河南省九师联盟2022-2023学年高三上学期12月月考理科数学试题（Word版附解析）

高三数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：高考范围.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数不等式化简集合,进而根据集合交并补运算即可求解.【详解】，故，所以.故选:D2.在复平面内，对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先化简，即可判断.【详解】，故对应的点为，位于第三象限.故选：C.3. 新能源汽车是指采用非常规的车用燃料作为动力来源（或使用常规的车用燃料、采用新型车载动力装置），综合车辆的动力控制和驱动方面的先进技术，形成的技术原理先进、具有新技术、新结构的汽车．新能源汽车包括混合动力电动汽车（HEV）、纯电动汽车（BEV，包括太阳能汽车）、燃料电池电动汽车（FCEV）、其他新能源（如超级电容器、飞轮等高效储能器）汽车等．非常规的车用燃料指除汽油、柴油之外的燃料．下表是2021年我国某地区新能源汽车的前5个月销售量与月份的统计表：月份代码x12345销售量y（万辆）0.50.611.41.5由上表可知其线性回归方程为，则的值是（）．A.0.28B.0.32C.0.56D.0.64【答案】A【解析】【分析】先计算，，再根据样本中心点适合方程解得的值即可.【详解】由表中数据可得，，将代入，即，解得．故选:A．4.已知，则的值为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据正弦的和差角公式可得，平方可得，进而化切为弦即可求解.【详解】由，则，即，所以，则，故. 故选：A.5.已知平面向量，满足，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由，可得化简结合已知条件和数量积公式可求出，再利用同角三角函数的关系求出的值【详解】由于，所以，，所以，所以，故选：D6.执行如图所示的程序框图，若输出的是56，则输入的是（）A.10B.11C.12D.13【答案】C【解析】【分析】模拟程序运行，得出程序的功能是求和，结合条件从而可得出答案. 【详解】模拟程序的运行，可得程序的功能是计算并输出：根据题意可得即解得：所以当时，则中止循环，故故选：C7.的展开式中，的系数是（）A.5B.15C.20D.25【答案】B【解析】【分析】根据题意得到与的展开式通项，列出方程即可得到结果.【详解】因为，的展开式通项为，的展开式通项为，由可得因此的展开式中，的系数为.故选:B.8.已知函数，若在区间内没有零点，则的最大值是（）．A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换化简，结合正弦函数零点性质，即可求解． 【详解】，令，，．又函数在区间内没有零点，所以，解得，，所以，，，，所以的最大值是．故选：C．9.在四棱锥中，底面为正方形，且平面，，则直线与直线所成角的余弦值是()A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】连接交于，取的中点，连接，．运用中位线定理，可得即为直线与直线所成角．运用线面垂直的性质和勾股定理，解△，即可得到所求值．【详解】连接，与交于点，取的中点，连接，．由中位线定理，可得，且，即有即为直线与直线所成角．由平面，设，可得直角△中，，，在直角△中，， ∴为等腰三角形，在正方形中，，可得．故选：D．10.已知为坐标原点，抛物线与曲线交于点，其横坐标为4，记的平行于的切线为的平行于的切线为，则下列判断错误的是（）A.B.的方程为C.的方程为D.的方程为【答案】D【解析】【分析】选项A：利用点的坐标计算出即可；选项B：利用两点坐标计算出的方程即可；选项C：设出的方程，利用与相切，然后求出直线方程即可；选项D：设出的方程，利用与相切，然后求出直线方程即可.【详解】选项A：因为点的横坐标为，点在曲线上，所以，又因为点在抛物线上，所以，解得，故A正确；选项B：因为，，所以得的方程为，故B选项正确；选项C：由选项A可知的方程为，设，联立，得，因为与相切，所以，解得，所以，即的方程为，故C选项正确； 设，联立，得，因为与相切，所以，解得，所以，即的方程为，故D错误；故选：.11.已知点是函数图象上的动点，则的最小值是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】函数式化简后知函数图象是半圆（下半圆），所求最小值表达式变形后可能通过半圆上的点到直线的距离来表示，从而由圆心到直线的距离可得出最小值．【详解】式子变形为，又，因此函数图象是圆在下方的半圆，如图，作出直线，平移该直线，由图可知它能与下半圆相切，表示点到直线的距离．圆心为，半径为1，，因此到直线的距离的最小值是，所以的最小值是．故选：A． 