河南省洛阳市强基联盟2022-2023学年高一数学下学期3月联考试题（Word版附解析）

洛阳强基联盟3月联考高一数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第七章第2节。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知i(a-i)=b-(2i)³(a,b∈R),则a+b=A.-9B.9C.7D.-72.已知△ABC为等边三角形，则AB与BC的夹角为A.120°B.60°C.30°D.-60°3.已知向量a=(8,-2),b=(m,1),若a=λb,则实数m的值是A.-4B.-1C.1D.44.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=2,b=3,B=60°,则A=A.45°或135°B.135°C.45°D.60°或120°5.若复数z满足(z-2i)(1+i)=i，则z在复平面内对应的点的坐标为A.-12-32B.-1252C.12-32D.12526.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,则“△ABC是钝角三角形”是“a²+b²-c²<0”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.已知向量a，b的夹角为π3,且|a|=2,b=(1,1),则a在b上投影向量的坐标为A.22B.1212C.2222D.(1,1) 8.在平行四边形ABCD中,AB=4,AD=3,AE=13EB,DF=2FC,且BF·CE=-6,则平行四边形ABCD的面积为A.125B.245C.1265D.2465二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9.对于任意的平面向量a，b，c，下列说法错误的是A.若a≠b，则a与b不是共线向量B.(a+b)·c=a·c+b·cC.若a·b=a·c,且a≠0,则b=cD.(a·b)c=(b·c)a10.若复数z为纯虚数，则A.z+z为实数B.z-z为实数C.z²为实数D.zi为实数11.下列说法正确的是A.若两个非零向量AB,CD共线，则A，B，C，D必在同一直线上B.若向量a与b平行，b与c平行，则a，c方向相同或相反C.若非零向量AB与CD是共线向量，则它们的夹角是0°或180°D.平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量12.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论正确的是A.若a>b,则sinA>sinBB.若sinA>sinB,则A>BC.若acosA=bcosB,则△ABC是等腰三角形D.若△ABC为锐角三角形,则sinA>cosB三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.设复数z满足zi+1=z,则|z|=________.14.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC+csinB=a,b=6,则a+2bsinA+2sinB=______.15.已知平面向量a=(1,-2),b=(4,y),若a与a+b的夹角为锐角,则y的取值范围为.16. 如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处(即MD=400)，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°,则山高BC=m.四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(本小题满分10分)已知虚数z满足|z|=5.(1)求证:z+5iz在复平面内对应的点在直线y=x上；(2)若z是方程2x²+4x+k=0(k∈R)的一个根，求k与z.18.(本小题满分12分)已知向量a,b满足|a|=2,|b|=3,且(3a+b)·(a-2b)=-16.(1)若(a-b)⊥(a+λb),求实数λ的值;(2)求a与2a-b的夹角的余弦值.19.(本小题满分12分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2cosA=acosB+bcosA.(1)求角A;(2)若△ABC的周长为33,3，且△ABC外接圆的半径为1，判断△ABC的形状，并求△ABC的面积. 20.(本小题满分12分)如图，在等腰梯形ABCD中，AB//CD,|AB|=2|DC|=2,∠BAD=π3,E是BC边的中点.(1)试用AB,AD表示AE,BC;(2)求DB⋅AE的值.21.(本小题满分12分)如图，在平面四边形ABCD中，AB=23,∠ADC=∠CAB=90°,设∠DAC=θ.(1)若θ=60°,AB=2CD,求BD的长度;(2)若∠ADB=∠ABC=30°,求tanθ.22.(本小题满分12分)记△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知asinA+csinC=b.(1)求证:sinB+2aca2+c2cosB=1;(2)若△ABC的面积S=kb²(k>0),求k的最大值，并证明：当k取最大值时，△ABC为直角三角形. 洛阳强基联盟3月联考·高一数学参考答案、提示及评分细则1.Bi(a-i)=b-(2i)³,即1+ai=b+8i,所以a=8,b=1,a+b=9.故选B.2.A因为△ABC为等边三角形,所以AB与BC的夹角为120°.