河南省名校联盟2022-2023学年高三上学期1月新未来联考理科数学试题（Word版附解析）

2023年普通高等学校全国统一模拟招生考试新未来元月联考理科数学一、选择题：本大题共小题，每小题分，共分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，设全集，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出集合中元素范围，再根据集合的运算逐一判断选项即可.【详解】，，，则，，，故选：C.2.复数（）A.B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的乘方运算求解即可.【详解】解：.故选：B. 3.的展开式中，的系数为（）A.16B.C.6D.【答案】D【解析】【分析】写出的展开式，再根据展开式求中含的项即可得答案.【详解】，则中含的项为，的系数为，故选：D.4.已知圆上的点均满足则的最大值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分别求出圆心到两直线的距离，进行比较即可求解.【详解】因为圆上的点均满足所以即在圆上，又在两直线之间，画出图形，如图圆心到直线的距离，点到直线的距离， 因为，由图可知所以的最大值为，故选：.5.某公司对2021年的营收来源进行了统计，并绘制饼图如图所示．在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．则下列说法错误的是（）A.该公司在华东地区的营收额，约为东北地区营收额的三倍B.该公司在华南地区的营收额，比西南地区的营收额和河南省的营收额之和还要多C.该公司2021年营收总额约为20300万元D.该公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比约为34.18%【答案】ACD【解析】【分析】根据饼图，结合选项逐一判断即可.【详解】A：因为，所以本选项正确；B：因为在华中地区的三省中，河南省的营收额最少，所以河南省的营收额为，因为，所以本选项不正确；C：因为在华中地区的三省中，湖北省的营收额最多，河南省的营收额最少，湖南省的营收额约1421万元．所以有，因此本选项正确；D：因为在华中地区的三省中，河南省的营收额最少，所以公司在湖南省的营收额，在华中地区的营收额的占比为，因此本选项说法正确；故选：ACD 6.已知点是抛物线上任意一点，则点到抛物线的准线和直线的距离之和的最小值为（）A.B.4C.D.5【答案】C【解析】【分析】点到直线的距离为，到准线的距离为，利用抛物线的定义得，当，和共线时，点到直线和准线的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案．【详解】解：由抛物线知，焦点，准线方程为，根据题意作图如下；点到直线的距离为，点到的距离为；由抛物线的定义知：，所以点到直线和准线的距离之和为，且点到直线的距离为，所以点到直线和准线的距离之和最小值为．故选：C．7.已知均为锐角，且，则（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用题目信息以及平方关系分别计算得角的正弦、余弦值，再利用两角差的正弦公式即可求得结果.【详解】由得，又，即又均为锐角，所以故选：C8.已知一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半径为2且圆心角为的扇形，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据三视图可推得其为圆锥，根据圆锥体积公式即可得到答案.【详解】由三视图可知,该几何体是底面半径为2，高为2的圆锥的,所以体积. 故选：D.9.已知定义在上的奇函数满足，且当时，．若关于的方程在上有且仅有四个实数解，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先判断函数的周期，并根据条件求，并画出函数在区间的图象，转化为函数与函数的交点个数求参数的取值范围.【详解】因为，所以函数的周期为8，，又函数是奇函数，所以，所以，得，当时，，利用函数是奇函数，画出函数在区间的图象，若方程在上有且仅有四个实数解，则函数与函数有4个交点，即则.故选：D10.已知直线与双曲线的两条渐近线交于两点，且点在第一象限.为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（） A.B.C.2D.5【答案】B【解析】【分析】根据给定的双曲线方程求出渐近线方程，再与直线方程联立求出点A，B的坐标，然后列式求出a，b的关系即可.【详解】双曲线的渐近线方程为或，显然直线与直线交点在第一象限，则有，即，由解得，即点，由解得，即点，而，即，整理得，所以双曲线的离心率.故选：B11.在中，角所对的边分别为，面积为，且.