12若，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，利用导数判断单调性，结合奇偶性单调性来比较大小.【详解】令，∵，∴是偶函数，∵，令，则，∴在上单调递增，当时，，此时，∴在上单调递增.由可得，即，∴，∵是偶函数，则，∴.故选：C.【点睛】本题求解的关键是把等量关系转化为不等关系，通过构造函数，研究函数的性质来求解，一次导数解决不了问题时，考虑二次导数.三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知函数的图象在点处的切线斜率为，则______.【答案】3【解析】【分析】求出，根据即可求解. 【详解】由已知得，因为，所以.故答案为：3.14.在锐角三角形中，角的对边分别是，若，则______.【答案】##0.5【解析】【分析】由正弦定理结合诱导公式得到，因为，从而求出，利用同角三角函数关系求出答案.【详解】，由正弦定理得：，即，其中，故因为，所以，故，所以.故答案为：.15.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是______．【答案】29π【解析】【分析】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中，可得长方体的三条面对角线分别为，，5，求出长方体的棱长，长方体的外接球就是三棱锥的外接球．【详解】由题意，，，，将三棱锥放到长方体中， 可得长方体的三条面对角线分别为，，5，设长方体的长宽高分别为a,b,c,即，，，解得：，，．长方体的体对角线即为三棱锥和长方体公共外接球的直径2R，∴﹒故答案为：29π．16.已知椭圆和双曲线有相同的焦点，，它们的离心率分别为，，点为它们的一个交点，且，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据椭圆与双曲线的定义求出用表示，在中，根据余弦定理可得找到的关系，然后整理成离心率解决.【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，焦距，点为椭圆与双曲线在第一象限的交点，则，，解得，，如图： 在中，根据余弦定理可得，整理得，即，设，，则有，，所以，即有，所以，所以，设，则，且，所以，因为在上单调递减，所以，所以.故答案为：四､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.已知数列的前项和为，且，．（1）求的通项公式；（2）若数列满足，记数列的前项和为，求证：．【答案】（1）；（2）见解析﹒【解析】【分析】(1)利用公式法(与关系)即可求的的通项公式；(2)分析的通项公式可知其前n项和可以用错位相减法求得﹒【小问1详解】∵∴当n≥2时， ∴∴∴为从第二项开始的等比数列，公比为q＝3，又，∴，∴(n≥2)，n＝1时也满足上式，∴)；【小问2详解】∵，∴①∴②①－②得，∴∵，∴，∴．18.某大型工厂有6台大型机器，在1个月中，1台机器至多出现1次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立的，出现故障时需1名工人进行维修，每台机器出现故障的概率为.已知1名工人每月只有维修2台机器的能力（若有2台机器同时出现故障，工厂只有1名维修工人，则该工人只能逐台维修，对工厂的正常运行没有任何影响），每台机器不出现故障或出现故障时能及时得到维修，就能使该厂获得10万元的利润，否则将亏损2万元.该工厂每月需支付给每名维修工人1万元的工资. （1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时，有工人进行维修（例如：3台大型机器出现故障，则至少需要2名维修工人），则称工厂能正常运行.若该厂只有1名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；（2）已知该厂现有2名维修工人.（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘1名维修工人？【答案】（1）；（2）（ⅰ）见解析；（ⅱ）是.【解析】【分析】（1）由该工厂只有1名维修工人，所以要使工厂能正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障．利用二项分布计算公式即可得出．（2）X的可能取值为34，46，58．利用二项分布列的计算公式即可得出概率分布列．【详解】（1）因为该厂只有1名维修工人，所以要使工厂正常运行，最多只能出现2台大型机器出现故障，故该工厂能正常运行的概率为.（2）（ⅰ）的可能取值为34，46，58，，，，则的分布列为故.（ⅱ）若该厂有3名维修工人，则该厂获利的数学期望为万元.因，所以该厂应再招聘1名维修工人.