故选A.3.A由a=λb,得8=λm,-2=λ,解得m=-4.故选A.4.C由正弦定理得sinA=absinB=23×32=22,∵a<b,∴0<A<B,∴角A等于45°.故选C.5.D由(z-2i)(1+i)=i,得z=i1+i+2i=i1-i1+i1-i+2i=12+12i+2i=12+52i,所以z在复平面内对应的点的坐标为1252.故选D.6.B若△ABC中B为钝角,则C为锐角,cosC>0,即有a²+b²-c²>0,故充分性不成立；若a²+b²-c²<0,由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab<0,即C为钝角，故必要性成立.故选B.7.C|a|cosθ⋅b|b|=2×12×12⋅11=2222.故选C.8.D因为AE=13EB,DF=2FC,所以BF⋅CE=CF-CB⋅CB+BE=13CD-CB⋅CB+34CD=-|CB|2+14|CD|2-512CB⋅CD=-32+14×42-512×3×4cos∠BCD=-5-5cos∠BCD=-6,则得cos∠BCD=15,则sin∠BCD=265,所以SABCD=CB⋅CD⋅sin∠BCD=4×3×265=2465.故选D.9.ACD对于A，两个向量是否共线只跟方向有关，故A错误；对于B，这是数量积对加法的分配律，显然成立的，故B正确；对于C若a和b，c都垂直，显然b，c至少在模长方面没有任何关系，故C错误； 对于D,(a·b)c=(b·c)a很多时候是不成立的,则(a·b)c与(b·c)a是分别和c、a共线的向量,故错误.故选ACD.10.ACD因为z为纯虚数,设z=mi(m∈R,且m≠0),z=-mi,则z+z=0,A正确;z-z=2mi,B错误;z²=-m²为实数,C正确;zi=m为实数,D正确.故选ACD.11.CD平行向量又叫共线向量，向量AB与CD是共线向量，则AB与CD平行或共线，故A错误；当b为零向量时，结论不成立，故B错误；由向量的夹角可知C正确；平行向量就是共线向量，共线向量就是平行向量，故D正确。故选CD.12.ABD在△ABC中,由正弦定理得asinA=bsinB,所以ab=sinAsinB.若a>b,则ab=sinAsinB>1,又sinA>0,sinB>0,所以sinA>sinB,故A正确;因为ab=sinAsinB,又sinA>sinB,sinA>0,sinB>0,所以ab=sinAsinB>1,所以a>b,所以A>B,故B正确;若acosA=bcosB,由正弦定理可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,则2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=π2,则△ABC是等腰三角形或直角三角形故C错误；若△ABC为锐角三角形，则A+B>π2,所以π2>A>π2-B>0,又y=sinx在0π2上为单调增函数，所以sinA>sinπ2-B,即sinA>cosB,故D正确.故选ABD.13.22由zi+1=z,得z=-1i-1=11-i=1+i2,则z=12-12i,z=122+-122=22.14.62由正弦定理得sinBcosC+sinCsinB=sinA,即sinBcosC+sinCsinB=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC,∴sinCsinB=cosBsinC,∵sinC≠0,∴sinB=cosB,∴tanB=1.∵B∈(0,π),∴B=π4,∴asinA=bsinB=622=62,∴a=62sinA,b=62sinB,所以a+2bsinA+2sinB=62sinA+2sinBsinA+2sinB=62.15.-∞-8∪-892因为a与a+b的夹角为锐角,所以a·(a+b)>0,且a与a+b不共线,即1×5-2(y-2)>0,且1×(y-2)≠-2×5,解得y<92且y≠-8.16.600由题意知∠AMD=45°,则AM=2MD=4002,又由∠CAB=60°,所以∠MAC=180°-60°-45°=75°,∠ACM=180°-75°-60°=45°,在△MAC中，由正弦定理得ACsin∠AMC=MAsin∠ACM,即ACsin60°=4002sin45°,解得AC=4003,则BC=ACsin60°=600.17.(1)证明:方法一:设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),…………………………………………………1分因为|z|=5,所以zz=5,…………………………………………………………………………2分 所以z+5iz=z+zi=a+bi+a-bii=a+b+a+bi,……………………………4分所以z+5iz在复平面内对应的点为(a+b,a+b),在直线y=x上.…………………………5分方法二:设z=a+bi(a,b∈R,b≠0),…………………………………………………………1分因为|z|=a2+b2=5,所以a²+b²=5,…………………………………………2分z+5iz=a+bi+5ia+bi=a+bi+5ia-bia2+b2=a+bi+ai+b=a+b+(a+b)i,…………………………………………………………4分所以z+5iz在复平面内对应的点为(a+b,a+b),在直线y=x上.