当取得最大值时，的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据面积公式以及正弦定理得，进而根据不等式求解的最值，即可得，，进而根据余弦定理即可求解.【详解】由得,由正弦定理得， 因此，当且仅当时取等号，故当时，取到最大值3，此时，，故，故选：A12.已知曲线与曲线在处的切线互相平行，记，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据切线平行可得斜率相等，即，构造函数利用导数求解单调性进而判断其零点，得，即可根据排除求解.或者构造函数，利用函数的单调性进而得到不等式，即可利用放缩法进行求解.【详解】由题意知：，，由于两曲线在处的切线互相平行，因此，记，故当时，，此时单调递增，当时，，此时单调递减，且，当时，，故至多一个根，而，故，因此的根满足，所以，设，因此在单调递增，则 ，故，所以故，设，当时，，当时，，因此当时，取最小值，又，，因此当时，，因此在单调递减，故，因而，因此，由，得，，由因此，故选：B【点睛】本题考查了数列以及不等式还有导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，根据切线得到等量关系，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知非零向量满足，且，则向量夹角的大小为___________.【答案】【解析】【分析】直接根据数量积的定义公式计算即可. 【详解】，，得，又，故答案为：.14.已知函数在上单调递增，且在上有最大值．则的取值范围为__________．【答案】【解析】【分析】通过函数在上单调递增，求出的范围，再根据在上有最大值可得，进而即得.【详解】由，可得，又函数在上单调递增，所以，所以，又函数在上有最大值，所以，即，综上，.故答案为：.15.已知函数.若存在，，使得曲线在，处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________.【答案】【解析】 【分析】将化为分段函数并求导，根据导数的几何意义得，即，再由推出，代入可求出结果.【详解】，，因为，且，所以,，所以，，所以，所以，又，得，所以，即.故答案为：16.如图，三棱锥的侧面展开图在以为圆心，2为半径的圆上，其中为三棱锥的顶点在展开图中的对应点.已知，则三棱锥的外接球的半径为___________.【答案】【解析】【分析】根据题意画图，设点是点在平面上的射影，可得点是的外心，根据正余弦定理求得外接圆半径，确定高度的值，在结合图形则三棱锥的外接球的球心在射线上，利用勾股定理计算可得三棱锥的外接球的半径.【详解】解：如图，在三棱锥，设点是点在平面上的射影，连接， 则平面，又平面，所以，由题可得，所以，则点是的外心，为外接圆半径，则三棱锥的外接球的球心在射线上，又在中，可得，，由余弦定理得，又，所以，由正弦定理得，所以，则，设三棱锥的外接球的半径为，则在中，，可得，即，解得.故三棱锥的外接球的半径为.故答案为：.三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（―）必考题：共60分.17.在如图所示的七面体中，底面为正方形，平面.已知. （1）设平面平面，证明：平面；（2）若平面平面，求的长.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由线面平行的判定定理可得∥平面，再利用线面平行的性质定理可证得∥，然后由线面平行的判定定理可得结论；（2）以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，表示出平面和平面的法向量，然后由两平面垂直列方程可求得结果.【小问1详解】证明：因为底面为正方形，所以∥，因为平面，平面，所以∥平面，因为平面，平面平面，所以∥，因为平面，平面，所以平面；【小问2详解】因为平面，平面，所以，因为底面为正方形，所以，所以两两垂直，所以以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设（），因为，，底面为正方形，可得，所以，所以，，设平面和平面的法向量分别为，则，，令，，则，因为平面平面，所以，解得或（舍去），所以的长为.18.已知数列的各项均为正数，前项和为，且.（1）若，证明：数列为等差数列；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】分析】（1）代入，利用得，分别求出和，进而可得，根据可证明等差数列； （2）（1）代入，利用得，分别求出和，再利用分组求和法求出，再利用裂项相消法求数列的前项和.【小问1详解】当时，①，当时，②，①-②得，，所以数列的奇数项成等差数列，偶数项也为等差数列，又时，，代入得，，，综合得，当时，故数列是以1为首项，1为等差数列的等差数列；【小问2详解】当时，①，当时，②，①-②得，，所以数列的奇数项成等差数列，偶数项也为等差数列，又时，，代入得， ，，则，.19.