河南省创新联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

2022～2023年度下学年创新联盟高一年级第一次联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册至第二册第六章6．2．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知p：存在一个平面多边形的内角和是540°，则（）A.p为真命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540°B.p为真命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540°C.p为假命题，且p的否定：存在一个平面多边形的内角和不是540°D.p为假命题，且p的否定：所有平面多边形的内角和都不是540°【答案】A【解析】【分析】举例说明判断命题p的真假，再利用存在量词命题的否定方法判断p的否定作答.【详解】平面五边形的内角和为，因此命题p是真命题，CD错误；又命题p是存在量词命题，其否定为全称量词命题，因此p的否定是：所有平面多边形的内角和都不是540°，B错误，A正确.故选：A2.已知集合，，则（）A.B.C.ÜD.Ü【答案】C【解析】【分析】解一元二次不等式化简集合B，再利用并集、交集、补集的运算结合集合的包含关系判断各选项作答. 【详解】，而，显然Ü，因此，，AB都错误；因为且，或，所以Ü，C正确，D错误.故选：C3.函数图象的对称中心可能是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令即可求出f(x)对称中心横坐标，从而可判断求解．【详解】由，得，当时，．故选：C．4.小赵同学骑自行车从A地沿北偏西方向骑行了5km到达B地，再从B地沿北偏东方向骑行了到达C地，则()A.C地在A地西南方向上，且B.C地在A地东北方向上，且C.C地在A地西南方向上，且D.C地在A地东北方向上，且【答案】D【解析】【分析】作出图形，求出∠ABC的度数，求出AC长度和∠BAC的度数，从而可判断A地位置，根据向量数量积即可计算．【详解】如图， 由题意得，则，，∴C地在A地东北方向上，且．故选：D．5.已知函数（且）的图象过定点，则函数的零点所在区间为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由函数所过定点的坐标可得出，求出、的值，可得出函数的解析式，分析函数的单调性，结合零点存在定理可得出结论.【详解】因为函数（且）的图象过定点，则，可得，所以，，因为函数、在上均为减函数，所以，函数在上为减函数，且，，由零点存在定理可知，函数的零点在区间内.故选：A. 6.为了得到函数的图象，只要将函数图象上所有点的（）A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度B.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度C.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向右平移个单位长度D.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的图象向左平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】变换，根据三角函数平移和伸缩法则依次判断每个选项，对比得到答案.【详解】，对选项A：得到的函数为，错误；对选项B：得到的函数为，错误；对选项C：得到的函数为，错误；对选项D：得到的函数为，正确；故选：D7.在中，BC边上的高为AD，，且，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据给定条件，求出，再借助平面向量基本定理求解作答. 【详解】如图，因为，则，令，则，而于D，则有，，因此，即，所以.故选：B8.函数的单调递减区间为（）A.B.，，C.D.，，【答案】B【解析】【分析】先构造函数分段求解析式后画出函数图像，确定函数的单调减区间，再应用整体代入法解出单调区间即可.【详解】由正弦、余弦函数的图像可知，当，即时，函数， 当，即，函数，的部分图像如图所示．由图可知，的单调递减区间为，．因为，所以由，得，由，得．故的单调递减区间为，．故选:B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.若，则B.零向量与任意向量平行C.方向为北偏西的向量与方向为东偏南的向量是共线向量D.在平行四边形ABCD中，【答案】BCD【解析】【分析】对A，根据向量相等的定义即可判断，对B，根据规定即可判断，对C，利用共线向量的定义即可判断，对D，根据平行四边形性质即可判断.【详解】对A，向量的模相等，方向不一定相同，故向量不一定相等，故A错误；对B，根据规定：零向量与任意向量平行，故B正确；对C，东偏南即南偏东，故两向量为共线向量，故C正确， 对D，因为四边形为平行四边形，故，故，故D正确.故选：BCD10.若向量，，满足，，，与的夹角为，则（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】由已知模长应用向量数量积公式判断A,B,D选项，根据向量和的模长范围判断C选项即可.【详解】由题意得，A正确;，B错误;当，同向时，取到最大值，且最大值为，当，异向时，取到最小值，且最小值为，所以，C正确;因为，所以，D正确．故选：ACD.11.已知，均为锐角，若，，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】由条件结合特殊角三角函数值求，利用诱导公式求，结合同角关系求 ，利用诱导公式结合二倍角公式求，由此判断各选项.