……………………………5分(2)解:因为z=a+bi是方程2x²+4x+k=0(k∈R)的一个根,所以2(a+bi)²+4(a+bi)+k=0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6分即2a²-2b²+4a+k+(4ab+4b)i=0,所以2a²-2b²+4a+k=0,且4ab+4b=0,由4ab+4b=0及b≠0,得a=-1,……………………………………………………………8分因为a²+b²=5,所以b=±2,把a=-1,b=±2代入2a²-2b²+4a+k=0得k=10,所以k=10,z=-1±2i………………………………………………………………………………10分18.解:(1)因为(3a+b)·(a-2b)=-16,所以3a²-5a·b-2b²=-16,即3×2²-5a·b-2×3²=-16,解得a·b=2.……………………………………………3分若(a-b)⊥(a+λb),则(a-b)·(a+λb)=0,即a²+(λ-1)a·b-λb²=0,即2²+2(λ-1)-λ×3²=0,解得λ=27.……6分2|2a-b|=2a-b2=4a2-4a⋅b+b2=4×22-4×2+32=17又a·(2a-b)=2a²-a·b=2×2²-2=6,…………………………………………………9分 所以cos<a,2a-b>=a⋅2a-b|a||2a-b|=62×17=31717,即a与2a-b的夹角的余弦值为31717.……………………………………………………12分19.解:(1)2ccosA=acosB+bcosA,由正弦定理得2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA,……………………………………2分因为sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC,所以2sinCcosA=sinC,因为C∈(0,π),所以sinC≠0,所以cosA=12.……………………………………………4分因为A∈(0,π),所以A=π3.…………………………………………………………………………………5分(2)设△ABC外接圆的半径为R,则R=1,由正弦定理，得a=2RsinA=3,⋯……………………………………………6分因为△ABC的周长为33,所以b+c=23.…………………………………………7分由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosπ3=b+c2-3bc,即3=12-3bc,所以bc=3……………………………………………9分由b+c=23,bc=3,得b=3,c=3,所以△ABC为等边三角形.………………………………………………………………………11分所以△ABC的面积S=12bcsinA=12×3×32=334.………………………………………12分20.解:1AC=AD+DC=AD+12AB, AE=12AB+AC=12AB+AD+12AB=34AB+12AD,BC=AC-AB=AD+12AB-AB=AD-12AB.…………………………………………5分2|AD|=12|AB|-|DC|cosπ3=1212=1,……………………………………………7分DB=AB-AD,DB⋅AE=AB-AD⋅12AD+34AB=34|AB|2-12|AD|2-14AB⋅AD=34|AB|2-12|AD|2-14|AB|⋅|AD|⋅cosπ3=34×4-12×1-14×2×1×12=94.……………………………………………………………………………………………12分21.解:(1)由AB=23,CD=3,∠ADC=∠CAB=90°,∠DAC=60°,可知AD=CDtan60°=1,…………………………………………………………………………2分在△ABD中,∠DAB=150°,AB=23,AD=1,由余弦定理可知,BD2=232+12-2×23×1×-32=19,则BD=19.…………………………………………………………………………………6分2∵∠CAB=90°,∴AC=AB⋅tan∠ABC=23×33=2.…………………………………7分由题意易知,AD=2cosθ,∠ABD=60°-θ.在△ABD中，由正弦定理可知ADsin∠ABD=ABsin∠ADB,…………………………………………9分∴2cosθsin600-θ=43,即有2cosθ=4332cosθ-12sinθ,∴4cosθ=23sinθ, ∴tanθ=233.…………………………………………………………………………………12分22.(1)证明:由asinA=bsinB=csinC,得sinA=asinBb,sinC=csinBb,代入asinA+csinC=b,得a2sinBb+c2sinBb=b,……………………………………………2分所以sinB=b2a2+c2,由余弦定理，得b²=a²+c²-2accosB,所以sinB=a2+c2-2acosBa2+c2=1-2aca2+c2cosB,…………………………………………………4分所以sinB+2aca2+c2cosB=1.……………………………………………………………………5分(2)解:由(1)知sinB=b2a2+c2,所以△ABC的面积S=12acsinB=12ac⋅b2a2+c2=kb2,……6分所以k=12⋅aca2+c2≤12⋅ac2ac=14,当且仅当a=c时取等号，所以k的最大值为14.………8分下面证明当k=14,即a=c时,△ABC为直角三角形.把a=c代入sinB+2aca2+c2cosB=1,得sinB+cosB=1,…………………………9分两边平方，得sin²B+2sinBcosB+cos²B=1,所以sinBcosB=0,…………………………11分因为0<B<π,sinB≠0所以cosB=0,B=π2,所以△ABC为直角三角形.………………………………………………………………………12分