河南省新乡市多校联考2022-2023学年高三数学（文）下学期入学测试试题（Word版附解析）

2022~2023学年新乡市高三年级入学测试数学（文科）考生注意：1．本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。考试时间120分钟。2．请将各题答案填写在答题卡上。3．本试卷主要考试内容：高考全部内容。第I卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则（）A．B．C．D．2．已知复数x满足，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．在2022年某地销售的汽车中随机选取1000台，对销售价格与销售数量进行统计，这1000台车辆的销售价格都不小于5万元，小于30万元，将销售价格分为五组：（单位：万元）．统计后制成的频率分布直方图如图所示．在选取的1000台汽车中，销售价格在内的车辆台数为（）A．800B．600C．700D．7504．已知直线l交抛物线于M，N两点，且MN的中点为，则直线l的斜率为（） A．B．C．3D．5．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则（）A．B．C．D．6．已知体积为3的正三棱锥，底面边长为，其内切球为球O，若在此三棱锥中再放入球，使其与三个侧面及内切球O均相切，则球的半径为（）A．B．C．D．7．如图，程序框图的算法思路源于欧几里得在公元前300年左右提出的“辗转相除法”．执行该程序框图，若输入，则输出m的值为（）A．6B．12C．18D．248．在中，，设点P，Q满足．若，则（）A．B．C．D． 9．已知函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若图象相邻对称轴间的距离为，对任意x，都有，且，则（）A．的最大值为B．的图象关于点中心对称C．的图象关于直线对称D．在上单调递增10．已知函数若的最小值为6，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．11．已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点的直线l与双曲线的右支交于A，B两点，则和的内切圆面积之和的取值可能是（）A．B．C．D．12．设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（）A．B．C．D．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在答题卡的相应位置。13．设x，y满足约束条件，则的最小值为___________．l4．若．则___________． 15．在长方体中，，M是棱上一点，且，则异面直线CD与BM所成角的余弦值为___________．16．已知函数满足：，，则___________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分17．（12分）已知数列满足．（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．18．（12分）在数字化时代，电子书阅读给人们的阅读方式、认知模式与思维习惯带来了改变，电子书阅读的快速增长也再次引发人们对相关问题的思考．某地对本地群众（中老年人与年轻人）的年龄与阅读习惯（经常电子阅读与经常纸质阅读）进行了调查统计，得到如下列联表：年轻人中老年人合计经常电子阅读503585经常纸质阅读xy115合计MN200设从经常电子阅读的人中任取1人，记抽取的中老年人数为；从经常纸质阅读的人中任取1人，记抽取的中老年人数为．已知．（1）求列联表中x，y，M，N的值，并判断是否有的把握认为阅读习惯与年龄有关；（2）从年轻人中按阅读习惯用分层抽样的方法抽出6人，再从抽出的6人中用简单随机抽样的方法抽取4人，若其中经常电子阅读的人数为X，求．参考公式及参考数据： ，其中．0.100.050.0100.0052.7063.8416.6357.87919．（12分）在四棱锥中，底面ABCD是矩形，平面ABCD，．以AC的中点为球心，AC为直径的球面交PD于点M，交PC于点N（异于C）．（1）证明：M为PD的中点．（2）若四棱锥的体积为，求N到平面ACM的距离．20．（12分）已知函数和有相同的最大值．（1）证明：函数在上有且仅有一个零点．（2）若对任意，存在，使得，求mn的最小值．21．（12分）已知椭圆，的三个顶点都在椭圆C上，且P为椭圆C的左顶点，直线AB经过点．（1）求面积的最大值．（2）若三边所在的直线斜率都存在，且分别记为，试判断是否为定值．若是，求出该定值；若不是，请说明理由． （二）选考题：共10分。请考生从第22，23两题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线，的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线和曲线的直角坐标方程；（2）设，曲线与曲线的交点为A，B，求的值．