陕西省渭南市2023届高三理科数学下学期教学质量检测（Ⅰ）试题（Word版附解析）

渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（理科）命题人：王建龙韩黎波蔡雯伟注意事项：1.本试题满分150分，考试时间120分钟.2.答卷前务必将自己的姓名、学校、班级、准考证号填写在答题卡和答题纸上.3.将选择题答案填涂在答题卡上，非选择题按照题号完成在答题纸上的指定区域内.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则A.B.C.D.2.设复数满足，则的虚部是A.B.2C.D.3.已知向量，，若，则A.B.C.D.204.抛物线的焦点坐标为A.B.C.D.5.2022年6月5日上午10时44分，我国在酒泉卫星发射中心使用长征二号F运载火箭，将神舟十四号载人飞船和3名中国航天员送入太空这标志着中国空间站任务转入建造阶段后的首次载人飞行任务正式开启.火箭在发射时会产生巨大的噪音，已知声音的声强级（单位：）与声强（单位：）满足.若人交谈时的声强级约为，且火箭发射时的声强与人交谈时的声强的比值约为，则火箭发射时的声强级约为A.B.C.D.6.如图，在直三棱柱中，，且，，分别是棱，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是 A.B.C.D.7.为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计LOGO的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的LOGO，那么该同学所选的函数最有可能是A.B.C.D.8.若，，则A.B.C.D.9.已知函数在上单调递增的概率为，且随机变量.则附：，则，.A.0.1359B.0.1587C.0.2718D.0.341310.在中，内角，，对应的边分别为，，，且，若的面积，则的最小值为A.1B.C.D.12 11.已知双曲线（，）的右焦点为，点，分别为双曲线的左，右顶点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线在第一，二象限分别交于，两点，若（为坐标原点），则该双曲线的离心率为A.B.C.2D.12.已知函数，，的定义域均为，为的导函数.若为偶函数，且，.则以下四个命题：①；②关于直线对称；③；④中一定成立的是A.①④B.②③C.①②③D.①②④二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数，满足约束条件，则的最大值是_____________.14.杜甫的“三吏三别”深刻写出了民间疾苦及在乱世中身世飘荡的孤独，揭示了战争给人民带来的巨大不幸和困苦，“三吏”是指《新安吏》《石壕吏》《潼关吏》，“三别”是指《新婚别》《无家别》《垂老别》.语文老师打算从“三吏”中选二篇，从“三别”中选一篇推荐给同学们课外阅读，那么语文老师选的三篇文章中，含《新安吏》和《无家别》的概率是_______________.15.将函数和直线的所有交点从左到右依次记为，，…，，若，则____________.16.勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机.勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为1，则勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为_______；用过，，三点的平面去截勒洛四面体，所得截面的面积为_____________. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本题满分12分）设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列.（Ⅰ）求的通项公式；（Ⅱ）设，求数列前项和.18.（本题满分12分）在四棱锥中，平面平面，四边形为直角梯形，，，，，，为的中点，且点满足.（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）当四棱锥的体积最大时，求二面角的正弦值.19.（本题满分12分）某企业研发了一种新药，为评估药物对目标适应症患者的治疗作用和安全性，需要开展临床用药试验，检测显示临床疗效评价指标的数量与连续用药天数具有相关关系.随机征集了一部分志愿者作为样本参加临床用药试验，并得到了一组数据，其中表示连续用药天，表示相应的临床疗效评价指标的数值.根据临床经验，刚开始用药时，指标的数量变化明显，随着天数增加，的变化趋 缓.经计算得到如下一些统计量的值：，，，，.（Ⅰ）求样本的相关系数（精确到0.01）；（Ⅱ）新药经过临床试验后，企业决定通过两条不同的生产线每天8小时批量生产该商品，其中第1条生产线的生产效率是第2条生产线的两倍.已知第1条生产线出现不合格药品的概率为0.009，第2条生产线出现不合格药品的概率为0.006，两条生产线是否出现不合格药品相互独立.