河南省部分名校2022-2023学年高一下学期6月月考数学试题（Word版附解析）

2022~2023年度下学年高一年级第三次联考数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A版必修第二册第六章至第九章9.1．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在以下调查中，适合用全面调查的是（）A.调查一个地区糖尿病的发病率B.了解一批水稻种子的发芽率C.了解一个班级学生的身高情况D.了解某城市居民的生活水平【答案】C【解析】【分析】根据全面调查的定义可得出合适的选项.【详解】对于A选项，调查一个地区糖尿病的发病率，调查数量较多，不适合全面调查；对于B选项，了解一批水稻种子的发芽率，调查数目较多，且具有破坏性，不适合全面调查；对于C选项，了解一个班级学生的身高情况，适合全面调查；对于D选项，了解某城市居民的生活水平，调查数目较多，不适合全面调查.故选：C.2.若的面积等于，则（）A.1B.2C.D.【答案】B【解析】【分析】直接根据三角形的面积公式和向量的数量积公式计算得到答案.【详解】，故，，即.故选：B.3.如图，在矩形中，，用斜二测画法画出的水平放置的矩形 的直观图为四边形，则四边形的周长为（）A.10B.8C.7D.5【答案】C【解析】【分析】用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，得出边长，计算周长即可.【详解】用斜二测画法画出的水平放置的矩形的直观图，由斜二测画法，四边形是平行四边形，，所以四边形的周长为．故选：C.4.已知一组数据，，，，，的平均数为16，则另一组数据，，，，，的平均数为（）A.7B.6C.5D.4【答案】C【解析】【分析】根据平均数的定义直接计算.【详解】由题意得，得，所以所求平均数为．故选：C 5.关于空间中两条不同的直线与两个不同的平面，下列说法正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【解析】【分析】由选项A的条件可得出则m，n可能平行、异面或相交，可判断A；由选项B的条件可得出，可以判断B选项；由选项C的条件可得出或相交，可判断C；根据线面垂直的性质可以判断D.【详解】若，则m，n可能平行、异面或相交，A错误；若，则，B错误；若，则的关系可能是或相交，C错误；，则，又，则，D正确．故选：D.6.在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】直接利用向量的线性运算求出结果【详解】在中，D是BC的中点，E是AD的中点，则．故选：C.7.刍（chú）甍（méng ）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（）A.11B.C.9D.【答案】A【解析】【分析】延长交于点，取中点，连接，，易得为的中点，即可得到过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形，求出其周长即可得解．【详解】如图，延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点，∴，∵，∴，即过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形，∵，，∴过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为．故选：A8.洛阳九龙鼎位于河南省洛阳市老城区中州东路与金业路交叉口，是一个九龙鼎花岗岩雕塑，代表东周､东汉､魏､西晋､北魏､隋､唐､后梁､后唐9个朝代在这里建都，是洛阳的一座标志性建筑，九条龙盘旋的大石柱的顶端，端放着一座按1：1比例仿制的中国青铜时代的象征——西周兽面纹方鼎，汉白玉护栏两侧分别镶嵌着两幅《太极河图》.如图，为了测量九龙鼎的高度，选取了与该鼎底在同一平面内的两个测量基点与，现测得，在点测得九龙鼎顶端的仰角为，在 点测得九龙鼎顶端的仰角为，则九龙鼎的高度（）（参考数据：取）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】设，，，在中，由余弦定理求解即可.【详解】设，由题意可得，由题意知：，在中，由余弦定理可得，得：，得：故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.若，则（）A.的虚部为5B.为纯虚数C.为实数D.在复平面内对应的点位于第二象限【答案】BC【解析】【分析】利用复数的运算求出，即可判断A；利用纯虚数的概念可判断B，利用实数的概念可判断C；利用复数的几何表示可判断D.【详解】由题意得，所以的虚部为，故A错误； 为纯虚数，故B正确；为实数，故C正确；在复平面内对应的点为，位于第四象限，故D错误．故选：BC.10.若向量满足，则（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用向量数量积的运算性质求解判断即可.【详解】由题意得，得，所以，故A正确；由，得，故B正确；因为，所以不垂直于，故C错误；，故D正确．故选：ABD.11.在等腰梯形ABCD中，，，，，以DE所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（）A.该几何体由半个圆柱和半个圆台组合而成B.该几何体高为2C.该几何体的体积为D.该几何体的表面积为【答案】BCD【解析】【分析】该几何体由半个圆锥和半个圆台组合而成，利用圆锥、圆台的表面积和体积公式求解即可.【详解】如图， 由题意可知，该几何体由半个圆锥和半个圆台组合而成，故A错误；因为，所以，又，，所以,因为，所以，即该几何体的高为2，故B正确所以该几何体的体积为，故C正确；表面积为，故D正确.故选：BCD12.如图，在正方体中，，点为线段上的一动点，则（）A.三棱锥的体积为定值B.当时，直线与平面所成角的正切值为C.直线与直线所成角的余弦值可能为D.