【详解】因为，所以，又，所以，故，A正确；因为，所以，即，所以，所以，B正确；当时，可得，所以，当时，可得，所以，C错误；所以，D正确；故选：ABD.12.已知函数，且，在上的图像与直线恰有2个交点，则的值可能是（）A.B.C.D.【答案】AC 【解析】【分析】先利用诱导公式将化简为，利用条件，得到，再利用在上的图像与直线恰有2个交点，从而求出的范围，得到结果.【详解】，，又因为，，即.又在上的图像与直线恰有2个交点，由，得到，所以或，得到或，，当取1时，由，得到，当取0，1时，由，得到，，所以且，即，故或故选：AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.写出一个与终边相同的正角：______．（用弧度数表示）【答案】，(写出一个即可)【解析】【分析】终边相同的角之间相差或可得答案.【详解】因为， 所以与终边相同的正角为,写出一个即可为.故答案为：.14.若向量与满足，且，则在方向上的投影向量的模为______．【答案】5【解析】【分析】根据给定条件，求出，再利用投影向量及向量模的意义求解作答.【详解】因为，，则有，即，而在方向上的投影向量为，所以在方向上的投影向量的模为.故答案为：515.已知函数在上单调递增，则a的取值范围是______．【答案】【解析】【分析】根据给定条件，利用二次函数的单调性、结合对数型复合函数的单调性列不等式求解作答.【详解】函数在上单调递增，依题意，，，且在上单调递增，因此，解得，所以a的取值范围是.故答案：16.在长方形中，，，为边的中点，分别为边上的动点，且，则的取值范围是_______________．【答案】【解析】 【分析】画出图形，用三角函数的性质表示出，在根据辅助角公式化简，换元法后利用函数单调性求解即可.【详解】如图，设，则，，，，令，则，所以．易得，所以，，因为函数在上单调递增，所以，所以．故答案为： 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.如图，在4×4正方形网格中，向量，满足，，且．（1）在图中，以A为起点作出向量，使得；（2）在（1）的条件下，求．【答案】（1）作图见解析（2）2【解析】【分析】（1）由向量线性运算的几何表示作出向量；（2）利用向量，为基底，求.【小问1详解】，以A为起点作出向量，如图所示，【小问2详解】由图中网格可得：，由，，且则有18.我国古代数学著作《九章算术》方田篇记载“宛田面积术曰：以径乘周，四而一” （注：宛田，扇形形状的田地；径，扇形所在圆的直径；周，扇形的弧长），即古人计算扇形面积的公式：扇形面积．（1）已知甲宛田的面积为2，周为2，求径的大小以及甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数；（2）若乙宛田的面积为2，求乙宛田径与周之和的最小值．【答案】（1）2，1（2）【解析】【分析】（1）根据题中公式求弧长，根据弧长公式求圆心角弧度数；（2）根据基本不等式公式计算.【小问1详解】由题意得，得径，则扇形的半径为2，所以甲宛田的弧所对的圆心角（正角）的弧度数为．【小问2详解】设乙宛田的弧长为l，径为d，则，得，所以乙宛田径与周之和为，当且仅当时，等号成立．故乙宛田径与周之和的最小值为．19.已知函数．（1）求的值；（2）若，且，求的值． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由倍角公式结合同角三角函数的基本关系计算即可；（2）由得出，进而由同角三角函数的基本关系得出的值．【小问1详解】因为，所以．【小问2详解】由，化简得，得或，由，得，所以．联立得，．故．20.已知直线和是函数图象的两条相邻的对称轴．（1）求单调递增区间；（2）若图象的一个最高点与相邻的一个对称中心之间的距离为，求在上的值域．【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】（1）根据题意求得，，再利用正弦函数的性质求得单调递增区间；（2）根据题意求得，再利用正弦函数的性质求得在上的值域．【小问1详解】依题意可得，即，而，.若对称轴过图象的最高点，则，解得，令符合题意；若对称轴过图象的最低点，则，解得，不符合题意，舍去.所以，此时令，解得所以的单调递增区间为【小问2详解】因为图象的一个最高点与相邻的一个对称中心之间的距离为，所以，即，解得.所以.因为，所以， 则当，即时，，当，即时，故在上的值域为.21.在平行四边形ABCD中，，，，线段EF与线段AG相交于点O．（1）用，表示；（2）用，表示．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用平面向量的线性运算求解作答.（2）用向量，表示出，再利用共线向量定理结合两次共线列式计算作答.【小问1详解】在中，，，则，,所以.【小问2详解】因为，则，则，又线段EF与线段AG相交于点O，则由，设，，由，设，， 因为与不共线，因此，解得，所以.22.已知函数．（1）若，证明：的图象始终在x轴上方．（2）若函数有4个零点，求k的取值范围．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）根据题意先得出，再由，得出，，即可得出，从而得证.（2）先根据题意得出为偶函数并且求导，得出在上单调递增，在上单调递减，将函数整理后得，并令，得到，再由有4个零点转化为在上有2个零点，根据二次函数图像性质，得出k的取值范围即可.【小问1详解】证明：由题意得，由，得，，因为，所以，即图象始终在x轴上方．【小问2详解】由题意得， 因为定义域为且，所以为偶函数．因为，当时，，；当，，，即在上单调递增，在上单调递减．因为，令，则，因为有4个零点，所以令函数在上有2个零点即可，则得，故k的取值范围为．【点睛】方法点睛：函数零点个数常见的判定方法有（1）直接法：直接求出的解即可；（2）图像法：作出的图像，观察与轴的交点个数或者将函数变形为易于作图的两个函数，作出两个函数图像，观察它们公共点的个数；（3）涉及的零点问题，结合的图像，利用换元法，转化成二次函数的根的个数问题进行求解；