①随机抽取一件该企业生产的药品，求该药品不合格的概率；②若在抽查中发现3件不合格药品，求其中至少有2件药品来自第1条生产线的概率.附：相关系数，.20.（本题满分12分）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长.某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用一张圆形纸片，按如下步骤折纸（如图）步骤1：设圆心是，在圆内异于圆心处取一点，标记为；步骤2：把纸片折叠，使圆周正好通过点；步骤3：把纸片展开，并留下一道折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，就能得到越来越多的折痕.已知这些折痕所围成的图形是一个椭圆.若取半径为6的圆形纸片，设定点到圆心的距离为4，按上述方法折纸.（Ⅰ）以点、所在的直线为轴，建立适当的坐标系，求折痕围成的椭圆的标准方程；（Ⅱ）若过点且不与轴垂直的直线与椭圆交于，两点，在轴的正半轴 上是否存在定点，使得直线，斜率之积为定值？若存在，求出该定点和定值；若不存在，请说明理由.21.（本题满分12分）已知函数，其中，为的导函数.（Ⅰ）当，求在点处的切线方程：（Ⅱ）设函数，且恒成立.①求的取值范围；②设函数的零点为，的极小值点为，求证：.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（Ⅰ）求曲线的普通方程；（Ⅱ）若曲线与直线交于，两点，求的面积.23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知关于的不等式有解.（Ⅰ）求实数的最大值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，已知，，为正数，且，求的最小值.渭南市2023届高三教学质量检测（Ⅰ）数学试题（理科）参考答案一、选择题（每小题5分，共60分）题号123456789101112答案BDCCBAABABAD 二、填空题（每小题5分，共20分）13.814.15.1016.，（本题第一空2分，第二空3分）三、解答题17.解：（Ⅰ）∵∴∴∴当时，又适合上式，因此（Ⅱ）注：第一问学生如果是通过计算，，观察归纳得到，结果正确第一问给4分.18.解：（Ⅰ）取，中点，，连接，，，在梯形中，且，而，分别为，中点，∴，，∴，，即四边形是平行四边形，∴，又，为中点，∴为中点，又为中点，∴，故，又平面，平面，∴平面（2）在平面内，过作交于.∴平面平面，平面平面，平面，， ∴平面，则为四棱锥的高，又底面面积确定，要使多面体体积最大，即最大，此时，，为的中点，连结，易得，易知，，两两垂直，以为原点建立如图所示的平面直角坐标系，∴，，，，则，，，设为平面的一个法向量，则，即，取，设为平面的一个法向量，则，即，取，∴，∴二面角的正弦值为另解：（Ⅰ）由题目易知，，又平面平面，平面平面可得平面，平面，又不妨设，以为原点，，分别为轴，轴，过点且垂直于平面的直线为轴建立空间直角坐标系，，为中点，， 设，由，可得，则取平面的一个法向量，可得，，又直线不在平面内，平面（Ⅱ）以此法建立坐标系时，可计算出平面的一个法向量，平面的一个法向量，答案同解法一.19.解：（Ⅰ）样本的相关系数为.（Ⅱ）（ⅰ）设“随机抽取一件该企业生产的药品为不合格”，“随机抽取一件药品为第1条生产线生产”，“随机抽取一件药品为第2条生产线生产”，则，，又，，于是（ⅱ）在抽查中发现的任一件不合格药品来自第1条生产线的概率为：，故3件不合格药品中至少有2件药品来自第1条生产线的概率为20.解：（Ⅰ）如图，以所在的直线为轴，的中点为原点建立平面直角坐标系 设为椭圆上一点，由题意可知，所以点轨迹是以，为焦点，长轴长的椭圆因为，，所以，，则，所以椭圆的标准方程为（Ⅱ）解：由已知：直线过，设的方程为，联立两个方程得，消去得，得，设，，则，（*），，将（*）代入上式，可得上式，要使为定值，则有，又∵，∴，此时，∴存在点，使得直线与斜率之积为定值，此时21.（Ⅰ）时，，，， ，所以函数在处的切线方程，即（Ⅱ）①由题设知，，，，由，得，所以函数在区间上是增函数；由，得，所以函数在区间上是减函数.故在处取得最小值，且.由于恒成立，所以，得，所以的取值范围为②设，则.设，则，故函数在区间上单调递增，由（1）知，，所以，，故存在，使得，所以，当时，，，函数单调递减；当时，，，函数单调递增.所以是函数的极小值点.因此，即由①可知，当时，，即， 整理得，所以.因此，即.所以函数在区间上单调递增.由于，即，即，所以.又函数在区间上单调递增，所以22.（Ⅰ）由得，代入整理得，即，故曲线的普通方程为.（Ⅱ）直线的普通方程为，此时直线过圆心，即为直径，原点到直线的距离，23.（Ⅰ）因为，当且仅当等号成立所以的最大值为3.因为不等式有解，所以，解得，所以实数的最大值.（Ⅱ）由（1）知，，因为（当且仅当时，等号成立），，当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为36.