河南省安阳市、鹤壁市、新乡市、商丘市2022-2023学年高三下学期开学考试（理科）数学试题（Word版附解析）

绝密★启用前高三数学考试（理科）考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．2．请将各题答案填写在答题卡上．3．本试卷主要考试内容：高考全部内容．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设全集，集合，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解出集合，利用补集的定义可求得集合.【详解】因为，因此，.故选：C.2.设复数z满足，则z的共轭复数为（）．A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据复数的四则运算，结合共轭复数的概念运算求解．【详解】因为，则，所以.故选：A.3.已知向量，，且，则（）A.1B.2C.3D.4 【答案】B【解析】【分析】根据共线向量的坐标运算求解即可.【详解】因为，所以，解得．故选:B.4.下图是我国跨境电商在2016～2022年的交易规模与增速图，由图可以知道下列结论正确的是（）A.这7年我国跨境电商交易规模的平均数为8.0万亿元B.这7年我国跨境电商交易规模的增速越来越大C.这7年我国跨境电商交易规模的极差为7.6万亿元D.图中我国跨境电商交易规模的6个增速的中位数为13.8％【答案】D【解析】【分析】根据图逐项进行分析即可求解.【详解】对于，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的平均数为：万亿元，故选项错误；对于，由图可知：交易规模的增速并不是越来越大，故选项错误；对于，由图可知：这7年我国跨境电商交易规模的极差为，故选项错误，对于，由图可知：6个增速的中位数为和的平均数，即，故选项正确，故选：. 5.函数的图象大致为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先判断函数的定义域及奇偶性进行排除,根据0到第一个零点处的函数值正负,即可判断选项C,D的正误.详解】解:由题知,定义域为,解得,所以,故为奇函数,排除A,B;令可得,即,解得,当时,,,此时, 故选项D错误,选项C正确.故选:C6.将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，下列说法正确的是（）．A.为奇函数B.在上单调递减C.在上的值域为D.点是图象的一个对称中心【答案】D【解析】【分析】由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可求解.【详解】由题知，，所以A错误；因为，，在上先增后减，所以B错误；因为，，，所以C错误；因为，所以点是图象的一个对称中心，所以D正确．故选：D.7.设椭圆的半焦距为，若，，则的离心率为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由解出，再由离心率公式计算即可. 【详解】由，解得，即的离心率为.故选：C8.在正方体中，E为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）．A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取的中点，连接，，，证明得为异面直线与所成的角或其补角，再根据三角形的知识求解即可.【详解】如图所示，取的中点，连接，，．因为分别为和的中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，所以为异面直线与所成的角或其补角．设，则，，所以．故选：B 9.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，的面积为，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据正弦定理及两角和的正弦公式可得，根据三角形面积公式可求，再由余弦定理即可求解.【详解】因为，所以，整理得，因为，所以．又，所以．因为的面积为，，所以，解得，，所以，则．故选:D.10.如图，青铜器的上半部分可以近似看作圆柱体，下半部分可以近似看作两个圆台的组合体，已知，，则该青铜器的体积为（） A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求出青铜器的上面、中间和下面几何体的体积，即得解.【详解】解：青铜器的最上面的圆柱的体积，中间的圆台的体积为，最下面的圆台的体积为.所以该青铜器的体积为.故选：A11.定义函数,若至少有3个不同的解,则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意可知有解,即,分和两种情况,画出大致图象,找到关键不等式,解出即可.