河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一下学期3月月考数学试题（Word版附解析）

洛阳强基联盟3月联考高一数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A.B.9C.7D.【答案】B【解析】【分析】根据题意，利用复数的运算法则，得到，求得的值，即可求解.【详解】由，根据复数的运算法则，可得，所以，所以.故选：B.2.已知等边三角形，则与的夹角为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据向量夹角的定义求解即可.【详解】因为等边三角形，故与的夹角为，与的夹角和与的夹角互补，为.故选：A3.已知向量，若，则实数的值是（）A.-4B.-1C.1D.4【答案】A【解析】【分析】根据向量共线列方程，化简求得的值.【详解】由于，所以，解得.故选：A 4.在中，角的对边分别为，已知则（）A.45°或135°B.135°C.45°D.60°或120°【答案】C【解析】【分析】根据正弦定理求解即可.【详解】由正弦定理得：得：，因为，所以，所以.故选：C5.若复数满足，则在复平面内对应的点的坐标为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用复数的四则运算解出，得到对应的点坐标即可求解.【详解】由得，所以z在复平面内对应的点为.故选：D.6.已知的内角的对边分别是，则“是钝角三角形”是“”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】先举出反例，得到充分性不成立，再由余弦定理得到必要性成立.【详解】若△ABC中B为钝角，则C为锐角，，即有，故充分性不成立； 若，由余弦定理得即C为钝角，故必要性成立.故选：B.7.已知向量的夹角为且|，，则在上投影向量的坐标为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义，结合向量坐标运算求解作答.【详解】依题意，在上投影向量为，其中，所以在上投影向量的坐标为.故选：C8.在平行四边形中，，，，，且，则平行四边形的面积为（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用基底向量表示，即可求，再利用同角三角函数函数表示，最后根据平行四边形面积求解.【详解】因为，，所以，解得：，则， 所以.故选：A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.对于任意平面向量，下列说法错误的是（）A.若，则与不是共线向量B.C.若，且，则D.【答案】ACD【解析】【分析】根据共线向量的定义即可判断A；根据数量积的运算律即可判断B；举反例即可判断C；根据数量积的定义即可判断D.【详解】对于A，当时，，但是共线向量，故A错误；对于B，根据数量积的分配律得，故B正确；对于C，若，且，则，不妨取，此时，故C错误；对于D，表示的是与共线的向量，表示的是与共线的向量，而向量的方向不确定，所以无法确定与是否相等，故D错误.故选：ACD.10.若复数为纯虚数，则（）A.为实数B.为实数C.为实数D.为实数【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，设且，得到 ，结合复数的运算法则，逐项判定，即可求解.【详解】因为为纯虚数，设且，则，由，所以A正确；由，所以B错误；由为实数，所以C正确；由为实数，所以D正确.故选：ACD.11.下列说法正确是（）A.若两个非零向量共线，则必在同一直线上B.若向量与平行，与平行，则，方向相同或相反C.若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量【答案】CD【解析】【分析】根据平面向量平行的概念和夹角的概念依次判断选项即可.【详解】对选项A，若两个非零向量共线，则与平行或在一条直线上，故A错误.对选项B，若，与不平行，则满足向量与平行，与平行，故B错误.对选项C，若非零向量与是共线向量，则它们的夹角是0°或180°，故C正确.对选项D，平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确.故选：CD12.在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是（）A.若a>b，则B.若，则A>BC.若，则是等腰三角形D.若为锐角三角形，则【答案】ABD【解析】【分析】根据三角形的基本性质及正弦定理，正弦函数的单调性，逐项分析得出结果即可． 