【点睛】本题考查了二项分布列的概率计算公式及其数学期望，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.如图，在直三棱柱中，，D，E分别为的中点. （1）求证：平面；（2）若，二面角的大小为，求直线与平面所成角的大小.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】(1)取的中点M，连结，根据平行四边形的判断定理和性质可得，利用线面平行的判定定理即可证明；(2)建立如图所示的空间直角坐标系，设，，根据空间垂直向量的坐标表示求出b，利用向量法求出平面、平面的法向量，结合向量的数量积求出二面角，进而求得c，再利用向量法即可求出直线与平面所成角.【小问1详解】取的中点M，连结，则，且，且.所以，且，所以四边形为平行四边形，所以.又平面平面，所以平面.【小问2详解】以A为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，则，所以.因为，所以，所以.又，设平面的一个法向量，则，所以，令，则，所以；又平面的一个法向量，所以，即，解得，所以.又，所以，所以直线与平面所成角. 20.已知椭圆的左、右顶点分别为，且过点．（1）求C的方程；（2）若直线与C交于M，N两点，直线与相交于点G，证明：点G在定直线上，并求出此定直线的方程．【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）由椭圆的长轴长及所过的点列方程组求参数，即可得椭圆方程.（2）设则，，联立直线l与椭圆方程，由判别式、韦达定理求k的范围及、关于k的表达式，再联立直线与求交点坐标，即可证结论并确定直线方程.【小问1详解】因为，所以，解得．因为C过点，所以，解得．所以C的方程为．【小问2详解】由题意，设，则，．由，整理得，则，解得且，，． 由得：，所以点G在定直线上．21.已知函数，其中．（1）若函数的最小值为，求a的值；（2）若存在，且，使得，求a的取值范围．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）根据题意，分和两种情况讨论求解即可；（2）由题知，进而令，，，将问题转化为函数在区间上有零点，再讨论时，函数在区间无零点，进而进一步转化为，当时则有两不等正实根和，且函数在减区间上存在零点问题，再根据导数研究函数的零点即可.【小问1详解】解：函数定义域，．若，则，函数为减函数，无最小值．若，由得．所以，，，的变化情况如下表： －0＋极小值所以，的最小值即极小值为．所以，，即．设，则，所以，为上的增函数，又因为．所以，．【小问2详解】解：由，得，即，将代入，有：，得．令，，，所以，将问题转化为函数在区间上有零点．所以，．其中．因为函数的对称轴方程为．所以，当，则恒成立，得在区间为减函数，又，所以，函数在区间无零点．当，则有两不等正实根和， 设，有，且．所以，，，的变化如表：＋0－极大值又，得．下面证明函数在减区间上存在零点．考虑到中含参数a，取．则，当时，，则．令，则，令，当时，有，所以，函数在时为减函数，由，知恒成立．所以，为上的减函数．所以．又，于是，所以，函数在减区间上存在零点．综上，实数的取值范围是．【点睛】关键点点睛：本题第二问解题的关键在于根据题意，利用换元方法，将问题转化为证明函数在区间上有零点，进而先排除当函数在区间 无零点，进一步将问题转化为函数在减区间上存在零点.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-1：坐标系与参数方程22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.(1)把的参数方程化为极坐标方程：(2)求与交点的极坐标.【答案】（1）（2）与交点的极坐标为，和【解析】【分析】（1）先把曲线化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；（2）联立曲线和曲线的方程解得即可.【详解】(1)曲线的直角坐标方程为：，即.的参数方程化为极坐标方程为；(2)联立可得：，与交点的极坐标为，和.【点睛】本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题.选修4-5：不等式选讲23.已知．（1）若的解集为，求的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用两边平方法解含有绝对值的不等式，再根据根与系数的关系求出的值；（2）利用绝对值不等式求出的最小值，把不等式化为只含有的不等式，求出不等式解集即可．【详解】（1）不等式，即两边平方整理得由题意知和是方程的两个实数根即，解得（2）因为所以要使不等式恒成立，只需当时，，解得，即；当时，，解得，即；综上所述，的取值范围是【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法与应用问题，也考查了分类讨论思想，是中档题．