河南省部分重点中学2022-2023学年高三理科数学下学期2月开学联考试题（Word版附解析）

高三理科数学考生注意：1．本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3．考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4．本试卷主要命题范围：高考范围。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，集合，则等于（）A．B．C．D．2．若复数满足（是虚数单位），则等于（）A．B．C．D．3．《九章算术》中方田篇有如下问题：“今有田广十五步，从十六步．问为田几何？答曰：一亩．”其意思：“现有一块田，宽十五步，长十六步．问这块田的面积是多少？答：一亩．”如果百亩为一顷，今有田宽480步，长600步，则该田有（）A．12顷B．13顷C．14顷D．16顷4．函数的图象在点处的切线方程是（）A．B．C．D．5．若点是抛物线：的焦点，点，分别是抛物线上位于第一、四象限的点，且轴，，则点的坐标为（）A．B．C．D．6．函数是定义在上的减函数的一个充分不必要条件是（）A．B．C．D． 7．已知函数（）的图象关于直线对称，则函数的最大值为（）A．1B．C．2D．8．已知平面向量，满足，，的夹角为，若，则的最小值为（）A．B．C．D．9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某四棱锥的三视图，则该四棱锥中最长的棱长为（）A．4B．C．D．610．从1，2，3，0这四个数中取三个组成没有重复数字的三位数，则这些三位数的和为（）A．1332B．2544C．3560D．386411．已知双曲线：（，）的渐近线方程为，且焦距为10，过双曲线中心的直线与双曲线交于，两点，在双曲线上取一点（异于，），直线，的斜率分别为，，则等于（）A．B．C．D．12．已知函数，若对于任意的时，恒成立，则实数的取值范围是（）A．B．C．D． 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若实数，满足约束条件则的最小值为______．14．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则______．15．已知边长为3的正的三个顶点都在球（为球心）的表面上，且与平面所成的角为30°，则球的体积为______．16．如图，在中，，，分别是，上的点，满足，．若，则的长为______．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知等比数列的各项均为正数，，．（1）求数列的通项公式；（2）若，数列的前项和为，求．18．（12分）甲、乙两班进行消防安全知识竞赛，每班选出3人组成甲、乙两支代表队，每队初始分均为4分，首轮比赛每人回答一道必答题，答对则为本队得2分，答错或不答扣1分．已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用表示首轮甲队总分．（1）求随机变量的分布列及其数学期望；（2）求在甲队和乙队总分之和为14的条件下，甲队与乙队得分相同的概率．19．（12分）如图，在三棱柱中，平面，， ，为的中点，为上靠近的三等分点．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．20．（12分）已知椭圆：（）的离心率为，且过点．（1）求椭圆的方程；（2）过点作直线与椭圆交于，两点，且椭圆的左、右焦点分别为，，，的面积分别为，，求的最大值．21．（12分）已知函数，为正实数．（1）若在上为单调函数，求的取值范围；（2）若对任意的，，且，都有，求的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程； （2）求曲线与曲线的交点的极坐标．23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）已知函数，．（1）当时，求不等式的解集；（2）当时，若存在，使得成立，求的取值范围．高三理科数学参考答案、提示及评分细则1．B，又，所以．2．C由，得，所以．3．A依题可得该田有顷．4．D，则切线的斜率是，，切线方程是，即．5．A由题知，故，，所以，所以．6．B由题知．7．C由，可得，所以，所以的最大值为2． 8．C由题意，不妨设，，，，又，在以为圆心，1为半径的圆上，所以的最小值为．9．D该四棱锥如图所示，观察可知，最长的棱是，长为．10．D分三种情况：（1）所有不含0的三位数的和为；（2）含0且0在十位上的三位数的和为；（3）含0且0在个位上的三位数的和为．那么可得符合条件的这些三位数之和为．11．B双曲线的两条渐近线方程为，所以，因为焦距为10，所以，又，所以，，故双曲线的方程为．设点，则根据对称性可知，点，，，所以，且，，两式相减可得，．12．A的定义域为，且，所以为奇函数，且当时，单调递增，所以在 上单调递增．，即，所以，可得，所以，设，，因为，所以，单调递增，，所以，所以．13．约束条件所表示的平面区域如图阴影部分所示，则当，时，取得最小值为．14．5直线的斜率为，则．则．15．设正的外接圆圆心为，易知，在中，，即球的半径，故球的体积为．16．设，则，又由已知可得，在中，由正弦定理可得①；在中，由正弦定理可得②．①÷②得，又， ，所以，，所以，，，所以．17．解：（1）设等比数列的公比为，因为，，所以，解得或（舍去），所以．（2）因为，所以．18．解：（1）的可能取值为1，4，7，10，；；；．所以的分布列为14710．（2）设“甲队和乙队得分之和为14”为事件，“甲队与乙队得分相同”为事件，则，，所以．19．（1）证明：因为平面，平面，所以，因为，所以，因为，为中点，所以． 又，所以平面，因为平面，所以平面平面．（2）解：由（1）及题意知，，，两两互相垂直，故以点为原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，．设平面的一个法向量为，则所以令，所以，，，设平面的一个法向量为，则所以令，则，所以．设二面角的平面角为，易知为锐角，所以，所以二面角的余弦值为． 20．解：（1）由椭圆的离心率为，且过点得椭圆的方程为．（2）当直线的斜率不存在时，，则；当直线斜率存在且不等于零时，设直线：，联立可得，设，，则，，，显然，在轴两侧，，异号，所以，当且仅当，时，取等号．所以的最大值为．21．解：（1）时，，，因为函数在上为单调函数，当时，，所以， 所以，即的取值范围为．（2）因为，所以，所以在区间上是减函数．①当时，．由在上恒成立．设，所以（），所以在上为增函数，所以．②当时，．由在上恒成立．令，所以在上为增函数，所以，综上：的取值范围为．22．解：（1）（为参数）化为普通方程为，即，把代入，可得，即的极坐标方程为．（2）曲线的直角坐标方程为，由得或 则与的交点的极坐标为和．（也可直接用极坐标计算得到）23．解：（1）当时，则由，得；由，得无解；由，得．所以不等式的解集为或．（2）当时，若存在，使成立，则，，所以的取值范围为．