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河南省十市2022-2023学年高三数学(理)下学期开学大联考试题(Word版附解析)
河南省十市2022-2023学年高三数学(理)下学期开学大联考试题(Word版附解析)
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高三理科数学考生注意:1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分,考试时间120分钟.2.答题前,考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时,请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效,在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本试卷主要命题范围:高考范围.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合,则M∩N=()A.B.C.D.2.已知复数是纯虚数,则m=()A.3B.1C.-1D.-33.古代名著《九章算术》中记载了求“方亭”体积的问题,方亭是指正四棱台.今有一个方亭型的水库,该水库的下底面的边长为20km,上底面的边长为40km,若水库的最大蓄水量为,则水库深度(棱台的高)为()A.10mB.20mC.30mD.40m4.已知抛物线C:,过焦点F的直线与C在第四象限交于M点,则|MF|=()A.3B.4C.5D.65.记为等差数列的前n项和,已知,,则()A.3B.C.2D.6.执行如图所示的程序框图,则输出的k的值为() A.14B.15C.16D.177.某部门统计了某地区今年前7个月在线外卖的规模如下表:月份代号x1234567在线外卖规模y(百万元)111318★28★35其中4、6两个月的在线外卖规模数据模糊,但这7个月的平均值为23,若利用回归直线方程来拟合预测,且7月相应于点(7,35)的残差为-0.6,则()A.1.0B.2.0C.3.0D.4.08.已知的展开式中的系数为-40,则实数m=()A.4B.2C.-2D.-49.记函数的最小正周期为T,若,且函数f(x)的图象关于点(,-3)对称,则当取最小值时,()A.2B.1C.-1D.-210.已知曲线在点A处的切线,与x轴交于点B,曲线在点C处的切线与x轴交于点D,若,则的最小值为()A.B.C.2D.311.已知F是双曲线E的右焦点,O为坐标原点,A是E的右支上一 点,若,则E的离心率为()A.B.C.D.212.已知函数f(x),g(x)的定义域为R,且,若g(x)为偶函数,,则()A.24B.26C.28D.30二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量,若,则实数a=___.14.写出与圆和都相切的一条直线的方程___.15.已知球O的半径为2,四棱锥的顶点均在球O的球面上,当该四棱锥的体积最大时,其高为___.16.现取长度为2的线段MN的中点,以为直径作半圆,该半圆的面积为(图1),再取线段的中点,以为直径作半圆,所有半圆的面积之和为(图2),再取线段的中点,以为直径作半圆,所有半圆的面积之和为,以此类推,则___.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤,第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,.(1)证明:为定值;(2)若,求△ABC的周长. 18.(12分)青少年近视问题备受社会各界广泛关注,某研究机构为了解学生对预防近视知识的掌握程度,对某校学生进行问卷调查,并随机抽取200份问卷,发现其得分(满分:100分)都在区间[50,100]中,并将数据分组,制成如下频率分布表:分数[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频率0.150.25m0.300.10(1)试估计这200份问卷得分的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值代表);(2)用样本估计总体,用频率估计概率,从该校学生中随机抽取4人深入调查,设X为抽取的4人中得分在[70,100]的人数,求X的分布列与数学期望.19.(12分)在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,.(1)证明:平面PCD⊥平面PBC;(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)已知椭圆E的中心为坐标原点O,对称轴分别为x轴、y轴,且过A(-1,0),B(,-1)两点.(1)求E的方程;(2)设F为椭圆E的一个焦点,M,N为椭圆E上的两动点,且满足,当M,O,N三点不共线时,求△MON的面积的最大值.21.(12分)已知函数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若是f(x)的两个极值点,证明.(二)选考题:共10分,请考生在第22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.22.[选修:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l的极坐标方程为. (1)求曲线C的普通方程;(2)若l与C有两个不同公共点,求m的取值范围.23.[选修4-5:不等式选讲](10分)已知函数.(1)求不等式的解集;(2)设函数,若对任意,都存在,使得成立,求实数a的取值范围.高三理科数学参考答案、提示及评分细则1.D因为,所以.2.B,由题意可知,解得.3.A设水库深度为hkm,由题意,,解得,即.4.C由题意可知,F的坐标为(1,0),则=1,所以,则抛物线C的方程为,设,由,解得,所以.5.D设等差数列的公差为d,由,得,解得,则,,所以.6.B由题知,时,,开始出现,故输出的k的值为157.B,所以.因为相应于点(7, 35)的残差为-0.6,则点(7,35.6)在回归直线,即,解得,则.8.A法一:的展开式中的项只有和,因此的系数为,由题意可知,解得.法二:因为,若,则k=3,r=3或k=4,r=5,所以的系数为,解得.9.D由题意可知,,由,得,所以,因为,所以,又函数f(x)的图象关于点(,-3)对称,所以,所以,当时,取得最小值4,则,故.10.C法一:设,则.