23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若对任意，恒成立，求a的取值范围．2022~2023学年新乡市高三年级入学测试数学参考答案（文科）1．B因为，所以．2．D因为，所以z在复平面内对应的点位于第四象限3．C由频率分布直方图知，，所以，所以销售价格在内的频率为，故销售价格在内的车辆台数为．4．C易知直线l的斜率存在，设直线l的斜率为k，，则两式相减得，整理得．因为MN的中点为，所以，即直线l的斜率为3． 5．B因为，所以．因为，所以.6．D设内切球O的半径为r，球的半径为R．因为正三棱锥的体积为3，底面边长为，所以可求得侧棱长为，进而可得三棱锥的表面积为．由，得．用一平行于底面ABC的平面去截此三棱锥，得到一个高为的棱台，那么截下去的棱锥的高是原棱锥的，根据相似关系，截下去的棱锥的体积为，根据等体积法，，解得．7．A题中程序框图为用辗转相除法求2022和1314的最大公约数．因为，，，，，，所以2022和1314的最大公约数为6．8．C设，则，，，，由，得，即．9．D因为，所以为奇函数．因为图象相邻对称轴间的距离为，所以的周期为．因为，所以．因为，所以．因为，所以，所以．因为，所以A错误．令，得，所以图象的对称中心为，故B错误．令 ，得，所以图象的对称轴为，故C错误．令，得，所以的单调递增区间为，故D正确．10．C因为当时，，当且仅当时，等号成立，所以当时，，当时，的最小值大于或等于6．当时，在上单调递减，则．由得．当时，．由得．综合可得．11．A设直线l的倾斜角为，则．设与圆的切点分别为M，N，E，因 为，所以．设和的内切圆圆心分别为，半径分别为，因为，所以，所以，即．因为，所以，所以，又所以，所以所求面积之和的取值范围是．12．B因为，所以为奇函数．令，则，所以在上单调递增．因为为偶函数，所以在上单调递减．不等式等价于，因为，所以，所以不等式等价于，所以，即．13．作出可行域（图略），当直线经过点时，z有最小值，．14．因为，所以.15．因为，所以即异面直线CD与BM所成角．连接AM（图略），因为，，所以．在中，，所以，故异面直线CD与BM所成角的余弦值为． 16．令，得，取，得，同理，联立得，所以的周期为6，故．17．解：（1）因为，所以数列是首项为，公差为2的等差数列．2分所以，4分所以，即的通项公式为．6分（2）由（1）可得，7分所以，10分所以．12分18．解：（1）因为，所以，2分解得．4分因为，5分所以有的把握认为阅读习惯与年龄有关．6分（2）由题意可知，抽出的6人中，经常电子阅读的有3人，分别记为A，B，C，经常纸质阅读的有3人，分别记为a，b，c，8分从中抽取4人，则基本事件有，共15种，10分其中的基本事件有 ，共9种11分所以．12分19．（1）证明：因为AC是所作球面的直径，所以．2分因为平面ABCD，所以．3分因为，所以平面PAD，所以，所以平面PCD，所以．4分因为，所以M为PD的中点．5分（2）解：因为四棱锥的体积为，所以，所以．6分因为底面ABCD是矩形，所以．因为，所以．因为，所以，得．7分因为，所以N到平面ACM的距离等于P到平面ACM距离的．8分因为M是PD的中点，所以P，D到平面ACM的距离相等．因为，所以的面积为．9分因为四棱锥的体积为，所以三棱锥的体积为．10分 记D到平面ACM的距离为d，因为三棱锥与三棱锥的体积相等，所以，得，11分故N到平面ACM的距离为．12分20．（1）证明：，令，得．当时，若，则，若，则，所以在上单调递增，在上单调递减，所以；2分当时，为常数函数，显然不合题意；当时，若，若，则，所以在上单调递减，在上单调递增，所以有最小值，无最大值，不合题意．3分因为，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，4分则，得．5分因为．所以，当时，， 所以，所以在上单调递增，6分又，故在上有且仅有一个零点．7分（2）解：由（1）知，所以等价于．8分又因为，所以，所以．由（1）知函数在上单调递增，所以由，得，9分所以．10分令，则，显然当时，，当时，，所以在上单调递减，在上单调递增，所以，即当时，mn的最小值为.12分21．解：（1）因为椭圆C的方程为，所以椭圆C的左顶点．1分设直线AB的方程为，联立方程组得，则，3分所以．4分 因为点P到直线AB的距离，5分所以．因为，所以当，即时，面积取得最大值，最大值为．6分（2）由（1）可知，8分所以，所以为定值，且．12分22．解：（1）曲线的极坐标方程为，因为，所以，2分即曲线的直角坐标方程为．因为曲线的极坐标方程为，且，所以曲线的直角坐标方程为即．5分 （2）因为在曲线上，所以曲线的参数方程为6分将曲线的参数方程代入中，得，设A，B对应的参数分别为，则，所以．8分因为，所以．10分23．解：（1）由题知，当时，，所以2分因为，所以或或4分解得或或，所以不等式的解集为．5分（2）因为，所以，7分所以，所以，即，所以，解得，所以a的取值范围为．