最近几年，新型冠状病毒肺炎席卷全球，在病毒爆发之初，我国迅速建立防疫机制，通过将与新冠肺炎确诊患者接触过的人员分为“密接”和“次密接”两类人群，并对两类人群分别加以不同程度的隔离措施，有效地预防了新冠肺炎病毒的传播.已知某确诊阳性患者确诊当天的“密接”人员有2人，“次密接”人员有3人，且每个“密接”人员被感染的概率为，每个“次密接"人员被感染的概率为（1）求在这五人中，恰好有两人感染新冠肺炎的概率；（2）设这五人中，感染新冠肺炎的人数为随机变量，求的数学期望.【答案】（1）（2）【解析】【分析】对于（1），分别求出“密接”人员感染两人的概率，“次密接”人员感染两人的概率，“密接”人员，“次密接”人员各感染一人概率，则恰好有两人感染新冠肺炎的概率为；对于（2），可得感染人数可能为，分别算出概率，得分布列，求得期望即可.【小问1详解】“密接”人员感染两人的概率，“次密接”人员感染两人的概率，“密接”人员，“次密接”人员各感染一人概率，则恰好有两人感染新冠肺炎的概率；【小问2详解】 对于（2），可得感染人数可能为.则，，，，，.得分布列如下：012345则.20.已知椭圆的上､下顶点分别为，点在椭圆内，且直线分别与椭圆交于两点，直线与轴交于点．已知．（1）求椭圆的标准方程；（2）设的面积为的面积为，求的取值范围．【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据条件列式求，可求椭圆方程；（2）利用直线与椭圆方程联立求点的坐标，再求直线的方程，得点的坐标，并利用坐标表示，并根据的范围，求的取值范围．【小问1详解】，,，因为，所以，解得：，所以椭圆方程；【小问2详解】，所以直线方程是，联立，，得或，即，所以直线方程，联立，得，得或，,， 直线的方程，令，得，即,,，因为点在椭圆内，所以，又，得，，设，【点睛】关键点点睛：本题考查直线与椭圆方程联立的综合应用，本题的关键是计算繁琐，尤其求点的坐标和直线的方程时，注意化简的准确性.21.已知函数，其中是自然对数的底数.（1）若在区间上单调递增，求取值范围；（2）设函数，证明：存在唯一的正实数，使得恰好有两个零点. 【答案】（1）；（2）见解析；【解析】【分析】（1）由题意可得在上恒成立，又因为，在上单调递增，所以，求解即可；（2）化简得，又因为在定义域上单调递减，易得在上无零点，要使恰有两个零点，只需在上恰有1个零点，利用导数求证即可.【小问1详解】解：因为，所以，由题意可得在上恒成立，易知，在上单调递增，所以在上单调递增，所以，所以，所以实数的取值范围为；【小问2详解】证明：因为，又因为，，易知在定义域上单调递减，所以当时，，即在上无零点，因为，所以，使，又因为，，所以，所以，因为当时，，所以若恰有两个零点，只需在上恰有1个零点， 因为，所以，使，则在上单调递减，在上单调递增，又因为，若，则在上恒成立，所以单调递减，所以，即不合题意；若，则，所以在上单调递减，在上单调递增，又因为当趋于0时，趋于，且，所以，将代入得，设，则，所以单调递增，所以，，所以存在唯一，使，即存在唯一的正实数，使得恰好有两个零点.得证.【点睛】方法点睛：导函数处理零点个数问题，由于涉及多类问题特征（包括单调性，特殊位置的函数值符号，隐零点的探索、参数的分类讨论等），需要学生对多种基本方法，基本思想，基本既能进行整合，注意思路是通过极值的正负和函数的单调性判断函数的走势，从而判断零点个数，较为复杂和综合的函数零点个数问题，分类讨论是必不可少的步骤，在哪种情况下进行分类讨论，分类的标准，及分类是否全面，都是需要思考的地方.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：坐标系与参数方程22.在极坐标系中，圆的极坐标方程为，直线的极坐标方程为．以极点为坐标原点，以极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系． （1）求圆及直线的直角坐标方程；（2）若射线分别与圆和直线交于两点，其中，求的最大值．【答案】（1），.（2）.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系式，把极坐标方程转换成直角坐标方程；（2）将代入可得与表达式，得到，化简得到，根据的范围，即可得到最大值.【小问1详解】解：因为，，所以由可得，，化为普通方程为，，即.由可得，，由，，可得.【小问2详解】解：将代入圆和直线的极坐标方程可得，，所以， 则，，所以，因为，所以，当，即时，有最大值为.选修：4-5不等式选讲23.已知正数满足．（1）若，求的最大值；（2）证明：．【答案】（1）；（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）由已知可得，根据“1”的代换可得，根据基本不等式可得，即可得到；（2）由已知可得，进而根据根据“1”的代换可得，即有.同理可得，，三个式子同时相加即可得出结果.【小问1详解】解：当时，由可得，则，所以，当且仅当以及，即时等号成立， 所以，又，，所以.所以最大值为【小问2详解】证明：由已知可得，，则，则，当且仅当，即时等号成立，所以，，同理可得，，，当且仅当时等号同时成立.所以，.