【详解】对于选项A，在中，大边对大角，若，则，根据正弦定理可得，选项A正确；同理，选项B正确；对于选项C，若，由正弦定理可得，即，所以即或即，所以为等腰角三角形或直角三角形，选项C错误；对于选项D，若为锐角三角形，则，又正弦函数在上为单调增函数，，即，选项D正确．故选：ABD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.设复数z满足，则___________.【答案】##【解析】【分析】根据复数的四则运算可求得，进而可求共轭复数以及模长.【详解】∵，则，∴，故.故答案为：.14.在中，角的对边分别为，且，，则_________.【答案】【解析】【分析】利用正弦定理及得到，求出，再利用正弦定理得到 ，代入得到答案.【详解】由正弦定理得，即，，∵，∴，，，，∴，由正弦定理得，所以.故答案为：15.已知平面向量，，若与的夹角为锐角，则的取值范围为____________.【答案】【解析】【分析】已知条件可转化为，且与不共线，利用平面向量数量积的坐标公式以及共线公式列不等式，解出的取值范围．【详解】因为与的夹角为锐角，所以，且与不共线，，，即，且，解得且故答案为： 16.如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高___________m.【答案】600【解析】【分析】确定，，，在中，利用正弦定理计算得到答案.【详解】，则，,，故，，在中，由正弦定理得，即，解得，则.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知虚数z满足.（1）求证：在复平面内对应的点在直线上；（2）若是方程的一个根，求与.【答案】（1）证明见解析（2），【解析】【分析】（1）由题设可得，应用代数运算化简并确定点坐标，即可证结论；（2）将复数代入方程求参数即可.【小问1详解】 设，由，则，所以，所以在复平面内对应点为，在直线上.【小问2详解】同（1）设复数，因为z是方程的一个根，所以，即，所以且，得，因为，所以，把代入得：，所以，.18.已知向量满足，，且.（1）若，求实数的值；（2）求与的夹角的余弦值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用数量积的运算律及向量垂直的充要条件即可求解；（2）先数量积知识求出，的值，然后利用数量积的夹角公式求解即可.【小问1详解】因为，所以，即，解得，若，则，即，即，解得.【小问2详解】 因为，又，所以，即与的夹角的余弦值为.19.已知内角的对边分别为，且.（1）求角；（2）若的周长为，且外接圆的半径为1，判断的形状，并求的面积.【答案】（1）（2）等边三角形，【解析】【分析】（1）由正弦定理及三角形的性质即可求角；（2）利用正弦定理求出边长a，然后再根据周长和余弦定理列式解出b和c，从而判断性质和求解面积.【小问1详解】由题意，由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以，又，所以.【小问2详解】设外接圆的半径为，则，由正弦定理得，因为的周长为，所以，由余弦定理得，即，所以， 由得，所以为等边三角形，所以的面积.20.如图，在等腰梯形中，，，，E是边的中点．（1）试用，表示，；（2）求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）利用几何图形，结合平面向量基本定理，利用基底表示向量；（2）以向量为基底，表示向量，结合向量数量积的运算律和定义，即可求解.【小问1详解】，，．【小问2详解】由题意可知，，，所以 ．21.如图，在平面四边形中，，设.（1）若，求的长度；（2）若，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意求得，在中，利用余弦定理，即可求得的长；（2）根据题意求得，得到，在中，利用正弦定理求得，进而求得的值.【小问1详解】解：由题意得且，可得，在中，，由余弦定理可知：，所以.【小问2详解】解：因为，所以， 又因为且，可得,中，由正弦定理知，所以，即，可得，即.22.记的内角所对的边分别为，已知.（1）求证：（2）若的面积，求的最大值，并证明：当取最大值时，为直角三角形.【答案】（1）证明见解析（2），证明见解析【解析】【分析】(1)利用正弦定理边角互化结合余弦定理即可求解；(2)利用三角形面积公式结合基本不等式即可求解.【小问1详解】证明：由，得，代入，得，所以，由余弦定理，得，所以，所以.【小问2详解】 由(1)知，所以的面积，所以，当且仅当时取等号，所以的最大值为.下面证明当，即时，为直角三角形.把代入，得，两边平方，得，所以，因为，所以，即，所以为直角三角形.