得，又平面，所以平面，又平面，所以总有，选项B正确；对于C，如图，连接，当F为的中点时，，此时四点共面，为梯形的对角线，故其交于一点，且，选项C错误；对于D，因为，所以即异面直线与所成的角，该角的正切值为，易知，所以，不在该范围内，故无论点F在上怎么移动，异面直线与所成的角都不可能是，选项D错误.故选：B.二、填空题13.曲线在点处的切线方程是__________．【答案】【解析】【分析】根据导数的几何意义求得切线的斜率，进而求得切线方程．【详解】解：由得 ，，∴过点的切线方程为，即．故答案为：．14.已知向量，，若，则__________．【答案】【解析】【分析】根据向量共线列式计算即可．详解】解：，，∵，，解得．故答案为：．15.中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足，，，则__________．【答案】【解析】【分析】根据正弦定理求解即可．【详解】解：中，由正弦定理得，， ．故答案为：．16.已知函数，，且在上单调递减，则_________．【答案】【解析】【详解】对于函数，，可得函数关于对称，所以有，又在上单调递减，所以有，.三、解答题17.已知函数．（1）求的值；（2）求的最小正周期及单调递减区间．【答案】（1）（2）最小正周期为；单调递减区间是，【解析】【分析】（1）先把函数化成，再代入求值即可； （2）根据求得周期，再由的递减区间求的递减区间即可．【小问1详解】解：由已知得．；【小问2详解】解：由（1）知的最小正周期为．由得，．∴的单调递减区间是，． 18.已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，的面积为，求的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理边化角可求得；（2）根据三角形面积求得，再结合余弦定理可求得，进而求得周长．【小问1详解】解：由正弦定理，可得，又，．，即．又，故．【小问2详解】解：由得，又，即，， 则，故的周长为．19.已知数列的前项和为，，且．（1）证明：数列为等差数列；（2）选取数列的第项构造一个新的数列，求的前项和．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据等差数列的定义证明即可；（2）先求得的通项公式，再结合等比数列的求和公式求得．【小问1详解】解：证明：∵，∴由已知得，即．∴数列是以2为公差的等差数列．【小问2详解】解：由（1）知数列是以2为公差的等差数列，又，首项为，，．． ．20.已知函数，．（1）讨论的单调性；（2）若函数在区间内无零点，求实数的取值范围．【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）【解析】【分析】（1）求导后根据的正负情况分类讨论求得单调区间；（2）当时，递减，抓住得到在上无零点；当时，根据的极值点与的大小关系分两种情况求实数的取值范围．【小问1详解】解：的定义域为，．①当时，，则在递增．②当时，由；由．∴的单调减区间为，单调增区间为．【小问2详解】解：由已知得，．则．①当时，，则在上单调递减， 由得时，恒成立．∴在内无零点．②当时，令，得．若，即时，则在上递减，又时，．要使在内无零点，只需，即；若，即时，则在上递减，在上递增．∴．令，则，∴在上递减，．即，∴在上一定有零点不合题意，舍去．综上，实数的取值范围是．【点睛】本题解题的关键是在（2）中当时，抓住函数过定点；当 时，要善于利用极值点与区间的位置关系分类讨论，从而探究不同情况下函数的性质，把问题转化成由求的范围．21.已知函数f(x)＝－ax，曲线y＝f(x)在x＝1处的切线经过点(2，－1).（1）求实数a的值；（2）设b>1，求f(x)在[，b]上的最大值和最小值.【答案】（1）1；（2）最大值为－1；最小值为－blnb－.【解析】【分析】（1）首先对函数求导，求得的值，利用两点斜率坐标公式求得切线斜率，建立等量关系，求得a的值；（2）结合（1）的结论，得到函数的单调性，应用导数求得函数的最值，得到结果.【详解】（1）由题可得，f(x)的导函数为，∴，依题意，有，即，解得a＝1.（2）由（1）得，，易知，f′（1）＝0，∴f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减.又∵，∴f(x)的最大值为f（1）＝－1.设，其中b>1，则，∴h(b)在(1，＋∞)上单调递增.当b→1时，h(b)→0，可得h(b)>0，则，故f(x)的最小值为.【点睛】该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，应用导数研究函数的最值，属于中档题目. 22.在平面直角坐标系中，曲线：（α为参数）经过伸缩变换得到曲线，在以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为.（1）求曲线的普通方程；（2）设点P是曲线上的动点，求点P到直线l距离d的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）把转化为直角坐标方程，把代入到直角坐标方程中即可（2）设点P的坐标为，把直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程，用点到直线的距离公式表示出点P到直线l距离，进一步求三角函数式的最大值.【详解】解：（1）由题意得曲线：（为参数）的普通方程为.由伸缩变换得代入，得.∴的普通方程为（2）因为，所以可化为：.∴直线l的普通方程为.因为点P是曲线上的动点，所以设点P的坐标为， 则点P到直线l的距离当时，，所以点P到直线l距离d的最大值为.【点睛】考查把参数方程转化为直角坐标方程以及用三角函数知识求点到直线距离的最大值，中档题.