【详解】解:由题知,记,所以图象为图象靠下的位置,因为,有两个根,分别为或,若至少有3个不同的解,则有一个解或者两个解, 即,解得或,当时,,所以对称轴为,若至少有3个不同的解,画大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得;当时,,所以对称轴为,此时大致图象如下:根据图象则需满足,即,解得,又因为,故,当时,,解得根为-1,因为的根为-1,1, 此时的根为-1,1,不满足有三个根,故舍去,综上:.故选:B【点睛】思路点睛:该题考查函数与方程的综合问题,属于难题,关于已知函数有零点求参数范围的思路有:(1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围;(2)分离参数法:先将参数分离,转化为求函数值域问题加以解决;(3)数形结合法:在同一坐标系下,画出有关函数图象,然后数形结合求解即可.12.已知函数，的定义域均为R，，连续可导，它们的导函数分别为，．若的图象关于点对称，，且，与图象的交点分别为，，…，，则下列说法错误的是（）A.是奇函数B.的图象关于直线对称C.的图象关于直线对称D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的对称性可判断A；由函数的对称性可得，两边求导可判断B；设（C为常数），根据可求，从而可判断C；根据与的对称性可判断D.【详解】因为的图象关于点对称，所以为奇函数，故A正确；因为的图象关于点对称，所以，对其两边取导数，得，所以的图象关于直线对称，故B正确；因为，所以（C为常数），由，得，即，令，，解得，，所以的图象关于直线对称，故C正确； 因为，的图象都关于点对称，所以，故D错误．故选:D.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．13.设x，y满足约束条件，则的最小值为__________．【答案】【解析】【分析】先根据条件画出可行域，利用几何意义求最值即可.【详解】由题可得，x，y满足约束条件的可行域如图阴影部分所示：由图可知，点的坐标为，当目标函数平移到点处时，取得最小值，最小值为：.故答案为：.14.已知，则________.【答案】【解析】【分析】根据两角和的正切公式可求出结果. 【详解】因为，所以.故答案为：.15.某居民小区前有9个连成一排的车位，现有4辆不同型号的车辆要停放，则恰有2辆车停放在相邻车位的概率是________.【答案】【解析】【分析】根据捆绑法、插空法，结合古典概型计算公式进行求解即可.【详解】9个车位选4个安排4辆不同型号的车，共有种方法，将余下5个空车位排成一排形成6个空，然后从4辆车中挑出2辆车作排列后进行捆绑，4辆车看作3个元素插入6个空中，共有种方法，由乘法原理结合古典概型计算公式可得满足题意的概率值为：故答案为：16.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，过，分别作抛物线的切线，若，且与交于点M，则的面积的最小值为________.【答案】1【解析】【分析】由直线垂直可构造出斜率关系，得到，通过直线与抛物线方程联立，根据根与系数关系求得；联立两切线方程，可用表示出，代入点到直线距离公式，从而得到关于的面积的函数关系式，求得所求最值．【详解】解：抛物线的方程为，即，所以，设,，,，则，所以切线方程，，由于，所以， 由题意可设直线方程为，抛物线方程联立，得，所以，则，，即即，联立方程得，即，点到直线的距离，，所以．当时，面积取得最小值1．故答案为：1.三、解答题：共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17.已知等比数列的前n项和，为常数.（1）求的值与的通项公式；（2）设，数列的前n项和为，求.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出；（2）利用错位相减法求数列的前项和为即可．【小问1详解】解：当时，， 当时，，是等比数列，，即，所以，数列的通项公式为；【小问2详解】解：由（1）得，，则．．18.如图，四边形是菱形，，平面，，．（1）证明：．（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由菱形的性质结合线面垂直的性质得出．（2）建立坐标系，由向量法求解即可.【小问1详解】证明：连接．因为四边形是菱形，所以． 又平面，所以．因为，所以平面．又，所以平面就是平面，因为平面，所以．【小问2详解】解：设，相交于点O，以O为坐标原点，，所在直线分别为x，y轴建立如图所示空间直角坐标系．不妨设，则设平面的法向量为，，，则，取，可得．取的中点G，连接．易证平面平面，因为是正三角形，所以，从而平面，即是平面的一个法向量．因为，，所以，所以，所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为．19. 某篮球队为提高队员训练的积极性，进行小组投篮游戏，每个小组由两名队员组成，队员甲与队员乙组成一个小组.游戏规则如下：每个小组的两名队员在每轮游戏中分别投篮两次，每小组投进的次数之和不少于3次的称为“神投小组”.已知甲、乙两名队员投进篮球的概率分别为，.