所以直线AB的方程为,令,得x=,则,所以,设,则,同理|CD|=,由得,,所以,则,所以,令,则,则,令 ,解得,令,解得,所以h(t)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,则,所以的最小值为.法二,当且仅当,即时两个“=”同时成立,所以|AB|+1CD|的最小值为.11.A法一:若点A是E的右顶点,则,又,得,这是不可能的.不妨设点在第一象限,由题意可知,,则,所以,在△OAF中,则,则,将点(,)代入E的方程得,整理得,即,所以,则,所以E的离心率为.法二:设点在第一象限,由题意可知,|OF|=c,则,所以,有中,,则,由双曲线的第二定义可知,即,解得,所以,因此E的离心率为.12.B因为g(x)为偶函数,所以,由,得,所以f(3-x)=),则f(x)的图象关于直线对称.由 ,得,将其代入g(x)+,得,则,所以,则,所以,则g(x)的一个周期为8,由,得,由,,由,得,由,得,,,2,则,13.,由,得,解得.14.或或(答案不唯一,3个中任填一个即可)易知圆和外切,显然与这两圆都相切.设直线与圆和都相切,则且,所以,令,则,解得或t=-3,当时,解得,此时,直线方程为;当时,,解得,当时,b=;当时,,所以直线方程为或.15.四棱锥的底面内接于圆,当底面为正方形时,底面面积最大(论证如下:设底面四边形ABCD的外接圆半径为r,AC与BD的夹角为,则四边形ABCD的面积,当且仅当四边形ABCD是正方形时,四边形ABCD的面积取到最大值)要使四棱锥的体积最大,则从顶点作底面的垂线过球心O,该四棱锥为正四棱锥,设底面的边长为a,四棱锥的高为h,底面外接圆的半径为 ,由题意可知,,即,所以,则,四棱锥的体积为,令,则,由,得,由,得,由x∈(,4),得,所以在上单调递增,在上单调递减,则当时,f(x)取得极大值,也就是最大值,此时.16.易知,在第n个图中,从第2个半圆起,每个半圆的面积为前一个半圆面积的,则,,设,①,②由①-②得,, 所以,故.17.(1)证明:由题知所以,则,由正弦定理得,,…………3分由余弦定理得,整理得,,,故为定值,得证.………………6分(2)解:由及余弦定理可知,,又,所以,则.........................9分又,所以,故△ABC的周长为.…………12分18.解:(1)由频率分布表可知..........................2分这200份问卷得分的平均值估计为.......4分(2)从该校学生中随机抽取1人,此人得分在[70,100]的概率为,由题意可知,,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,.........5分 所以X的分布列为X01234P………………10分所以,(或E).………………12分19.(1)证明:连结BD,因为PD⊥底面ABCD,BC平面ABCD,所以........................................1分因为,所以,又,所以,则..........................................2分又,PD平面PCD,CD平面PCD,所以BC⊥平面PCD,………………3分以BC平面PBC,故平面PCD⊥平面PBC.…………4分(2)解:延长AD与过C且平行于AB的直线交于点E,设,则,过C作CF⊥AB,则,所以, 联立解得(舍去),或.....................................6分以D为坐标原点,以DA,DP所在直线分别为x轴,z轴,以过D点且平行于AB的直线为y轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(,0,0),B,4,0),P(0,0,4),C,所以.........................8分设平面PAB的一个法向量为,由,得,取,则................9分设平面PBC的一个法向量为,由,得取,则....10分 于是,故二面角P-AB-C的余弦值为.………………12分20.解:(1)设E的方程为,由题意可知,,解得...................2分故E的方程为.………………3分(2)由椭圆的对称性,不妨设F为下焦点,则F(0,-1),所,因为,所以直线MN的斜率为1,设直线MN的方程为,………………4分由,消去y并整理得,则,所以且...........................6分,所以.......................................8分原点O到直线MN的距离为,………………9分则△MON的面积为 ,当且仅当,即,△MON的面积大......11分显然满足且,所以△MON的面积的最大值为.………………12分21.解:(1)易知f(x)的定义域为..........1分当时,由,得,由,解得(舍去).时,时,,所以f(x)在上单调递增,在)上单调递减...........2分当时,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增..........................3分当时,,所以f(x)在上单调递增..........................4分当时,由,得,时,时,,所以f(x)在(0,)上单调递增,在上单 调递减,在上单调递增.…………5分(2)由(1)可知.是方程的两根,则.........6分将代入上式可得..............7分要证明,需证,即证,………………8分因为,所以,只需证明,设,则,只需证明,即证............10分令,则,所以g(t)在(1,+∞)上单词递减,可得,所以.故………………12分22.解:(1)因为,且.........2分 所以,则曲线C的普通方程为...................5分(2)由,化为直角坐标方程为....................6分由消去y并整理得....................................8分则解得,故m的取值范围为(2,)………………10分23.解:(1)…………2分当时,由,得;当时,恒成立;当时,由,得.综上,的解集为.………………5分(2)因为对任意,都存在,使得,所以………………6分又 ,等号都能取到.......8分所以,解得,所以实数a的取值范围是[,]………………10分
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高中 - 数学
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