的最小值为【答案】ACD【解析】【分析】利用等体积法可知三棱锥的体积为定值，即A正确；由可得为的中点，利用线面角的定义可得直线与平面所成角的正切值为，即B错误；将直线平移可知当时，满足直线与直线所成角的余弦值为，即C正确；利用平面展开图和正方体的棱长即可求得的最小值为，可得D正确. 【详解】对于A，根据等体积法可知，点在线段上运动时，的面积为定值，，此时即为三棱锥的高，所以；即点在线段上运动时，三棱锥的体积为定值，即A正确；对于B，当时即可知，为线段中点，取的中点为，连接，如下图所示：易知，由正方体性质可得平面，所以可得平面；即直线与平面所成角的平面角即为，易知，且，所以，所以B错误；对于C，在上取一点，使，取中点为，连接，如下图所示：则可得，异面直线与直线所成的角的平面角即为，易知，所以可得，因此，若直线与直线所成角的余弦值为，即，可得； 又，可得符合题意；所以C正确；对于D，易知，所以，即当取最小时，的值最小；将正方体展开使得在同一平面内，如下图所示：易知，当且仅当三点共线时，取最小值，所以，即的最小值为，所以D正确.故选：ACD【点睛】方法点睛：在立体几何中求解距离最值问题时，往往利用平面展开图转化成平面距离最值问题，从而求得空间当中距离最值的问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13.六一儿童节来临之际，某商场计划从8位男员工、16位女员工中选调6人加强前台服务工作，若按照性别进行分层随机抽样，则应抽取的女员工人数为______．【答案】4【解析】【分析】直接根据分层抽样的比例关系计算得到答案.【详解】应抽取的女员工人数为．故答案为：.14.已知，则__________.【答案】【解析】 【分析】设，则，由复数相等可求出，求出，再由复数的模长公式求解即可.【详解】设，则，所以，所以，则，，所以.故答案为：15.的内角的对边分别为，则__________，__________.【答案】①.4②.【解析】【分析】利用正弦定理求得，利用余弦定理求出.【详解】由正弦定理得，得．由余弦定理得，得．故答案为：4，.16.在正四棱柱中，分别为和的中点，则三棱锥外接球的表面积为__________.【答案】【解析】【分析】根据给定几何体，确定三棱锥外接球的球心，求出球半径即可计算作答.【详解】如图，取为的中点，连接EM，EB，EN，则四边形EBCN为矩形，故E，B，C，N四点共圆， 又，所以，即为直角三角形，又平面EMB，所以三棱锥外接球的球心即四边形EBCN的外心，即中点为球心，设三棱锥的外接球半径为，因为，所以，，即所求外接球的表面积．故答案为：.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知为抛物线的顶点，点与关于原点对称.（1）求线段的中点坐标；（2）求向量在上的投影向量的坐标.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用配方法求得顶点坐标，进而得坐标，从而可得线段的中点坐标；（2）根据投影向量的概念求解.【小问1详解】由，得，则，所以线段AC的中点坐标为，即． 【小问2详解】由（1）得，所以向量在上的投影向量的坐标为．18.如图，在直角梯形中，为的中点，将沿着翻折，使与点重合，且.（1）证明：平面.（2）作出二面角的平面角，并求其大小.【答案】（1）证明见解析（2）平面角见解析，【解析】【分析】（1）确定四边形为平行四边形，得到，得到证明.（2）是中点，连接，，确定为二面角的平面角，再利用余弦定理计算得到答案.【小问1详解】，且，故四边形为平行四边形，故，平面，且平面，故平面.【小问2详解】如图所示：是中点，连接，，， 则，，故，即，故，平面平面，平面，平面，故为二面角的平面角，，，故.故二面角的平面角为.19.若复数，，且，求的取值范围．【答案】【解析】【分析】利用复数相等建立等式关系可得，分，讨论，结合同角三角函数关系即可确定其范围.【详解】由可得得，因为，所以，当时，；当时，．综上，的取值范围为．20.如图，在圆柱OP中，AB为底面圆O的一条直径，C为上更靠近A的三等分点，D为 上更靠近B的三等分点，C，D位于直径AB的两侧，直线l为平面PAC与平面PBD的交线．（1）证明：．（2）若，求A到平面PBD的距离．【答案】（1）证明见解析（2）．【解析】【分析】（1）先利用线面平行的判定得平面PBD，再由线面平行的性质得；（2）由等积转化法求A到平面PBD的距离.【小问1详解】证明：如图，连接OC，OD．由题意得，∴，均为正三角形，∴，∴．∵平面PBD，平面PBD，∴平面PBD．又平面平面平面PAC，∴．【小问2详解】由题意得平面ABD，∴，，连接AD，∴，∴．设A到平面PBD的距离为h，易得，∵，∴． 21.在中，角所对的边分别为.（1）求的大小；（2）若，点满足，求的面积.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理化边为角，结合三角函数同角关系式求解；（2）由正弦定理得，由，可得，两边平方后结合数量积运算求得，利用三角形面积公式求得结果.【小问1详解】因为，所以，又，所以，结合，解得，因为，所以．【小问2详解】因为，所以．由，可得，则， 即，解得．所以的面积为．22.如图，在正三棱柱中，分别为的中点.（1）证明：平面平面.（2）若侧面的中心为为侧面内的一个动点，平面，且的轨迹长度为，求三棱柱的表面积.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由题意可证得，，由线面垂直的判定定理可证得平面，再由面面垂直的判定定理即可证明平面平面.（2）连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，由面面平行的判定定理可证得平面平面，所以的轨迹为线段，再由相似比求出，即可求出三棱柱的表面积.【小问1详解】连接，因为所以侧面是正方形，所以，因为分别为的中点，所以，因为是正三角形，所以，因为平面，平面，， ，平面，所以平面，平面，所以，平面，所以平面，又因为平面，所以平面平面.【小问2详解】连接交于，取的中点，过作，分别交于，连接，易得，因为平面，平面，所以平面，平面，因为，且都在面OHG内，所以平面平面，所以的轨迹为线段，因为，所以，因为，所以，所以，故三棱柱的表面积为.