（1）若，，求他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率；（2）若，则在游戏中，甲、乙两名队员想要获得297次“神投小组”的称号，理论上他们小组至少要进行多少轮游戏才行？并求此时，的值.【答案】（1）（2）至少需要进行625轮游戏【解析】【分析】(1)根据获得“神投小组”称号的分类求概率即可；(2)利用二项分布概率的数学期望即可求解.【小问1详解】他们在第一轮游戏获得“神投小组”称号的概率等于.【小问2详解】由（1）可知他们在一轮游戏中获得“神投小组”称号的概率为,因为，所以,且，令则，，因为对称轴，所以当时概率最大为，此时，设他们在场比赛获得神投小组称号的次数为，每场获得神投小组称号的概率为， 则，所以，所以，解得，即至少需要进行625轮游戏.20.已知双曲线的离心率为，且点在双曲线C上.（1）求双曲线C的方程；（2）若点M，N在双曲线C上，且，直线不与y轴平行，证明：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）直线的斜率为定值【解析】分析】(1)根据离心率公式确定，再根据双曲线经过点即可求解；(2)利用韦达定理用坐标表示出,进而可求解.【小问1详解】由题可得离心率，所以，又因为，所以，所以双曲线方程为，又因为双曲线过点，所以，解得，所以双曲线方程为.【小问2详解】设直线的方程为，联立得，则得，，得， ，，因为，所以，所以，即，所以，所以即，得或，若，则直线的方程为，即过点，不符合题意，若，则，满足，综上直线的斜率为定值.21.已知函数，为其导函数.（1）若，求的单调区间；（2）若关于的方程有两个不相等的实根，求实数的取值范围.【答案】（1）的单调减区间为，增区间为（2）【解析】【分析】（1）根据函数单调性与导数的关系确定函数的单调区间即可；（2）将方程有两个不相等的实根，转化为函数，在上有两个零点问题，求导数从而讨论函数单调性，结合零点存在定理判断是否符合题意，从而可得实数 的取值范围.【小问1详解】解：函数，，则，令，则，设，则，得，故时，，函数即单调递减，时，，函数即单调递增，所以，又时，，又，所以时，，函数单调递减，时，，函数单调递增，故的单调减区间为，增区间为；【小问2详解】解：关于的方程有两个不相等的实根，即函数，在上有两个零点，又，①当时，，得，所以当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，所以，又时，，，则函数在上有两个零点；②当时，，得，，（i）当时，，此时恒成立，函数单调递增，在上不可能有两个零点，不符合题意；（ii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 所以，，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；（iii）当时，，则当时，，函数单调递增，时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，又，故函数在区间无零点，在不可能存在两个零点，故不符合题意；③当时，方程只有一个实根1，不合题意；综上，实数的取值范围.【点睛】本题考查的是函数单调性、函数零点问题与导数的综合，难度较大.解决含参方程问题得关键是将含参方程转化为函数零点问题，从而利用函数单调性与导数的关系，对参数进行讨论先确定单调性，再结合零点存在定理及函数的极值判断各单调区间零点个数，从而求得参数范围，需要注意的是取值判断函数值符号的过程可结合函数的极限思想看开区间端点处的函数值趋势得正负.（二）选考题：共10分．请考生从第22，23两题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一个题目计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程；（2）已知A，B是曲线C上的两点，且，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先消去参数得到普通方程，利用极坐标与直角坐标方程的互化即可求解；（2）利用的几何意义，将问题转化为关于三角函数的方程，再通过辅助角公式即可求解. 【小问1详解】先将曲线C的参数方程（为参数）化为普通方程，得，再转化成极坐标方程，进一步化简得．【小问2详解】不妨设点A的极坐标为，点B的极坐标为，所以，，所以，所以，所以的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数．（1）求不等式的解集；（2）若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分类讨论，去掉绝对值，分别求解不等式，进而得到不等式解集； （2）根据题意，分和两种情况讨论求解即可.【小问1详解】解：不等式等价于或或，因为的解集为，的解集为，的解集为，所以不等式的解集为．【小问2详解】解：若，不等式等价于，即，所以，当时，恒成立，令，则，即所以，解不等式得或．若，不等式等价于，所以，或在恒成立所以或，解得或．综上，或，即实数a的取值范围是．